上海市東實驗學校2024-2025學年高二數學第二學期期末復習檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，且，則的最大值是()A． B． C． D．2．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A．-2 B．2 C．4 D．63．已知函數f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則函數f(x)的解析式為()A．f(x)＝x2＋8x B．f(x)＝x2－8xC．f(x)＝x2＋2x D．f(x)＝x2－2x4．等比數列的前n項和，前2n項和，前3n項的和分別為A，B，C，則A． B．C． D．5．用數學歸納法證明時，由時的假設到證明時，等式左邊應添加的式子是（）A． B．C． D．6．設定義在(0，＋∞)上的函數f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，則f(x)()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值7．(2x-3y)9A．-1 B．512 C．-512 D．18．設，且，則的最小值為（）A． B．9 C．10 D．09．已知是實數，函數，若，則函數的單調遞增區間是（）A． B． C． D．10．某教師有相同的語文參考書本，相同的數學參考書本，從中取出本贈送給位學生，每位學生本，則不同的贈送方法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種11．己知，是橢圓的左右兩個焦點，若P是橢圓上一點且，則在中（）A． B． C． D．112．設函數，則（）A．9 B．11 C．13 D．15二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，若隨機變量的分布列是：則當變化時，的極大值是______.14．某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態分布N（1000，1002），且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1100小時的概率為_________(附：若隨機變量Z服從正態分布N(μ，σ2)，則.15．設滿足約束條件，則的最大值為.16．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,且球的表面積為,,平面,,則三棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|2m<x<1－m}．(1)當m＝－1時，求A∪B；(2)若A?B，求實數m的取值范圍；(3)若A∩B＝?，求實數m的取值范圍．18．（12分）已知（1）求；（2）若，求實數的值.19．（12分）函數，，實數為常數.（I）求的最大值；（II）討論方程的實數根的個數.20．（12分）已知曲線上的最高點為，該最高點到相鄰的最低點間曲線與軸交于一點,求函數解析式,并求函數在上的值域.21．（12分）已知i為虛數單位，m為實數，復數.（1）m為何值時，z是純虛數？（2）若，求的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，將曲線上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，的極坐標方程為.(1)求曲線的參數方程；(2)過原點且關于軸對稱的兩條直線與分別交曲線于和，且點在第一象限，當四邊形周長最大時，求直線的普通方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據題中條件，結合基本不等式，即可得出結果.【詳解】因為，，所以，；又，所以，當且僅當，即時，等號成立.故選：A本題主要考查由基本不等式求最值，熟記基本不等式即可，屬于基礎題型.2、D【解析】分析：由題意知隨機變量符合正態分布，又知正態曲線關于對稱，得到兩個概率相等的區間關于對稱，得到關于的方程，解方程求得詳解：由題隨機變量服從正態分布，且，則與關于對稱，則故選D.點睛：本題主要考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義、函數圖象對稱性的應用等基礎知識，屬于基礎題．3、B【解析】

求函數在處的導數即可求解.【詳解】∵，．令，得，.故.本題主要考查導數定義的運用.求解在處的導數是解題的關鍵.4、D【解析】分析：由等比數列的性質，可知其第一個項和，第二個項和，第三個項和仍然構成等比數列，化簡即可得結果.詳解：由等比數列的性質可知，等比數列的第一個項和，第二個項和，第三個項和仍然構成等比數列，則有構成等比數列，，即，，故選D.點睛：本題考查了等比數列的性質，考查了等比數列前項和，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力，是基礎題.5、B【解析】因為當時，等式的左邊是，所以當時，等式的左邊是，多增加了，應選答案B．點睛：解答本題的關鍵是搞清楚當時，等式的左邊的結構形式，當時，等式的左邊的結構形式是，最終確定添加的項是什么，使得問題獲解．6、D【解析】因為xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因為f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上既無極大值，也無極小值，故選D.點睛：根據導函數求原函數，常常需構造輔助函數，一般根據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等7、B【解析】

(a+b)n展開式中所有項的二項系數和為【詳解】(a+b)n展開式中所有項的二項系數和為2(2x-3y)9的展開式中各項的二項式系數之和為2故答案選B本題考查了二項系數和，屬于基礎題型.8、B【解析】

利用柯西不等式得出最小值．【詳解】（x2）（y2）≥（x）2＝1．當且僅當xy即xy=時取等號．故選：B．本題考查了柯西不等式的應用，熟記不等式準確計算是關鍵，屬于基礎題．9、A【解析】分析：根據函數f（x）=x2（x﹣m），求導，把f′（﹣1）=﹣1代入導數f′（x）求得m的值，再令f′（x）>0，解不等式即得函數f（x）的單調增區間．詳解：f′（x）=2x（x﹣m）+x2∵f′（﹣1）=﹣1∴﹣2（﹣1﹣m）+1=﹣1解得m=﹣2，∴令2x（x+2）+x2>0，解得,或x>0，∴函數f（x）的單調減區間是．故選：A．點睛：求函數的單調區間的方法(1)確定函數y＝f(x)的定義域；(2)求導數y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．10、B【解析】若本中有本語文和本數學參考，則有種方法，若本中有本語文和本參考，則有種方法，若本中有語文和本參考，則有種方法，若本都是數學參考書，則有一種方法，所以不同的贈送方法共有有，故選B.11、A【解析】

根據橢圓方程求出、，即可求出、，再根據余弦定理計算可得；【詳解】解：因為，所以，，又因為，，所以，在中，由余弦定理，即，，故選：本題考查橢圓的簡單幾何性質及余弦定理解三角形，屬于基礎題.12、B【解析】

根據自變量所在的范圍代入相應的解析式計算即可得到答案.【詳解】∵函數，∴=2+9=1．故選B．本題考查函數值的求法，考查指對函數的運算性質，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析:先求出,再求,利用二次函數的圖像求的極大值.詳解:由題得,所以所以當時,的極大值是.故答案為：.點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)對于離散型隨機變量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，那么＝＋＋…＋14、【解析】

先通過信息計算出每個電子元件使用壽命超過1100小時的概率，再計算該部件的使用壽命超過1100小時的概率．【詳解】由于三個電子元件的使用壽命都符合正態分布N（1000，1002），且.每個電子元件使用壽命超過1100小時的概率故該部件的使用壽命超過1100小時的概率本題考查正態分布的性質應用及相互獨立事件的概率求解，屬于中檔題．15、5.【解析】.試題分析：約束條件的可行域如圖△ABC所示.當目標函數過點A(1，1)時，z取最大值，最大值為1+4×1=5.【考點】線性規劃及其最優解.16、1【解析】

由題意兩兩垂直，可把三棱錐補成一個長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球．由此計算即可．【詳解】∵平面，∴，又，∴三棱錐可以為棱補成一個長方體，此長方體的外接球就是三棱錐的外接球．由，得，∴，即，，．故答案為1．本題考查棱錐及其外接球，考查棱錐的體積，解題是把三棱錐補成長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，而長方體的對角線就是球的直徑，這樣計算方便．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）A∪B＝{x|－2<x<3}（2）（3）【解析】試題分析：（1）m＝－1，用軸表示兩個集合，做并集運算，注意空心點，實心點．（2）由于A?B，首先要保證1-m>2m,即集合B非空，然后由數軸表示關系，注意等號是否可取．（3）空集有兩種情況，一種是集合B為空集，一種是集合B非空，此時用數燦表示，寫出代數關系，注意等號是否可取．試題解析：（1）當m＝－1時，B＝{x|－2<x<2}，則A∪B＝{x|－2<x<3}（2）由A?B知，解得，即m的取值范圍是（3）由A∩B＝?得①若，即時，B＝?符合題意②若，即時，需或得或?，即綜上知，即實數的取值范圍為18、（1）；（2）【解析】分析：（1）化簡復數為代數形式后，再結合復數模的公式，即可求解；（2）化簡復數z為1+i，由條件可得a+b+（a+2）i=1﹣i，解方程求得a，b的值．詳解：（1）化簡得（2）解得點睛：本題考查了復數的運算法則、復數相等，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題,復數問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數的對應關系，點的象限和復數的對應關系，復數的加減乘除運算，復數的模長的計算.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

（1）直接對函數進行求導，研究函數的單調性，求最大值；（2）對方程根的個數轉化為函數零點個數，通過對參數進行分類討論，利用函數的單調性、最值、零點存在定理等，判斷函數圖象與軸的交點個數.【詳解】（Ⅰ）的導數為.在區間，，是增函數；在區間上，，是減函數.所以的最大值是.（Ⅱ），方程的實數根個數，等價于函數的零點個數..在區間上，，是減函數；在區間上，，是增函數.在處取得最小值.①當時，，沒有零點；②當時，有唯一的零點；③當時，在區間上，是增函數，并且.，所以在區間上有唯一零點；在區間上，是減函數，并且，，所以在區間上有唯一零點.綜上所述，當時，原方程沒有實數根；當時，原方程有唯一的實數根；當時，原方程有兩個不等的實數根.在使用零點存在定理時，證明在某個區間只有唯一的零點，一定要證明函數在該區間是單調的，且兩個端點處的函數值相乘小于0；本題對數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想等進行綜合考查，對解決問題的綜合能力要求較高.20、，值域為【解析】

根據已知得到周期，由此求得，根據最值求得，根據函數的最高點求得，由此求得函數的解析式.由的取值范圍,求得的取值范圍，進而求得函數在給定區間上的值域.【詳解】依題意知,由最大值得.由函數最高點得，故,由，得，故.當時，，所以，即函數的值域為本小題主要考查三角函數解析式的求法，考查三角函數值域的求法，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

（1）利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由實部為0且虛部不為0求解m的值；（2）由復數的幾何意義，畫出圖形，數形結合得答案【詳解】（1）．當時，即時，z是純虛數；（1）可設復數對應的點為，則由，得，即點在直線上，又，點的軌跡為直線與圓相交的弦，則表示線段上的點到的距離，由圖象可知，當時，距離最小，即點到直線的距離，則由得或，，的取值范圍是.本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，考查復數的代數表示法及其幾何意義，點到直