第6節雙曲線高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.2.掌握雙曲線的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡單應用.強基礎?固本增分知識梳理1.雙曲線的定義平面內與兩個定點F1,F2的

等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做

,兩焦點間的距離叫做

.數學表達式集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c為常數且a>0,c>0.

距離的差的絕對值雙曲線的焦點雙曲線的焦距[教材知識深化]1.要注意定義中的“絕對值”,若沒有絕對值,當|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)時,點M的軌跡為靠近點F2的雙曲線的一支;當|MF1|-|MF2|=-2a(0<2a<|F1F2|)時,點M的軌跡為靠近點F1的雙曲線的一支.2.要注意定義中2a的范圍限制.若2a=|F1F2|,則點M的軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;若2a>|F1F2|,則點M的軌跡不存在;若2a=0,則點M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.

提示

在雙曲線的標準方程中,看x2與y2的系數的正負,若x2的系數為正,則焦點在x軸上;若y2的系數為正,則焦點在y軸上.即“焦點位置看正負,焦點隨著正的跑”.3.雙曲線的幾何性質

標準方程簡單幾何性質范圍x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a對稱性對稱軸為

,對稱中心為

頂點

A1(0,-a),A2(0,a)漸近線離心率

實虛軸實軸長|A1A2|=

,虛軸長|B1B2|=

;實半軸長

,虛半軸長

a,b,c的關系c2=

(c>a>0,c>b>0)

坐標軸原點A1(-a,0),A2(a,0)2a2baba2+b2

自主診斷

××√

B

C

D

4

研考點?精準突破考點一雙曲線的定義及其應用例1(1)已知定點F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,點F1關于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線

C.拋物線 D.圓B解析

如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點.又O為F1F2的中點,∴|MF2|=2.∵點F1關于點N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,∴由垂直平分線的性質可得|PM|=|PF1|,∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由雙曲線的定義可得,點P的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線.(2)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點,點P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=

.

變式探究1在本例(2)中,若將條件“|PF1|=2|PF2|”改為“∠F1PF2=60°”,則△F1PF2的面積是多少?

考點二雙曲線的標準方程

B

(2)(2024·福建三明模擬)已知圓C1:(x+3)2+y2=9,圓C2:(x-3)2+y2=1,若動圓E與C1,C2都外切,則圓心E的軌跡方程為

.

C

考點三雙曲線的幾何性質(多考向探究