第3節空間直線、平面的平行高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系.2.掌握空間中線面平行的有關性質和判定定理.3.能運用基本事實、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行關系的簡單命題.強基礎?固本增分知識梳理1.線面平行的判定定理和性質定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與

的一條直線平行,那么該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)

a?α,b?α,且a∥b?a∥α“內”“外”“平行”三個條件缺一不可性質定理一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面

,那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)

a∥α,a?β,且α∩β=b?a∥b此平面內相交微思考一條直線與一個平面平行,那么它與平面內的所有直線都平行嗎?提示

不都平行.該平面內的直線有兩類:一類與該直線平行,另一類與該直線異面.誤區警示

在推證線面平行時,一定要強調直線a不在平面α內,直線b在平面α內,且a∥b,否則會出現錯誤.2.面面平行的判定定理和性質定理

定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條

與另一個平面平行,那么這兩個平面平行

“相交”條件不可缺少

a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α性質定理兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么

平行

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b相交直線兩條交線[教材知識深化]判定兩個平面平行與判定線面平行一樣,應遵循“先找后作”的原則,即先在一個平面內找到兩條與另一個平面平行的相交直線,若找不到再作輔助線.微思考一個平面內的兩條相交直線與另一個平面內的兩條相交直線分別對應平行,那么這兩個平面平行嗎?提示

平行.可以轉化為面面平行的判定定理“一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行”.所以這個結論可以直接應用,稱為面面平行判定定理的推論.[教材知識深化]1.兩個平面平行,其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.2.夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.3.經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.4.兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應線段成比例.5.同一條直線與兩個平行平面所成角相等.6.如果兩個平面分別平行于第三個平面,那么這兩個平面互相平行.7.垂直于同一條直線的兩個平面平行.自主診斷一、基礎自測1.思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若直線a與平面α內無數條直線平行,則a∥α.(

)(2)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)(3)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行.(

)(4)一個平面內有無數條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)××××2.(人教A版必修第二冊8.5.3節練習第2題)平面α與平面β平行的充分條件可以是(

)A.α內有無窮多條直線都與β平行B.直線a∥α,a∥β,且直線a不在α內,也不在β內C.直線a?α,直線b?β,且a∥β,b∥αD.α內的任何一條直線都與β平行D解析

A不正確,如果這無窮多條直線平行,平面α與平面β可能相交;B不正確,當平面α與平面β相交時,若直線a與交線平行,則滿足條件;C不正確,當直線a與直線b平行時,兩個平面可能相交;D顯然正確.3.(北師版必修第二冊習題6-4A組第2(3)題改編)如圖,平面α∥平面β,PA=6,AB=2,BD=12,則AC=

.9

二、連線高考4.(2011·福建,文15)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于

.

研考點?精準突破考點一直線與平面平行的判定與性質(多考向探究預測)考向1

直線與平面平行的判定例1如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,點F為棱DE的中點.證明:AF∥平面BCE.

(方法二:線面平行判定定理)如圖,在平面ABCD內,分別延長CB,DA,交于點N,連接EN.因為AB∥CD,CD=2AB,所以A為DN的中點.又F為DE的中點,所以AF∥EN.因為EN?平面BCE,AF?平面BCE,所以AF∥平面BCE.(方法三:面面平行的性質)如圖,取棱CD的中點G,連接AG,GF,因為點F為棱DE的中點,所以FG∥CE.因為FG?平面BCE,CE?平面BCE,所以FG∥平面BCE.因為AB∥CD,AB=CG=2,所以四邊形ABCG是平行四邊形,所以AG∥BC.因為AG?平面BCE,BC?平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG?平面AFG,AG?平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因為AF?平面AFG,所以AF∥平面BCE.[對點訓練1](2024·廣西賀州模擬)在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中,E,F分別為棱PC,AB的中點.(1)求證:EF∥平面PAD;(2)設平面PAD∩平面PBC=l,求證:l∥平面ABCD.

考向2

直線與平面平行的性質例2如圖,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點.(1)求證:MA∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關系,并證明你的結論.(1)證明

如圖所示,記AC與BD的交點為O,連接OE.因為O,M分別是AC,EF的中點,四邊形ACEF是矩形,所以EM∥OA,EM=OA,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)解

l∥m,證明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理m∥AM,所以l∥m.[對點訓練2]如圖,已知E,F分別是菱形ABCD的邊BC,CD的中點,EF與AC交于點O,點P在平面ABCD外,M是線段PA上一動點,若PC∥平面MEF,試確定點M的位置.

考點二平面與平面平行的判定與性質例3如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點.求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明

(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點,∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分別為A1B1,AB的中點,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.又A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.變式探究1在本例中,若將條件“E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點”變為“D1,D分別為B1C1,BC的中點”,求證:平面A1BD1∥平面AC1D.證明

如圖,連接A1C,AC1,交于點M.∵四邊形A1ACC1是平行四邊形,∴M是A1C的中點.連接MD,∵D為BC的中點,∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1,DM?平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質知,D1C1∥BD且D1C1=BD,∴四邊形BDC1D1為平行四邊形,∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1,BD1?平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM=D,DC1,DM?平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.

考點三平行關系的綜合應用

(3)解

線段AD上存在點N,使得MN∥平面PAB,理由如下:取AD中點N,連接CN,EN.因為E,N分別為PD,AD的中點,所以EN∥PA.因為EN?平面PAB,PA?平面PAB,所以EN∥平面PAB.由(2)知CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE?平面CEN,EN?平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB.又M是CE上的動點,MN?平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以線段AD上存在點N,使得MN∥平面PAB.[對點訓練3]如圖,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分別是線段AC,DF的中點.(1)求證:GH∥平面BFC.(2)在線段CD上是否存在一點P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出點P的具體位置并證明;若不存在,請說明理由.(1)證明

連接BD.∵四邊形ABCD為平行四邊形,G是AC的中點,∴G也是線段BD的中點,∴G,H分別是線段BD,DF的中點,∴GH∥BF,又BF?平面BFC,GH?平面BFC,∴GH∥平面BFC.(