西藏自治區林芝市第二高級中學2025年高二數學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知隨機變量滿足P（=1）=pi，P（=0）=1—pi，i=1，2.若0<p1<p2<，則A．<，< B．<，>C．>，< D．>，>2．已知命題“，使得”是真命題，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設滿足約束條件，若，且的最大值為，則（）A． B． C． D．4．已知函數的圖象向左平移個單位長度，橫坐標伸長為原來的2倍得函數的圖象，則在下列區間上為單調遞減的區間是（）A． B． C． D．5．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．6．如圖，已知棱長為1的正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．7．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.從中選出3人參加學校組織的社會實踐活動，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為A． B． C． D．8．已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸正半軸重合，終邊在直線上，則（）A． B． C． D．9．設是含數的有限實數集，是定義在上的函數，若的圖象繞原點逆時針旋轉后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（）A． B． C． D．10．設函數的導函數為，若是奇函數，則曲線在點處切線的斜率為（）A． B．-1 C． D．11．點的直角坐標化成極坐標為（）A． B． C． D．12．設，則“”是“直線與平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示線路圖，機器人從A地經B地走到C地，最近的走法共有________種.（用數字作答）14．已知二項式展開式的第項與第項之和為零，那么等于____________.15．某地區共有4所普通高中，這4所普通高中參加2018年高考的考生人數如下表所示：學校高中高中高中高中參考人數80012001000600現用分層抽樣的方法在這4所普通高中抽取144人，則應在高中中抽取的學生人數為_______．16．已知是橢圓的左、右焦點，過左焦點的直線與橢圓交于兩點，且，，則橢圓的離心率為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，對任意的，滿足，其中，為常數.（1）若的圖象在處的切線經過點，求的值；（2）已知，求證：；（3）當存在三個不同的零點時，求的取值范圍.18．（12分）函數（1）若函數在內有兩個極值點，求實數的取值范圍；（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍．19．（12分）[選修4-4：坐標系與參數方程]在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），直線的參數方程為（為參數），且與曲線交于，兩點.以直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的極坐標方程；（2）已知點的極坐標為，若，求.20．（12分）已知．（1）證明：；（2）若，求實數的取值范圍．21．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的單調區間和極值；（2）若對于任意，都有成立，求實數的取值范圍；（3）若，且，證明：.22．（10分）已知函數的最小正周期為.（1）當時，求函數的值域；（2）已知的內角，，對應的邊分別為，，，若，且，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】∵，∴，∵，∴，故選A．【名師點睛】求離散型隨機變量的分布列，首先要根據具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合與概率知識求出取各個值時的概率．對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出，其中超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．由已知本題隨機變量服從兩點分布，由兩點分布數學期望與方差的公式可得A正確．2、C【解析】

利用二次函數與二次不等式的關系，可得函數的判別式，從而得到.【詳解】由題意知，二次函數的圖象恒在軸上方，所以，解得：，故選C.本題考查利用全稱命題為真命題，求參數的取值范圍，注意利用函數思想求解不等式.3、B【解析】分析：由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解代入目標函數得答案.詳解：由約束條件作出可行域如圖：化目標函數為，由圖可知，當直線過B時，直線在y軸上的截距最小，即z最大，聯立，解得，，解得.故選：B.點睛：線性規劃中的參數問題及其求解思路(1)線性規劃中的參數問題，就是已知目標函數的最值或其他限制條件，求約束條件或目標函數中所含參數的值或取值范圍的問題．(2)求解策略：解決這類問題時，首先要注意對參數取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優解，從而確定參數的值．4、A【解析】

先利用輔助角公式將函數化為的形式，再寫出變換后的函數,最后寫出其單調遞減區間即可．【詳解】的圖象向左平移個單位長度，橫坐標伸長為原來的2倍變換后，在區間上單調遞減故選A本題考查三角函數變換，及其單調區間．屬于中檔題．5、A【解析】

根據判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進而求得正三棱錐的體積.【詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.本小題主要考查正三棱錐的幾何性質，考查向量加法運算，考查幾何體外接球有關問題的求解，屬于中檔題.6、D【解析】

根據與平面的關系，先找到直線與平面的夾角，然后通過勾股定理求得各邊長，即可求得夾角的正弦值。【詳解】連接、相交于點M，連接EM、AM因為EM⊥AB，EM⊥BC1所以EM⊥平面則∠EAM即為直線與平面所成的角所以所以所以選D本題考查了空間幾何體線面的夾角關系，主要是找到直線與平面的夾角，再根據各長度求正弦值，屬于中檔題。7、A【解析】

根據題目可知，分別求出男生甲被選中的概率和男生甲女生乙同時被選中的概率，根據條件概率的公式，即可求解出結果．【詳解】由題意知，設“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，則，，所以，故答案選A．本題主要考查了求條件概率方法：利用定義計算，特別要注意的求法．8、A【解析】

根據直線斜率與傾斜角的關系求出tanθ的值，原式利用誘導公式化簡，再利用同角三角函數間的基本關系變形，將tanθ的值代入計算即可求出值．【詳解】解：由已知可得，tanθ＝2，則原式1．故選A．此題考查了誘導公式的作用，三角函數的化簡求值，以及直線斜率與傾斜角的關系，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．9、B【解析】

利用函數的定義即可得到結果.【詳解】由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當f（1）=，，0時，此時得到的圓心角為，，0，然而此時x=0或者x=1時，都有2個y與之對應，而我們知道函數的定義就是要求一個x只能對應一個y，因此只有當x=，此時旋轉，此時滿足一個x只會對應一個y，故選B．本題考查函數的定義，即“對于集合A中的每一個值，在集合B中有唯一的元素與它對應”(不允許一對多).10、D【解析】

先對函數求導，根據是奇函數，求出，進而可得出曲線在點處切線的斜率.【詳解】由題意得，.是奇函數，，即，解得，，則，即曲線在點處切線的斜率為.故選.本題主要考查曲線在某點處的切線斜率，熟記導數的幾何意義即可，屬于常考題型.11、D【解析】

分別求得極徑和極角，即可將直角坐標化為極坐標.【詳解】由點M的直角坐標可得：，點M位于第二象限，且，故，則將點的直角坐標化成極坐標為.本題選擇D選項.本題主要考查直角坐標化為極坐標的方法，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.12、C【解析】

先由直線與平行，求出的范圍，再由充分條件與必要條件的概念，即可得出結果.【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，又當時，與重合，不滿足題意，舍去；所以；由時，與分別為，，顯然平行；因此“”是“直線與平行”的充要條件；故選C本題主要考查由直線平行求參數，以及充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、20【解析】

分兩步：第一步先計算從A到B的走法種數，第二步：再計算從B到C走法種數，相乘即可.【詳解】A到B共2種走法，從B到C共種不同走法，由分步乘法原理，知從A地經B地走到C地，最近的走法共有種.故答案為：20本題考查分步乘法原理及簡單的計數問題的應用，考查學生的邏輯分析能力，是一道中檔題.14、1【解析】

用項式定理展開式通項公式求得第4項和第5項，由其和為0求得．【詳解】二項式展開式的第項為，第5項為，∴，解得．故答案為：1．本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，屬于基礎題．15、24【解析】

計算出高中人數占總人數的比例，乘以得到在高中抽取的學生人數.【詳解】應在高中抽取的學生人數為．本小題主要考查分層抽樣，考查頻率的計算，屬于基礎題.16、【解析】

連接,設,利用橢圓性質,得到長度,分別在△和中利用余弦定理,得到c的長度，根據離心率的定義計算得到答案.【詳解】設，則，，由，得，，在△中，，又在中，，得故離心率本題考察了離心率的計算,涉及到橢圓的性質,正余弦定理,綜合性強,屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析．【解析】試題分析：（1）由和解得；（2）化簡，構造函數，根據函數的單調性，證明的最小值大于零即可；（3）討論三種情況，，，排除前兩種，證明第三種情況符合題意即可.試題解析：（1）在中，取，得，又，所以．從而，，．又，所以，．（2）．令，則，所以時，，單調遞減，故時，，所以時，．（3），①當時，在上，，遞增，所以，至多只有一個零點，不合題意；②當時，在上，，遞減，所以，也至多只有一個零點，不合題意；③當時，令，得，．此時，在上遞減，上遞增，上遞減，所以，至多有三個零點．因為在上遞增，所以．又因為，所以，使得．又，，所以恰有三個不同的零點：，，．綜上所述，當存在三個不同的零點時，的取值范圍是．考點：1、導數的幾何意義；2、利用導數研究函數的單調性、求函數的最值及函數零點問題.【方法點晴】本題主要考查的是導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、求函數的最值、函數零點問題立，屬于難題．利用導數研究函數的單調性進一步求函數最值的步驟：①確定函數的定義域；②對求導；③令，解不等式得的范圍就是遞增區間；令，解不等式得的范圍就是遞減區間④根據單調性求函數的極值及最值（閉區間上還要注意比較端點處函數值的大小）.本題（2）、（3）解題過程都是圍繞先求單調區間再求最值這一思路，進一步解答問題的.18、（1）或．（2）【解析】

（1）先對函數求導、然后因式分解，根據函數在在內有兩個極值點列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.（2）先對函數求導并因式分解.對分成三種情況，利用的單調性，結合不等式在上恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知，．有得：或．（2）．①當時，，符合題意．②當時，令，得或，此時函數的增區間為，減區間為．此時只需：解得：或，故．③當時，令，得或，此時函數的增區間為，，減區間為，此時只需：解得：，故，由上知實數的取值范圍為．本小題主要考查利用導數研究函數的單調區間、極值，考查利用導數求解不等式恒成立問題，考查分類討論的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，綜合性很強，屬于難題.19、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出曲線的直角坐標方程，再利用直角坐標與極坐標的互化即可；（2）利用參數的幾何意義可得.詳解：（1）曲線的直角坐標方程為，即，∵，，∴，即，此即為曲線的極坐標方程.（2）點的直角坐標為，設，兩點對應的參數為，，將直線的參數方程代入，得，則，由參數的幾何意義可知，，，故.點睛：求解與極坐標有關的問題的主要方法(1)直接利用極坐標系求解，可與數形結合思想配合使用；(2)轉化為直角坐標系，用直角坐標求解．使用后一種方法時，應注意若結果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標．20、（1）證明見解析；（2）．【解析】

(1)根據絕對值三角不等式得到;(2)，則，故，分情況去掉絕對值解出不等式即可.【詳解】（1）證明：．（2）解：若，則，故∴或，解得：．∴實數的取值范圍為．這個題目考查了含有絕對值的不等式的解法，絕對值三角不等式的應用，以及函數的最值問題；一般對于解含有多個絕對值的不等式，根據零點分區間，將絕對值去掉，分段解不等式即可