第1節(jié)基本立體圖形及空間幾何體的表面積與體積高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2026強基礎(chǔ)?固本增分研考點?精準(zhǔn)突破目錄索引0102領(lǐng)航備考路徑新課標(biāo)核心考點20202021202220232024Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.空間幾何體的表面積與體積

T13T3T4,T5T4T11T14T9,T14T5T72.球的切、接問題T16

T8T7T12

3.空間位置關(guān)系的判斷與證明T20T20T12,T20T10,T19

T20T18T20T17T174.空間角與距離T4,T20T4,T20T20T19T9,T19T20T18T20T17T7,T17優(yōu)化備考策略考情分析:從題型和題量上看,高考對本專題考查基本穩(wěn)定在“兩小一大”或“三小一大”的方式.從考查內(nèi)容上看,小題主要考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間幾何體的表面積與體積、球與幾何體的切、接、空間位置關(guān)系的判斷等,難度中等或中低等.解答題多以空間幾何體為載體,考查空間位置關(guān)系的證明、空間角的求解等,難度中等.對直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求較高.復(fù)習(xí)策略:1.掌握特殊幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟記表面積與體積公式,理解并會應(yīng)用空間平行與垂直的相關(guān)定理與結(jié)論,這是解決立體幾何問題的基礎(chǔ).2.注意對直觀想象核心素養(yǎng)的訓(xùn)練,通過動手畫圖,觀察分析圖形,通過對空間幾何體中位置關(guān)系的證明與應(yīng)用等有效提升空間想象能力.3.重視圖形的作用,解立體幾何問題,可將題目中的已知或隱含的條件標(biāo)注在圖形上,達(dá)到只通過圖形就能表述出題目的已知與所求的效果.4.歸納幾何體中常見的建系方法與技巧,并能合理運用.5.通過對題目的訓(xùn)練,提升運算正確率,尤其是利用空間向量求解空間角的問題.6.探究用空間向量解決立體幾何與圓錐曲線融合問題.7.探究體積、表面積、最值與不等式、導(dǎo)數(shù)等融合問題.課標(biāo)解讀1.了解柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.掌握球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.運用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.強基礎(chǔ)?固本增分知識梳理1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征圍成多面體的每一個面都是平面圖形,沒有曲面名稱棱柱棱錐棱臺圖形

底面互相

且

多邊形互相

側(cè)棱

相交于

但不一定相等

延長線交于

側(cè)面形狀

平行全等平行平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

旋轉(zhuǎn)體一定有旋轉(zhuǎn)軸名稱圓柱圓錐圓臺球圖形

母線平行、相等且

于底面

相交于

延長線交于

—軸截面全等的

全等的

全等的

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)—垂直一點一點矩形等腰三角形等腰梯形圓[教材知識深化]旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”這一特點,弄清底面、側(cè)面及展開圖的形狀.2.空間幾何體的直觀圖

九十度,畫一半,橫不變,縱減半,平行關(guān)系不改變,畫出圖形更直觀空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規(guī)則是:(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半.3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題,常常“化曲為直”,利用側(cè)(表)面展開圖解決名稱圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=

S圓錐側(cè)=

S圓臺側(cè)=

2πrlπrlπ(r1+r2)l4.柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積

幾何體名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=

臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=

球S=

V=

S底·h

4πR2

[教材知識深化]柱體、錐體、臺體體積公式之間的關(guān)系:自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)菱形的直觀圖仍是菱形.(

)(2)用兩個平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)(3)棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.(

)(4)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)××√×2.(人教A版必修第二冊習(xí)題8.1第8題改編)如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'被一個平面截成兩個幾何體,其中EH∥B'C'∥FG.則左下方部分幾何體是(

)A.棱臺B.四棱柱C.五棱柱D.既不是棱柱,也不是棱臺C解析

根據(jù)棱柱的定義,可知幾何體是以五邊形ABFEA'為底面的五棱柱.3.(人教A版必修第二冊8.3.2節(jié)例3改編)如圖,某種浮標(biāo)由兩個半球和一個圓柱黏合而成,半球的直徑是0.3m,圓柱高0.6m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么給1000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要涂料

kg.(π取3.14)

423.9解析

一個浮標(biāo)的表面積為2π×0.15×0.6+4π×0.152≈0.847

8(m2),所以給1

000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料0.847

8×0.5×1

000=423.9(kg).

B

5.(2023·新高考Ⅱ,14)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為

.28

研考點?精準(zhǔn)突破考點一基本立體圖形(多考向探究預(yù)測)考向1

結(jié)構(gòu)特征例1(多選題)下列說法錯誤的是(

)A.有兩個平面平行,其余各面為平行四邊形的多面體是棱柱B.圓柱是由一個四邊形繞著其中一條邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體C.棱臺的所有側(cè)棱的延長線交于同一點D.用一個平面去截圓錐,這個平面和圓錐的底面之間的部分是圓臺ABD解析

如圖所示的組合體滿足條件A,但不是棱柱,所以A錯誤;由圓柱的定義,是由一個長方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體,故B錯誤;由棱臺的結(jié)構(gòu)特征值知,棱臺的各條側(cè)棱所在的直線一定相交于一點,故C正確;當(dāng)截面與圓錐底面不平行時,底面與截面之間的部分不是圓臺,故D錯誤.故選ABD.[對點訓(xùn)練1](多選題)(2024·河南鄭州模擬)下列說法中,錯誤的為(

)A.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐B.有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺C.底面是等邊三角形,側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐D.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等,則此棱錐不可能是正六棱錐ABC解析

棱錐的定義需要其余各面都是有一個公共頂點的三角形,如圖所示的幾何體符合條件,但不是棱錐,故A錯誤;有兩個面互相平行,其余四個面都是等腰梯形的六面體的側(cè)棱不一定交于一點,所以不一定是棱臺,故B錯誤;對于C,三棱錐的頂點在底面的射影不一定為底面等邊三角形的中心,故C錯誤;若六棱錐的所有棱長都相等,則底面為正六邊形,在以底面上的一個頂點、底面中心和棱錐頂點形成的直角三角形中,易知斜邊長大于直角邊長,則側(cè)棱必然大于底面邊長,故D正確.故選ABC.

A

A

圖1圖2變式探究本例(2)變?yōu)?已知用“斜二測畫法”畫出的△ABC的平面直觀圖△A'B'C'是邊長為a的正三角形,則△ABC的面積為

.

圖1圖2考向3

展開圖例3(2024·湖北武漢模擬)如圖是一座山的示意圖,山呈圓錐形,圓錐的底面半徑為1km,母線長為4km,B是母線SA上一點,且AB=1km,為了發(fā)展旅游業(yè),要建設(shè)一條最短的從A繞山一周到B的觀光鐵路,則這段鐵路的長度為

km.5

考點二簡單幾何體的側(cè)(表)面積例4(1)(2024·山東泰安三模)已知圓臺O1O2的母線長為4,下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍,軸截面周長為16,則該圓臺的表面積為(

)A.24π

B.25π

C.26π

D.27πC解析

如圖,作出圓臺的軸截面ABDC,設(shè)上底面圓O1的半徑為r,則下底面圓O2的半徑是3r,故軸截面周長為16=4+4+2r+6r,解得r=1.所以上、下底面圓的面積分別為π,9π,圓臺側(cè)面積S