第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準(zhǔn)突破目錄索引0102課標(biāo)解讀1.借助長方體,在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.掌握四個基本事實和一個定理.3.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論,證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.與平面及平行線有關(guān)的基本事實及推論(1)平面及平行線的基本事實事實圖形文字語言符號語言基本事實1

過

上的三個點,有且只有一個平面

當(dāng)三個點共線時,過這三點的平面有無數(shù)個A,B,C三點不共線?有且只有一個平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事實2

如果一條直線上的

在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α

不能寫成“?”不在一條直線兩個點事實圖形文字語言符號語言基本事實3

是尋找兩相交平面的交線以及證明“線共點”的理論依據(jù)如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們

過該點的公共直線

P∈α,且P∈β

?α∩β=l,且P∈l基本事實4

平行于同一條直線的兩條直線平行若直線a∥b,c∥b,則a∥c有且只有一條(2)平面的基本事實的3個推論

推論自然語言圖形語言推論1經(jīng)過一條直線與

一點,有且只有一個平面

注意點A不在直線上推論2經(jīng)過兩條

直線,有且只有一個平面

推論3經(jīng)過兩條

直線,有且只有一個平面

這條直線外相交平行微思考“有且只有一個平面”“確定一個平面”“共面”三者之間有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

“確定一個平面”與“有且只有一個平面”是等價的,都包括“存在”和“唯一”兩個方面.但“共面”的意思是“在同一個平面內(nèi)”,只強調(diào)了“存在性”,不含“唯一性”.所以“共面”與前兩者是不同的.2.空間中直線與直線的位置關(guān)系

相交平行誤區(qū)警示

1.不能誤解為分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線為異面直線.必須滿足不同在“任何”一個平面內(nèi).2.異面直線不具有傳遞性.即若直線a與b異面,b與c異面,則a與c不一定是異面直線.3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

a∩α=A1a∥α0a?α無數(shù)α∥β0α∩β=l無數(shù)4.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角

.[教材知識深化]如果兩個角的兩邊平行且方向都相同或都相反,則兩角相等;若一邊同向,另一邊反向,則兩角互補.相等或互補

自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合.(

)(2)若a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.(

)(3)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于點A,記作α∩β=A.(

)(4)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b不可能是平行直線.

(

)×××√2.(人教A版必修第二冊習(xí)題8.4第2(2)題)若直線a不平行于平面α,且a?α,則下列結(jié)論成立的是(

)A.α內(nèi)的所有直線與a是異面直線B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)存在唯一一條直線與a平行D.α內(nèi)的所有直線與a都相交B解析

由題意可知直線a與平面α相交,所以平面α內(nèi)所有直線與a相交或異面,且α內(nèi)不存在與直線a平行的直線.故A,C,D不正確.3.(人教B版必修第四冊11.3.1節(jié)練習(xí)A第2題改編)已知空間中兩個角α,β,且角α與角β的兩邊分別平行,若α=70°,則β=

.70°或110°解析

根據(jù)等角定理,知α=β或α+β=180°,則β=70°或110°.

D

研考點?精準(zhǔn)突破考點一與平面有關(guān)的基本事實的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證:(1)D,B,F,E四點共面;(2)若A1C交平面DBFE于點R,則P,Q,R三點共線;(3)DE,BF,CC1三線交于一點.證明

(1)如圖所示,連接B1D1.因為EF是△D1B1C1的中位線,所以EF∥B1D1.在正方體AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD確定一個平面,即D,B,F,E四點共面.(2)在正方體AC1中,因為AA1∥CC1,所以AA1與CC1確定一個平面α,設(shè)平面BDEF為β.因為Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α與β的公共點.同理,P是α與β的公共點,所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,即R∈α,且R∈β.則R∈PQ,故P,Q,R三點共線.(3)因為EF∥BD,且EF<BD,所以DE與BF相交.設(shè)交點為M,則由M∈DE,DE?平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,點M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三線交于點M.[對點訓(xùn)練1]如圖,在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,B1C1,AB,BC的中點.證明:(1)E,F,G,H四點共面;(2)GE,FH,BB1相交于一點.證明

(1)連接AC,A1C1,如圖所示.因為ABCD-A1B1C1D1為正四棱臺,所以A1C1∥AC.又E,F,G,H分別為棱A1B1,B1C1,AB,BC的中點,所以EF∥A1C1,GH∥AC,則EF∥GH,所以E,F,G,H四點共面.(2)因為A1C1≠AC,所以EF≠GH,所以四邊形EFHG為梯形,則EG與FH必相交.設(shè)EG∩FH=P,因為EG?平面AA1B1B,所以P∈平面AA1B1B.因為FH?平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C.又平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1,所以P∈BB1,則GE,FH,BB1相交于一點.考點二空間兩條直線的位置關(guān)系判斷例2(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列說法正確的是(

)A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交D解析

(方法一

反證法)由于l與直線l1,l2分別共面,故直線l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交.若l∥l1,l∥l2,則l1∥l2,這與l1,l2是異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交.(方法二

模型法)如圖1,l1與l2是異面直線,l1與l平行,l2與l相交,故A,B不正確;如圖2,l1與l2是異面直線,l1,l2都與l相交,故C不正確.故選D.圖1圖2(2)(多選題)(2024·陜西西安高一期中)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,則下列四個結(jié)論正確的是(

)A.直線AM與CC1是相交直線 B.直線AM與BN是平行直線C.直線BN與MB1是異面直線 D.直線AM與DD1是異面直線CD解析

對于A,因為點A在平面C1D1DC外,點M在平面C1D1DC內(nèi),直線CC1在平面C1D1DC內(nèi),CC1不過點M,所以AM與CC1是異面直線,故A錯誤;對于B,直線AM在平面ABC1D1內(nèi),直線BN與平面ABC1D1相交于點B,點B不在直線AM上,所以直線AM與BN是異面直線,故B錯誤;對于C,直線BN在平面BCC1B1內(nèi),直線MB1與平面BCC1B1相交于點B1,點B1不在直線BN上,所以直線BN與直線MB1是異面直線,故C正確;對于D,因為點M與DD1都在平面C1D1DC內(nèi),點A在平面C1D1DC外,DD1不過點M,所以AM與DD1是異面直線,故D正確.故選CD.考點三異面直線所成的角

D

規(guī)律方法求兩條異面直線所成角的方法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移,使其與另一條相交,一般采用圖中已