《幾何圖形軌跡（最值）問題》知識梳理幾何圖形軌跡最值問題是中考的熱點問題,題型豐富,變化靈活,綜合性強,考查的知識點眾多,涉及數形結合、轉化等多種數學思想,考查了學生的添加輔助線,依題畫圖,建構知識體系等能力,一般都是各題型的壓軸題,發展了學生的幾何直觀和推理能力的核心素養。初中數學的幾何動點最值問題其實都來自兩個基本圖形：定點到定點：兩點之間，線段最短定點到定線：點線之間，垂線段最短在此基礎上又產生了以下基礎圖形和結論：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊平行線之間，垂線段最短點圓最值：點圓之間，點心線截距最短（長）線圓最值：心垂線截距最短解決幾何最值問題的主要方法是轉化，通過變化過程中不變特征的分析，利用幾何變換（比如等值變換：平移、旋轉、軸對稱；比例變換：三角函數、相似圖形性質）等手段把所求量進行轉化，構造出符合幾何最值問題理論依據的基本結構進而解決問題。教學過程：模塊一：動點軌跡在直線上【設計意圖】通過嘗試解決例1、例2，使學生體會：當動點軌跡明確是直線（或線段，射線）時，動中求靜，找到變化過程中的不變量是解決問題的關鍵，可以利用對稱，平移，三角函數等知識，化同為異，化折為直的思維方法解決，可以回顧將軍飲馬，建橋選址，胡不歸等常見模型。【例題精講】例1：如圖，已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5，E為邊AC上的動點，F為邊A.532 B.52 C.【解答】B如圖，作點F關于AC的對稱點F'，連接AF'并延長交BC的延長線于B'∴∠BA∴FE∴當B，E，F'三點共線且與AB'垂直時，線段FE+EB的值最小，即作BD⊥例2：如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，則AM變式思考：（1）本題若求“2AM+BM”（2）本題若求“AM+BM+CM(3)若四邊形□ABCD是菱形，AB=5，對角線BD的長為45，點M為BD上一點，則【解答】2如何將12BM轉化為其他線段本題k值為12，可轉化為某一角的正弦值，即轉化為30°角的正弦思考到這里，不難發現，只要作MN垂直BC于點N，則MN=12BM，即AM+1如圖，作AN⊥BC，垂足為N，AN交∵四邊形ABCD是菱形且∠ABC∴∠DBC∴1即AM+12BM在Rt△ABN中，AN∴AM+1【變式思考答案】（1）43（2）43（3模塊一：跟進練習解答1、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P是AB上的任意一點，作PD⊥AC于點D，【解答】2.4∵Rt△ABC中，∴AB=5PD⊥AC于點D∴四邊形CDPE是矩形∴當DE最小時，則CP最小，根據垂線段最短可知CP⊥AB時，∴2、如圖，□ABCD中，∠DAB=60°,AB【解答】3如圖，過點P作PE⊥AD交AD延長線于點在Rt△PDE中，易得PE=32PD，∴PB+32PD=PB+PE3、如圖，△ABC中，AB=AC=10，tan?A=2，BE⊥ACA.25 B.45 C.【解答】B如圖，作DH⊥AB于點H，∵BE∵AB∴在Rt△ABE中，∴AE=25∵AB∵DH∴DH∴CD+DH4、如圖①,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,E為AB的中點，F為EC上一動點，P(1)畫出當F從點E運動到點C時,點P的運動軌跡;(2)如圖②,連接PB求PB的最小值.【解答】3取DE的中點M，連接MP并延長，交CD于點N，連接BN.∵點M，P分別是DE，DF的中點，∴MP//EF，∴∠DMN=∠DEC，∴△DMN∽△DEC，∴MN為△∵在矩形ABCD中，AB=6，AD=3∴△CBE，△ADE，△BCN均為等腰直角三角形，CN=3，∴∠ADE=∠CDE=5、如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，sinA=45,BD⊥AC交AC于點D.【解答】165過點P作PD⊥AB于點D，過點C作CH⊥AB于點H，首先得出BD=4，AD=3，根據sin?∠ABD=ADAB=DPBP過點P作PE⊥AB于點E，過點C作CH∵BD∴∠ADB∵sin?A=BD由勾股定理得AD=∴sin∴DP∴PC即點C、P、D三點共線時，PC+35∵∴4∴CH∴PC+3故答案為：1656、如圖所示，在邊長為1的菱形ABCD中，ABC=60°，△ABC沿射線BD的方向平移得到△A'【解答】3作直線AA'，并作點C關于直線A'A的對稱點E，連接EA，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°∴∴A'C+B'C∵AC∴∠E=1∴即A'C+方法總結求不在同一條直線上的兩條線段長的和的最小值，一般是通過軸對稱轉化為求一條直線上的兩條線段的長度和.模塊二：動點軌跡是圓（弧）【設計意圖】通過解決例3、例4，經歷自主調用數學方法，運用數學思維分析探究的過程，相似轉化法求最值。“PA+kPB”型的最值問題，當明確動點在圓上運動（阿氏圓問題），通過構造相似三角形，轉化成兩線段和的最小值。【例題精講】例3：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°BC=12,AC=9，以點CA.315 B.410 C.55 D.63【解答】B在線段CA上截取CM，使得CM=4，連接BM易得△DCM∴DMAD=CD∵DM在Rt△CBM中，由勾股定理得BM=4例4：如圖，點A,B在圓O上，OA=OB=6.OA⊥OB.C是OA的中點，點D在OB上，且變式思考：（1）本題若求“PC+12PD（2）本題若求“PC+32PD【解答】4如何將2PC轉化為其他線段呢？不難發現本題出現了中點，即2倍關系，套用“阿氏圓”模型：構造共邊共角相似連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接DE交⊙O于點P，此時2PC+PD∴即P，D，E在Rt△OED中，DE即2PC+PD【答案】（1）2模塊二跟蹤練習解答1、如圖所示，∠ACB=60°，半徑為2的圓O內切于∠ACB，P為圓O上一動點，過點P作PM,PN分別垂直于∠【解答】6+2作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于&∴∠∴當MP與⊙O?切時，MF取①連接OP，OG，OC可得：四邊形OPMG為正方形，∴在Rt△COG中，∴在Rt△CMF中，MF∴2、已知半圓直徑為8，P點是圓弧上的一動點，連接PA，PB，求【解答】823、點AB的坐標分別為（2，0），（0，2）點C為坐標平面內的一點，BC=1，點M為線段AC上的中點，連接OM，則OM的最大值為（A.2+1 B.2+12【解答】B∵點C為坐標平面內一點，BC=1，∴點C在以點B為圓心、1為半徑的圓上.如圖，在x軸上取O當A'，B，C三點共線時，A'C4、如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，P為⊙B上的動點，則PD【解答】5如圖，在BC上截取BE=1，連接∵正方形ABCD的邊長為4，⊙B∴∵.∴∴∴∴當D，P，E三點共線時，PD∴PD+12PC5、正方形ABCD邊長為4，P為內切圓周上動點，求2PA+PB的最小值【解答】如解圖，連接OP，OB設⊙O的半徑為r，則OP=r=12BC=2，OB=2r=22，取OB的中點I，連接PI，∴OI=6、菱形ABCD邊長為2，∠ABC=60°，圓A的半徑為3，BC與圓相切于點E，點P在圓A上運動，求PB【解答】37模塊三：隱形軌跡問題【設計意圖】如果題目中并未直接給出動點軌跡，這時需要我們去分析和尋找動點的運動軌跡，這是學生最難掌握的難點，確定軌跡后，再根據軌跡確定屬于哪種最值問題，再進行分析和計算。例5是通過旋轉構造手拉手全等，找到動點運動軌跡是線段，從而轉化成點到直線最值問題；例6的核心思路是：由結論入手：求CP的最小值，C是定點，P是動點，P的軌跡如何？由△ABE?△CAF（SAS）可得∠APB練習涉及主從聯動問題---其實質是構造旋轉型全等或相似，找到對應點的運動軌跡。隱圓問題---利用定點定長，定邊對定角，定角動弦，四點共圓，找到動點的運動軌跡是圓，從而尋找圓心與半徑，轉化成點圓，線圓最值問題。【例題精講】例5：如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C逆時針旋轉60°得到FC，連接DF，則在點E運動過程中，DF你能畫出點F的運動軌跡嗎？【解答】1找到點F的軌跡是本題的首要任務，直線型軌跡的常用尋找方法都是尋找定點定角，即找到過某一定點的定角，點的軌跡即可確定.如圖本題中易得△AEC?△BFC，則不難發現點F的軌跡為直線l.再根據垂線段最短，可得例6如圖，在邊長為6的等邊三角形ABC中，E,F分別是邊AC,BC上的動點，且AE=CF,連接BE，AF交于點P你能畫出點F的運動軌跡嗎？【解答】2易證△ABE如圖3-3-13，過點A，點P，點B作⊙O，連接∴點P在AB上運動.∵∴當點P在CO上時，CP有最小值，CP的最小值=43模塊三跟蹤練習解答1、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，【解答】13-2軌跡描述：點P在以（利用同角的余角相等得到定角，再根據模型解題就清晰明了了）∵∠BAP=∠PBC，∴∠PAB+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°2、如圖①，在正方形ABCD中，AB=4，點P為平面內一點，PD=3，連接AP，將線段AP繞點A順時針旋轉90（1）畫出求Q的運動軌跡。（2）如圖②，連接DQ，求DQ的最大值【解答】3+4（1）如解圖①，虛線⊙B即為點Q（2）如解圖②，連接BQ.∵將線段AP繞點A順時針旋轉90°，得到線段AQ∴∠∴點Q在以點B為圓心，3為半徑的⊙B上運動，當Q、B∵∴DQ的最大值為3+43、如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，點D在BC邊上由點C向點B運動（不與點BC重合），過點D作DE⊥AD，交射線【解答】4取AE的中點G，連接DG，如圖.在△ADE中，∠ADE=90°，DG是斜邊上的中線，∴AE=2DG，DG=∵∠4、△ABC是邊長為5的等邊三角形，△DCE是邊長為3的等邊三角形，直線BD與直線AE交于點F，如圖，若點D在△ABC內，∠DBC=20°，則∠BAF=_______；現將△DCE【解答】80°；4∵△ACB，△∴∠在∴△如圖，設BF交AC于點T.同法可證△BCD?△ACE，∴∠CBD=∠CAF.∵∠BTC=∠ATF∴∵5、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點D是以A為圓心，4為半徑的圓上一點，連接【解答】7如圖，取AB的中點E，連接EM，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10.因為E是AB的中點，所以CE=12AB=5.因為M是BD的中點，E是AB的中點，所以ME=