長春市第十一中學2025屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象關于對稱，的圖象在點處的切線過點，若圖象在點處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．2．在《九章算術）方田章圓田術（劉徽注）中指出：“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至不能割，則與圓周合體而無所失矣．”注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值，這可以通過方程確定出來，類似地，可得的值為（）A． B． C． D．3．在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．4．在等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若q＝2，且a2與2a4的等差中項為18，則S5＝()A．－62 B．62 C．32 D．－325．隨機變量服從正態(tài)分布，若，，則（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．7．甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝根據(jù)以往二人的比賽數(shù)據(jù)分析，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則本次比賽中甲獲勝的概率為（）A． B． C． D．8．有個人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．9．芻薨（），中國古代算術中的一種幾何形體，《九章算術》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻薨字面意思為茅草屋頂”，如圖，為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形，則搭建它（無底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．24 B． C．64 D．10．年平昌冬奧會期間，名運動員從左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．11．曲線作線性變換后得到的回歸方程為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．12．下列關于殘差圖的描述錯誤的是（）A．殘差圖的橫坐標可以是編號B．殘差圖的橫坐標可以是解釋變量和預報變量C．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關指數(shù)越小D．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)則的最大值是________.14．7個人站成一排，其中甲一定站在最左邊，乙和丙必須相鄰，一共有______種不同排法15．半徑為的圓形鐵片剪去一個扇形，用剩下的部分卷一個圓錐．圓錐的體積最大值為______16．已知，，，，且∥，則＝．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）．（1）當時，討論函數(shù)的單調性；（2）當時，若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍．18．（12分）數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長.20．（12分）在二項式的展開式中，二項式系數(shù)之和為256，求展開式中所有有理項.21．（12分）已知數(shù)列（）的通項公式為（）.（1）分別求的二項展開式中的二項式系數(shù)之和與系數(shù)之和；（2）求的二項展開式中的系數(shù)最大的項；（3）記（），求集合的元素個數(shù)（寫出具體的表達式）.22．（10分）（1）求關于的不等式的解集；（2）若關于的不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱得到，，即.利用導數(shù)的切線過點得到，再求函數(shù)在處的切線傾斜角的正切值和正弦值，代入式子計算即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于點對稱，所以.即：，解得，.所以，，切點為.，.切線為：.因為切線過點，所以，解得.所以，.，所以.所以.故選：B本題主要考查導數(shù)的切線問題，同時考查三角函數(shù)的誘導公式，屬于中檔題.2、B【解析】

設，可得，求解即可.【詳解】設，則，即，解得，取.故選B.本題考查了類比推理，考查了計算能力，屬于基礎題.3、D【解析】

利用函數(shù)在連續(xù)可導且單調遞增，可得導函數(shù)在大于等于0恒成立即可得到的取值范圍．【詳解】因為函數(shù)在連續(xù)可導且單調遞增，所以在恒成立，分離參數(shù)得恒成立，即，故選D．本題考查函數(shù)在區(qū)間內單調遞增等價于在該區(qū)間內恒成立．4、B【解析】

先根據(jù)a2與2a4的等差中項為18求出，再利用等比數(shù)列的前n項和求S5.【詳解】因為a2與2a4的等差中項為18，所以，所以.故答案為：B(1)本題主要考查等比數(shù)列的通項和前n項和，考查等差中項，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)等比數(shù)列的前項和公式：.5、B【解析】

直接根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求解即可.【詳解】，，，即，，故選B.本題主要考查正態(tài)分布與正態(tài)曲線的性質，屬于中檔題.正態(tài)曲線的常見性質有：（1）正態(tài)曲線關于對稱，且越大圖象越靠近右邊，越小圖象越靠近左邊；（2）邊越小圖象越“痩長”，邊越大圖象越“矮胖”;(3)正態(tài)分布區(qū)間上的概率，關于對稱，6、C【解析】

先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)且在定義域內單調遞增，然后把不等式變形為，再利用單調性求解即可．【詳解】由題意得，函數(shù)的定義域為R．∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)．又根據(jù)復合函數(shù)的單調性可得，函數(shù)在定義域上單調遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．解答本題的關鍵是挖掘題意、由條件得到函數(shù)的奇偶性和單調性，最后根據(jù)函數(shù)的單調性求解，這是解答抽象不等式（即不知表達式的不等式）問題的常用方法，考查理解和應用能力，具有一定的難度和靈活性．7、D【解析】

根據(jù)題意，可知甲獲勝情況有三種：第一局勝、第二局勝，第一局勝、第二局負、第三局勝，第一局負、第二局勝、第三局勝，由互斥事件概率加法運算即可求解.【詳解】甲、乙兩人進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則為“3局2勝”，即先贏2局者為勝，甲在每局比賽中獲勝的概率為，則甲獲勝有以下三種情況：第一局勝、第二局勝，則甲獲勝概率為；第一局勝、第二局負、第三局勝，則甲獲勝概率為；第一局負、第二局勝、第三局勝，則甲獲勝概率為；綜上可知甲獲勝概率為，故選：D.本題考查了互斥事件概率求法，概率加法公式的應用，屬于基礎題.8、C【解析】總排法數(shù)為，故選C．點睛：本題是排列中的相鄰問題，用“捆綁法”求解，解決此問題分兩步，第一步把要求相鄰的三人捆綁在一起作為一個人，和其他3人看作是4人進行排列，第二步這三人之間也進行排列，然后用乘法原理可得解．9、B【解析】茅草面積即為幾何體的側面積，由題意可知該幾何體的側面為兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長為4，下底長為8，高為；等腰三角形的底邊長為4，高為．故側面積為．即需要的茅草面積至少為．選B．10、C【解析】分析：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①最左邊排甲；②最左邊排乙，分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目，由分類計數(shù)原理計算即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，最左端只能排甲或乙，則分兩種情況討論：①最左邊排甲，則剩下4人進行全排列，有種安排方法；②最左邊排乙，則先在剩下的除最右邊的3個位置選一個安排甲，有3種情況，再將剩下的3人全排列，有種情況，此時有種安排方法，則不同的排法種數(shù)為種.故選：C.點睛：解決排列類應用題的策略(1)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排問題直排法處理．(3)“小集團”排列問題中先集中后局部的處理方法．11、D【解析】分析：令，對函數(shù)進行二次擬合得出a，b的值，代入計算即可.詳解：令，解得，，開口向上，的單調遞增區(qū)間為.故選D.點睛：本題考查了非線性相關的二次擬合問題，選擇對數(shù)變換是關鍵.12、C【解析】分析：根據(jù)殘差圖的定義和圖象即可得到結論．詳解：A殘差圖的橫坐標可以是編號、解釋變量和預報變量，故AB正確；可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．則對應相關指數(shù)越大，故選項D正確，C錯誤.故選：C．點睛：本題主要考查殘差圖的理解，比較基礎．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

化簡函數(shù)為，結合求最值即可.【詳解】,由,,則的最大值為.本題主要考查了三角函數(shù)的化一公式及區(qū)間上求最值的計算，屬于基礎題.14、240.【解析】分析：本題是一個排列組合及簡單計數(shù)問題，甲要站在最左邊，剩下6個位置，6個人排列，乙和丙必須相鄰，把乙和丙看成一個元素，同另外4個人排列，乙和丙之間也有一個排列，相乘得到結果．詳解：由題意知本題是一個排列組合及簡單計數(shù)問題，甲要站在最左邊，剩下6個位置，6個人排列，∵乙和丙必須相鄰，∴把乙和丙看成一個元素，同另外4個人排列，乙和丙之間也有一個排列，根據(jù)乘法原理知共有A55A22=240種結果，故答案為240點睛：站隊問題是排列組合中的典型問題，解題時要先排限制條件多的元素，把限制條件比較多的元素排列后，再排沒有限制條件的元素，最后要用計數(shù)原理得到結果，本題的甲不影響排列．15、【解析】

設圓錐的底面半徑為，高為，可得，構造關于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導數(shù)可求得最大值.【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時，；時，即在上單調遞增，在上單調遞減本題正確結果：本題考查圓錐體積最值的求解，關鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構造為關于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導數(shù)求解得到函數(shù)的最值.16、【解析】

因為，，，由∥知，屬于，．考點：平行向量間的坐標關系．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）當時，，求得，令令，解得或，分類討論即可求解函數(shù)的單調性；（2）當時，，由題意，在上恒成立．即在上恒成立，當時，不等式成立；當時，令，求得，分類討論即可求解．詳解：（1）當時，．；令，解得或．∴當，即時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當，即時，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當，即時，增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）當時，．由題意，在上恒成立．即即在上恒成立．1）顯然時，不等式成立；2）當時，令，則．①當時，只須恒成立．∵恒成立，（可求導證明或直接用一個二級結論：）．∴當時，，單減；當時，，單增；∴．∴．②當時，只須恒成立．∵此時，即單減．∴．∴．綜上所述，．點睛：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結合思想的應用．18、（1）,；（2）.【解析】分析：（1）由已知可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得；再求出和，進而求出公比，代入等比數(shù)列的通項公式，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用錯位相減法即可求出數(shù)列的前項和.詳解：解：（1），所以數(shù)列為等差數(shù)列，則；，所以，則.（2），則兩式相減得整理得.點睛：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義與通項公式，考查錯位相減法求數(shù)列前項和，考查學生運算求解能力.錯位相減法是必須掌握的求和方法之一：若，其中是公差為d的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.具體運算步驟如下：1、寫出新數(shù)列的和.……（1）2、等式左右同時乘以等比數(shù)列部分的公比.……（2）3、兩式相減.（1）-（2）整理得：注意：首項系數(shù)為正，末項系數(shù)為負，中間有項.4、求.最后再化簡整理為最簡形式即可.19、（1）（2）【解析】

（1）先利用余弦定理求出BC=2,再利用正弦定理求出，再求的余弦值；（2）先求出,再利用正弦定理求AD得解.【詳解】解：（1）因為，所以，即，所以.由正弦定理得，所以，又因為，所以.（2）由（1）得，所以，所以，所以.本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、答案見解析【解析】

由題意首先求得n的值，然后結合展開式的通項公式即可確定展開式中所有有理項.【詳解】由題意可得：，解得：，則展開式的通項公式為：，由于且，故當時展開式為有理項，分別為：，，.(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理