第3節(jié)平面向量的數(shù)量積高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.通過物理中功等實(shí)例,理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.3.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積,會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.4.會(huì)用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題以及其他實(shí)際問題,體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用.強(qiáng)基礎(chǔ)?固本增分知識(shí)梳理

非零a⊥b

(2)平面向量的數(shù)量積

兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不再是向量已知兩個(gè)非零向量a,b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),可正可負(fù)可0規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為

.微思考兩個(gè)向量的數(shù)量積大于0(或小于0),則夾角一定為銳角(或鈍角)嗎?|a||b|cosθ0提示

不一定.當(dāng)兩個(gè)向量的夾角為0(或π)時(shí),數(shù)量積也大于0(或小于0).

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及坐標(biāo)表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.向量的有關(guān)概念幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積|a||b|cosθx1x2+y1y2夾角A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)的距離a⊥b的充要條件a·b=0x1x2+y1y2=0注意別與平行的坐標(biāo)公式混淆|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b|3.向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律a·b=b·a分配律(a+b)·c=a·c+b·c數(shù)乘結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ為實(shí)數(shù))[教材知識(shí)深化]向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律和消去律,即:(1)(a·b)c不一定等于a(b·c);(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.自主診斷

×××√2.(人教A版必修第二冊(cè)習(xí)題6.2第11(2)題改編)已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,則|a+b|=

.

4.(人教A版必修第二冊(cè)6.2.4節(jié)例12)已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為60°,求(a+2b)·(a-3b).解

(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos

θ-6|b|2=62-6×4×cos

60°-6×42=-72.二、連線高考5.(2024·北京,5)已知向量a,b,則“(a+b)(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(

)條件.A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件A解析

若“a=b或a=-b”,則a+b=0或a-b=0,故“(a+b)(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故選A.

B

研考點(diǎn)?精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

B

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)(2024·新高考Ⅰ,3)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=(

)A.-2 B.-1 C.1

D.2D解析

∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.

C

考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(多考向探究預(yù)測(cè))

B

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·廣東深圳模擬)向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2=(

)A.1 B.2

C.4

D.8C解析

由a+b+c=0,得c=-a-b,又(a-b)⊥c,所以(a-b)·(-a-b)=0.因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0,又|a|=1,所以(a-b)·(-a-b)=|b|2-|a|2=0,即|b|2=|a|2=1,所以|a|=|b|=1.因?yàn)閏=-a-b,所以|c|2=(-a-b)2=|a|2+2a·b+|b|2=2,綜上,|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4.(2)(2024·華南師大附中模擬)已知向量a=(3,4),b=(4,m),且|a+b|=|a-b|,則|b|=(

)A.3 B.4

C.5

D.6C

A

D

變式探究在本例(2)中,其他條件不變,若向量a與b的夾角為銳角,則x的取值范圍是

.

B

D

考向3

向量的垂直例4(1)(2025·山東濟(jì)南開學(xué)考試)已知向量a=(k,3),b=(2,0),若a⊥(a+3b),則k=(

)A.-3 B.-2 C.2

D.3A解析

因?yàn)閍=(k,3),b=(2,0),所以a+3b=(k,3)+3(2,0)=(k+6,3),因?yàn)閍⊥(a+3b),所以a·(a+3b)=0,所以k(k+6)+9=0,解得k=-3.故選A.(2)(2020·全國Ⅱ,文5)已知單位向量a,b的夾角為60°,則在下列向量中,與b垂直的是(

)A.a+2b

B.2a+bC.a-2b

D.2a-bD

規(guī)律方法平面向量垂直問題的2個(gè)類型利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問題若證明兩個(gè)向量垂直,先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo);然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系,求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù)[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4](1)(2025·北京房山開學(xué)考試)設(shè)向量a=(x-1,x),b=(x,-2),則“x=3”是“a⊥b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

向量a=(x-1,x),b=(x,-2),則a⊥b?a·b=0?x(x-1)-2x=0,解得x=0或x=3,所以“x=3”是“a⊥b”的