第3節函數的奇偶性、周期性高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎?固本增分研考點?精準突破目錄索引0102課標解讀1.結合具體函數,了解奇偶性的概念和幾何意義.2.了解周期性的概念和幾何意義.強基礎?固本增分知識梳理1.函數的奇偶性

奇偶性定義圖象特點偶函數一般地,設函數f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有-x∈D,且

關于y軸對稱奇函數

關于原點對稱f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)

2.函數的周期性(1)周期函數:一般地,設函數f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數T,使得對每一個x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=

,那么函數f(x)就叫做周期函數.非零常數

就叫做這個函數的周期.

并非所有周期函數都有最小正周期(2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個

的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.

[教材知識深化]若T是函數f(x)的周期,那么nT(n∈Z,n≠0)也是函數f(x)的周期.f(x)T最小自主診斷

××√√2.(人教B版必修第一冊習題3-1B第8題改編)已知函數f(x)=(x-1)2+ax+2是偶函數,則實數a的值為

.

2解析

(方法一)由題意得f(1)=a+2,f(-1)=-a+6,因為f(x)是偶函數,所以f(1)=f(-1),即a+2=-a+6,解得a=2.(方法二)f(x)=(x-1)2+ax+2=x2+(a-2)x+3,因為f(x)是偶函數,所以a-2=0,解得a=2.3.(人教A版必修第一冊習題3.2第11題改編)已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,當x≥0時,f(x)=x(1+x),則f(x)的解析式為

.

B

B

6.(2024·上海,4)設a∈R,且f(x)=x3+a是奇函數,則a=

.

0解析

∵f(x)是奇函數,∴f(0)=0,即03+a=0,解得a=0.研考點?精準突破考點一函數奇偶性的判定

解

由題知,f(x)的定義域為{-1,1},關于原點對稱.又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函數又是偶函數.

解

(方法一

定義法)當x>0時,f(x)=-x2+2x+1,-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-f(x);當x<0時,f(x)=x2+2x-1,-x>0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x).所以f(x)為奇函數.(方法二

圖象法)作出函數f(x)的圖象,由奇函數的圖象關于原點對稱的特征知函數f(x)為奇函數.

(3)性質法:若f(x),g(x)有相同的定義域,則

f(x)g(x)f(x)±g(x)f(x)·g(x)f(g(x))奇奇奇偶奇奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶偶偶奇非奇非偶奇偶

B

B

考點二函數奇偶性的應用例2(1)(2024·上海開學考試)已知函數f(x)=x5+ax3+bx+8,且f(-2)=10,那么f(2)等于(

)A.-18 B.-10 C.6

D.10C解析

f(-2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8=10,令f(2)=25+a×23+2b+8=t,則f(-2)+f(2)=(-2)5+a×(-2)3+b×(-2)+8+25+a×23+2b+8=t+10,即8+8=10+t,可得t=6,即f(2)=6.故選C.

D

(3)(2024·北京期中)定義在R上的奇函數f(x)滿足:當0<x<2時,f(x)<0,當x>2時,f(x)>0.則不等式xf(x)>0的解集為(

)A.(2,+∞)B.(-2,0)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(0,2)C

(4)(2024·福建漳州期末)若函數f(x)是偶函數,且當x>0時,f(x)=2x+x+1,則當x<0時,f(x)=

.

2-x-x+1解析

因為函數f(x)是偶函數,且當x>0時,f(x)=2x+x+1,所以當x<0時,-x>0,所以f(-x)=2-x-x+1,即f(x)=2-x-x+1,所以當x<0時,f(x)=2-x-x+1.規律方法已知函數奇偶性可以解決的四個問題求函數值利用函數奇偶性將待求值轉化為已知區間上的函數值求解求解析式將待求區間上的自變量轉化到已知區間上,再利用函數奇偶性求出求參數利用待定系數法求解,根據f(x)±f(-x)=0得到關于參數的恒等式,由系數的對等性得參數的方程(組)求得參數畫圖象利用奇偶性可畫出對稱區間上的圖象并解決單調性等相關問題

B解析

由f(x)=x3+x可得f(-x)=-x3-x=-f(x),且函數f(x)的定義域R關于原點對稱,所以f(x)為奇函數,所以f(-a)=-f(a)=-b,故選B.

A

(-∞,-2)∪(0,2)

考點三函數的周期性

C解析

由f(x+1)=f(x-1),得f(x)是周期為2的周期函數,又f(-5)=f(4.5),所以f(-1)=f(0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5.故選C.(2)應用:周期性的應用主要有兩個方面:①求值:借助周期將