試卷第=page22頁，共=sectionpages144144頁第五章二元一次方程組內容導航知識點…………………2類型一、含有參數的二元一次方程組……………………5類型二、不定方程的整數解……………10類型三、二元一次方程組的特殊解法……………………21類型四、二元一次方程組背景下的自定義問題…………29類型五、方案問題………………………42類型六、行程問題………………………55類型七、分配問題………………………60類型八、營銷問題………………………66類型九、二元一次方程組在幾何問題中的應用…………79類型十、一次函數與二元一次方程組…………………107類型十一、待定系數法求一次函數解析式……………127知識點1．二元一次方程的定義方程中含有兩個未知數（和），并且未知數的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.（1）在方程中“元”是指未知數，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數.（2）“未知數的次數為1”是指含有未知數的項（單項式）的次數是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.知識點2．二元一次方程組的定義把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數知識點3．二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.方程組中每個未知數的值應同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應把數值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.知識點4．用代入消元法解二元一次方程組(1)代入法的定義：在二元一次方程組中，將其中一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程．這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法．(2)代入法解二元一次方程組的基本思想是：通過代入達到消元的目的，從而將解二元一次方程組轉化為解一元一次方程．其步驟為：①變形：從方程組中選一個系數比較簡單的方程，將這個方程化為用含一個字母的代數式表示另一個字母．例如y，用含x的代數式表示出來，得y＝ax＋b.②代入：將y＝ax＋b代入另一個方程中，消去y，得到一個關于x的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值．④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，從而得到方程組的解．⑤把求得的x，y的值聯立起來就是方程組的解．知識點5．用加減消元法解二元一次方程組(1)加減法的定義：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，從而消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種求二元一次方程組的解的方法叫做加減消元法，簡稱加減法．(2)加減法的基本思想是：解二元一次方程組時，使方程組中同一個未知數的系數相等或是互為相反數，再將所得兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，從而轉化為一元一次方程．其步驟為：①變形：方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不相等又不互為相反數，就要用適當的數去乘方程的兩邊，使其中一個未知數的系數相等或互為相反數．②加減：當同一個未知數的系數互為相反數時，用加法消去這個未知數，得到關于另一個未知數的一元一次方程；當同一個未知數的系數相等時，用減法消去這個未知數，得到關于另一個未知數的一元一次方程．③解元：解所得的一元一次方程，求出未知數的值．④求值：把求出的未知數的值代入原方程組中的任一個方程中，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解．⑤求得的兩個未知數的值聯立起來就是方程組的解．知識點6．實際問題與二元一次方程組（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組.銷售問題商品利潤=銷售價格—商品進價;商品利潤率=×100%.（2）儲蓄問題,利息=本金×利率×期數;本息和=本金＋利息．（3）增長(降低）率問題增長率=增長后的量=增長前的量×(1+增長率);下降后的量=下降前的量×(1-降低率).（4）行程問題：知識梳理路程=速度×時間；相遇問題：快行距＋慢行距＝原距；追及問題：快行距－慢行距＝原距;航行問題：順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度；知識點7．二元一次方程與一次函數的關系（1）任何一個二元一次方程都可以變形為即為一個一次函數，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數.（2）我們知道每個二元一次方程都有無數組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數解有，我們發現以這些整數解為坐標的點（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數y＝的圖像上，反過來，在一次函數的圖像上任取一點，它的坐標也適合方程.要點：1.以二元一次方程的解為坐標的點都在相應的函數圖像上；2.一次函數圖像上的點的坐標都適合相應的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標的所有點組成的圖像與相應一次函數的圖像相同.知識點8．二元一次方程組與一次函數每個二元一次方程組都對應兩個一次函數，于是也對應兩條直線.從“數”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數的值相等，以及這時的函數為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.知識點9．用二元一次方程組確定一次函數表達式待定系數法：先設出函數表達式，再根據所給的條件確定表達式中未知數的系數，從而得到函數表達式的方法，叫做待定系數法.利用待定系數法解決問題的步驟：1.確定所求問題含有待定系數解析式.

2.根據所給條件,列出一組含有待定系數的方程.

3.解方程組或者消去待定系數，從而使問題得到解決.類型一、含有參數的二元一次方程組1．已知關于，的方程組，下列說法中正確的有（

）個．①當時，；②當時，的最小值為2；③取任意實數，的值始終不變；④不存在實數，使成立．A．1 B．2 C．3 D．42．已知關于x，y的方程組給出下列結論：正確的有．（填序號）①當時，方程組的解也是的解；②無論a取何值，x，y的值不可能是互為相反數；③x，y都為正整數的解有3對3．已知關于x，y的方程組，給出下列說法：①當時，方程組的解也是的解；②若，則；③無論a取何值，x，y的值不可能互為相反數；④x，y都為自然數的解有5對．以上說法中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知關于，的方程組（是常數）．(1)當時，則方程組可化為．①請直接寫出方程的所有非負整數解．②若該方程組的解也滿足方程，求的值．(2)當時，如果方程組有整數解，求整數的值．類型二、不定方程的整數解5．設，都是正整數，則方程的正整數解有．6．如果一個四位數滿足千位數字與個位數字相等，百位數字與十位數字相等，且千位數字大于百位數字，則稱這個數為“四位凹對稱數”．例如：，均為“四位凹對稱數”．一個“四位凹對稱數”，其前兩位數與后兩位數的平方差為的倍數，令，則的最大值為．7．若一個四位數的千位與百位之差、十位與個位之差均等于2，稱這個四位數是“順2差數”，例如：四位數5342，，∴5342為“順2差數”；若四位數的百位與千位之差、個位與十位之差均等于2，稱這個四位數是“逆2差數”，例如：四位數3524，，∴3524為“逆2差數”．若數p，q分別為“順2差數”和“逆2差數”，它們的個位數字均為4，p，q的各數位數字之和分別記為和，，若為整數，此時的最大值為．8．定義：如果一個三位數，它的各個數位上的數字都不為零，且滿足百位上的數字與個位上的數字的平均數等于十位上的數字，則稱這個三位數為開合數．設A為一個開合數，將A的百位數字與個位數字交換位置后得到的新數再與A相加的和記為．例如：852是“開合數”，則．已知開合數（，且為x整數），則；若三位數A是一個開合數，若百位數字小于個位數字，是一個整數，且能被個位數字與百位數字的差整除，則．9．如果一個四位自然數的各數位上的數字互不相等且均不為0，并且滿足，那么稱這個四位數為“吉祥數”．例如：四位數6137，因為，所以6137是“吉祥數”；又如：四位數5236，因為，所以5236不是“吉祥數”．若是“吉祥數”，記，若是一個完全平方數，則；若“吉祥數”能被7整除，則所有滿足條件的四位數的最大值與最小值的差為．10．材料：對于一個四位自然數N，滿足十位數字與百位數字之和等于個位數字與千位數字之和的兩倍，則稱這個數為“和倍數”．若規定為千位數字的3倍與個位數字的差，為千位數字與個位數字之和，令；例如：3621，，是“和倍數”，，再比如4271，不是“和倍數”．(1)判斷3531，4682是否是“和倍數”，并說明理由；如果是，請計算的值；(2)若四位自然數n是“和倍數”，其10位數字能被5整除，且個位數字與百位數字的和能被3整除，為整數，求出符合條件的n．11．已知一個三位自然數，若滿足十位數字等于百位數字與個位數字之和，則稱這個數為“銀翔數”，并把其百位數字與個位數字乘積記為．例如693，，∴693是“銀翔數”，規定：（均為非零常數，為三位自然數）已知；（1）求的值及；（2）已知兩個十位數字相同的“銀翔數”，，，且為整數，且加上各個數位上數字之和被16除余7，若，求的最小值．12．閱讀材料：一個三位自然數，其各位數字互不相同且均不為0，百位數字比個位數字大2，我們稱這個三位自然數為“偶發數”，記．比如412，各位數字互不相同且均不為0，百位數字4比個位數字2大2，所以412是“偶發數”，．(1)請寫出最小的“偶發數”m，并求出的值；(2)若一個“偶發數”m，使恰為7的倍數，求滿足題意的最大“偶發數”和最小的“偶發數”之差．類型三、二元一次方程組的特殊解法13．若實數x,y滿足，則的值是（

）A． B． C． D．14．有五張寫有數字的卡片，分別記為①，②，③，④，⑤，將它們按如圖所示放置在桌上．下表記錄了相鄰兩張卡片上的數的和．卡片編號①②②③③④④⑤①⑤兩數的和則寫有最大數卡片的編號是(

)A．② B．③ C．④ D．⑤15．在解方程組時，甲由于粗心看錯了方程組中的，求得方程組的解為；乙看錯了方程組中的，求得方程組的解為；甲把看成了什么？乙把看成了什么？求出原方程組的正確解．16．閱讀以下內容：已知有理數m，n滿足m+n＝3，且求k的值．三位同學分別提出了以下三種不同的解題思路：甲同學：先解關于m，n的方程組，再求k的值；乙同學：將原方程組中的兩個方程相加，再求k的值；丙同學：先解方程組，再求k的值．（1）試選擇其中一名同學的思路，解答此題；（2）在解關于x，y的方程組時，可以用①×7﹣②×3消去未知數x，也可以用①×2+②×5消去未知數y．求a和b的值．17．閱讀下列材料：小明同學在學習二元一次方程組時遇到了這樣一個問題：解方程組．小明發現，如果用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，容易出錯．如果把方程組中的看成一個整體，把看成一個整體，通過換元，可以解決問題．以下是他的解題過程：令，．原方程組化為，解得，把代入，，得，解得，∴原方程組的解為．(1)學以致用運用上述方法解下列方程組：．(2)拓展提升已知關于x，y的方程組的解為，請直接寫出關于m、n的方程組的解是___________．18．閱讀材料：已知關于x，y的二元一次方程有一組整數解，則方程的全部整數解可表示為（t為整數）．問題：求方程的所有正整數解．小明參考閱讀材料，解決該問題如下：解：該方程一組整數解為，則全部整數解可表示為（t為整數）．因為，解得因為t為整數，所以t=0或-1．所以該方程的正整數解為和．通過你所知曉的知識，請解決以下問題：(1)方程3x-5y=11的全部整數解表示為：（t為整數），則______；(2)請你參考小明的解題方法，求方程2x+3y=24的全部正整數解；(3)若a，b均為正整數，試判斷二元一次方程組有幾組正整數解？并寫出其解．類型四、二元一次方程組背景下的自定義問題19．對于x，y定義一種新運算F，規定（其中a，b均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：，若，，下列結論：①；②若，則m，n有且僅有4組正整數解；③若對任意實數x，y均成立，則．正確的個數為（

）A．3 B．2 C．1 D．020．對x，y定義一種新運算T，規定：（其中a，b均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算．例如：，若，則下列結論正確的有（

）①，；②若，則；③若，則m，n有且僅有2組整數解；④若無論取何值時，的值均不變，則；⑤若對任意有理數，都成立，則．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個21．對于實數a，b，定義運算“◆”和“*”：，例如4◆3，因為，所以，，為常數，若，，則．22．對于三個數a、b、c，用表示這三個數的平均數，用表示這三個數中最小的數．（1）若，則x的值為．（2）若，則．23．對，定義一種新的運算，規定：（其中）．（1）若已知，，則_________．（2）已知，．求，的值；（3）在（2）問的基礎上，若關于正數的不等式組恰好有2個整數解，求的取值范圍．24．規定：關于的二元一次方程有無數組解，每組解記為，稱點為“坐標點”，將這些“坐標點”連接新得到一條直線，稱這條直線是“坐標點”的“關聯線”，回答下列問題：(1)已知，則是“關聯線”的“坐標點”的______．(2)若題“關聯線”的“坐標點”，求的值．(3)已如是實數，且，若是“關聯線”的一個“坐標點”，用等式表示與之間的關系，并求出的最小值．25．閱讀材料并回答下列問題：當m，n都是實數，且滿足，就稱點為“愛心點”．(1)判斷點是否為“愛心點”，并說明理由；(2)若點是“愛心點”，請求出a的值；(3)已知p，q為有理數，且關于x，y的方程組解為坐標的點是“愛心點”，求p，q的值．26．規定：二元一次方程有無數組解，每組解記為，稱為二元一次方程亮點，將這些亮點連接得到一條直線，稱這條直線是亮點的隱線，答下列問題：(1)已知，，，則是隱線的亮點的是；(2)設，是隱線的兩個亮點，求方程中的正整數解；(3)已知是實數，且，若是隱線的一個亮點，求隱線s中的最大值和最小值的和．27．對，定義一種新運算，規定（其中，是非零常數且），這里等式右邊是通常的四則運算．如：，．（1）填空：_____（用含，的代數式表示）；（2）若且．①求與的值；②若，求的值．28．閱讀材料并回答下列問題：當m，n都是實數，且滿足，就稱點為“郡麓點”．例如：點，令，得，，所以不是“郡麓點”；點，令，得，所以是“郡麓點”．(1)請判斷點點，是否為“郡麓點”：______；(2)若以關于x，y的方程組的解為坐標的點是“郡麓點”，求的值；(3)若以關于x，y的方程組的解為坐標的點是“郡麓點”，求正整數a，b的值．類型五、方案問題29．母親節前夕，某店主從廠家購進，兩種禮盒，已知，兩種禮盒的單價比為，單價和為元．(1)求，兩種禮盒的單價分別是多少元？(2)該店主購進這兩種禮盒恰好用去元，且購進種禮盒最多個，種禮盒的數量不超過種禮盒數量的倍，共有幾種進貨方案？30．已知深圳灣大酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間為每人每天元，雙人間為每人每天元．為吸引客源，促進旅游，在十一黃金周期間深圳灣大酒店進行優惠大酬賓，凡團體入住一律五折優惠．一個人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間，雙人間客房．(1)若每個客房正好住滿，并且一天一共花去住宿費元．求租住了三人間、雙人間客房各多少間？(2)設三人間共住了人，一天一共花去住宿費元，請寫出與的函數關系式；(3)一天元的住宿費是否為最低？如果不是，請設計一種入住的房間正好被住滿的入住方案，使住宿費用最低，并求出最低的費用．31．某公司后勤部準備去超市采購牛奶和咖啡若干箱，現有兩種不同的購買方案，如下表：牛奶（箱咖啡（箱金額（元方案一20101100方案二3015__________(1)采購人員不慎將污漬弄到表格上，根據表中的數據，判斷污漬蓋住地方對應金額是__元；(2)若后勤部購買牛奶25箱，咖啡20箱，則需支付金額1750元；①求牛奶與咖啡每箱分別為多少元？②超市中該款咖啡和牛奶有部分因保質期臨近，進行打六折的促銷活動，后勤部根據需要選擇原價或打折的咖啡和牛奶，此次采購共花費了1200元，其中購買打折的牛奶箱數是所有牛奶、咖啡的總箱數的，則此次按原價采購的咖啡有箱（直接寫出答案）．32．根據以下素材，探索完成任務．如何合理搭配消費券？素材一我市在2024年發放了如圖所示的南太湖消費券．規定每人可領取一套消費券（共4張）：包含型消費券（滿50減20元）1張，型消費券（滿100減30元）2張，型消費券（滿300減100元）1張．

素材二在此次活動中，小明一家4人各領到了一套消費券．某日小明一家在超市使用消費券共減了420元，請完成以下任務．任務一若小明一家用了2張型消費券，2張型消費券，則用了___________張型消費券，此時實際消費最少為____________元．任務二若小明一家用8張、、型的消費券消費，已知型比型的消費券多1張，求、、型的消費券各多少張？任務三若小明一家僅用兩種不同類型的消費券組合消費，請問該如何使用消費券，才能使得實際消費金額最小，并求出此時實際最小消費金額．33．某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲，．購進的臺數購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為1000元，求有哪幾種購進方案？34．請同學們根據以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任務一、任務二、任務三．如何合理搭配消費券？素材一為促進消費，某市人民政府決定，發放“雙促雙旺·你消費我助力”消費券，一人可領取的消費券有：A型消費券（滿35減15元）3張，B型消費券（滿68減25元）2張，C型消費券（滿158減60元）1張．素材二消費券滿減規則：按實際消費金額，達到滿減金額的部分，可使用消費券；已享受滿減的那部分金額不可再疊加使用其他消費券，如：消費193元，如果使用1張C型消費券，已經享受滿減的158元的這部分，不可再疊加使用其他消費券，剩余的35元可以使用1張A型消費券．素材三在此次活動中，小觀一家4人每人都領到了所有的消費券．某日小觀一家在超市使用消費券，消費金額減了390元，請完成以下任務．任務一若小觀一家用了5張A型消費券，3張B型的消費券，則用了______張C型的消費券，此時減券前的消費金額最少為______元．任務二若小觀一家用13張A，B，C型的消費券消費，已知A型比C型的消費券多1張，求A，B，C型的消費券各多少張？任務三若小觀一家僅用兩種不同類型的消費券消費，請問如何搭配使用消費券，使得付款額最少，并求出此時消費券的搭配方案．35．我縣某包裝生產企業承接了一批上海世博會的禮品盒制作業務，為了確保質量，該企業進行試生產．他們購得規格是170cm×40cm的標準板材作為原材料，每張標準板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材．如圖所示，（單位：cm）(1)列出方程（組），求出圖1中a與b的值．(2)在試生產階段，若將30張標準板材用裁法一裁剪，4張標準板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側面和底面，做成圖2的豎式與橫式兩種無蓋禮品盒．①兩種裁法共產生A型板材張，B型板材張；②設做成的豎式無蓋禮品盒x個，橫式無蓋禮品盒的y個，根據題意完成表格：禮品盒板材豎式無蓋（個）橫式無蓋（個）xyA型（張）4x3yB型（張）x③做成的豎式和橫式兩種無蓋禮品盒總數最多是個（在橫線上直接寫出答案）(3)若將m張標準板材用裁法一裁剪，n張標準板材用裁法二裁剪，再將得到的A型與B型板材做側面和底面，做成圖2中橫式無蓋禮品盒，當時，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的橫式無蓋禮品盒可能是個（在橫線上直接寫出所有可能的答案）禮品盒板材豎式無蓋（個）橫式無蓋（個）A型（張）B型（張）類型六、行程問題36．爸爸騎電動車帶著姐弟倆去公園玩，根據規定爸爸騎電動車時一次只能搭載一名未成年人．為盡快到達公園又不違反交通法規，出發時，爸爸讓姐姐先步行，將弟弟載了一段路程后讓其步行前往公園，并立即原路返回接步行的姐姐，結果與弟弟同時到達公園．如果姐弟倆步行的速度相同，爸爸一個人騎電動車的速度比搭載一名未成年人時的速度快5千米/時，爸爸與公園的距離與出發時間之間的函數關系如圖所示，則爸爸在這一過程中騎電動車行駛的總路程是．

37．王老師和胡老師沿相同路線同時從松中A校區出發去松中B校區開會，分別以一定的速度勻速步行，出發5分鐘，王老師發現自己有一份文件落在松中A校區，于是立即以之前速度的2倍跑回A校區，在到達A校區后停留了8分鐘后騎車以更快的速度勻速駛往B校區開會，胡老師在途中某地停留了5分鐘等王老師，但沒見到王老師來，就以原來的速度繼續前進，最終兩人同時到達松中B校區會議室，王老師和胡老師兩人的距離y米與王老師行進時間x分鐘之間的關系如圖所示，則松中A校區與B校區之間的距離為米．38．如圖，中國海監船46，49在距離釣魚島海里處，已知兩船的航速如下表所示：最大航速經濟航速海監4616節14節海監4915.2節14.5節其中，一節等于海里/時，如果海監46先以經濟航速行駛若干小時后以最大航速沿圖中箭頭方向航線行駛至釣魚島，共行駛時間小時，海監49比海監46遲出發半小時，以最大航速沿同一路線駛向釣魚島．問：(1)兩船誰先到達釣魚島？說明理由；(2)海監46經濟航行和最大航速航行各多少小時？(3)設海監46航行時間為，求兩海監船之間的距離與之間的函數關系式．39．點A對應數a，點B對應數b，點C對應數c，xc﹣5y與﹣2xb＋15y的和是﹣6x5y．(1)那么a＝，b＝，c＝；(2)點P為數軸上一點，且滿足PA＝3PB＋1，請求出點P所表示的數；(3)點M為數軸上點A右側一點，甲、乙兩點分別從A、M出發，相向而行，2分鐘后在途中相遇，相遇后，兩點的速度都提高了1單位長度/分，當甲到達M點后立刻按原路向A返行，當乙到達A點后也立刻按原路向M點返行．甲、乙兩點在第一次相遇后3分36秒又再次相遇，則A、M兩點的距離是單位長度；(4)當甲以4單位長度/分的速度從A出發，向右運動，乙同時從點C出發，以6單位長度/分的速度向左運動，當甲到A、B、C的距離之和為40個單位長度時，假如甲立即掉頭返行，請問甲、乙還能碰面嗎？若能，求出碰面的地點對應的數；若不能，請說明理由．類型七、分配問題40．某采摘園計劃拿出一筆固定的資金分兩天購進甲、乙、丙三種水果樹苗，且購買甲、乙、丙三種樹苗的總價之比為3:4:6．第一天，采購員用于購買甲、乙、丙三種樹苗的資金之比為2:3:1，第二天，采購員將用余下的資金繼續購買這三種樹苗，經預算需將余下資金的購買甲樹苗，則采購員還需購買的乙、丙樹苗的資金之比為．41．某公司對A村、B村、C村進行了合作辦企的投資，其投資總額是對C村投資額的倍．隨著國家對鄉村振興的高度重視，該公司調整了投資計劃，在原投資總額的基礎上再增加一部分投資，并按3：3：8的比例分別對A村、B村、C村增加投資．該公司調整投資計劃后，若該公司對A村的投資總額與該公司對三個村的投資總額的和的比為6：13，且該公司對B村增加的投資額是該公司對三個村的投資總額的和的，則該公司對B村的投資總額與該公司對C村的投資總額的比為．42．北關美食街開業當天為提升知名度、吸引眾食客前往，現場舉行了一系列促銷活動，其中一項“微信關注、禮券來襲”的促銷活動方案如下：“美食街入口宣傳桁架上張貼了300個外觀完全相同的定制紅包，食客微信關注分享公眾號后即可獲得一次抽取紅包的機會，每個紅包內隨機裝有一張5元，10元，20元，30元的禮券．”開業當天300個定制紅包均被領取，經統計，上午取出的紅包禮券總金額為940元，其中20元禮券的紅包個數為10元禮券紅包個數的一半，30元禮券的紅包個數多于1個，且少于5個；下午取出的紅包禮券總金額為1130元，下午5元禮券的紅包個數比上午少10個，10元禮券的紅包個數為上午的兩倍，20元禮券的紅包個數比上午多5個，僅出現了1個30元禮券；剩余的所有紅包均在晚上被領取，則晚上領取的紅包總數為個．43．每年冬季是渝北梨橙大豐收的季節，四川成都開展“水果一帶一路”活動，渝北順豐快遞公司出動所有車輛分12月25，26日兩批往成都運輸現摘梨橙．該公司共有A，B，C三種車型，其中A型車數量占公司車輛總數的一半，B型車數量與C型車數量相等．25日安排A型車數量的一半，B型車數量的，C型車數量的進行運輸，且25日A，B，C三種車型每輛車載貨量分別為10噸，15噸，20噸，則25日剛好運完所有梨橙重量的一半．26日安排剩下的所有車輛完成剩下的所有梨橙的運輸，且26日A，B，C三種車型每輛載貨量分別不超過15噸，27噸，24噸．26每輛B型車實際載貨量為26日每輛A型車每輛實際載貨量的．已知同型貨車每輛的實際載貨量相等，A，B，C三種車型每輛車26日運輸成本分別為100元/噸，200元/噸，75元/噸，則26日運輸時，一輛A型車、一輛B型車，一輛C型車總的運輸成本至多為元．種類運輸車輛總數運輸梨橙總量Ax10xB5xC15x種類運輸車輛總數一輛車實際載貨量運輸梨橙總量AxmmxBmxCn44．育人，是一所學校的根本使命．近年來，巴蜀中學堅持“挖掘潛能張揚個性”的辦學特色，“善為根、雅為骨、志為魂”的德育理念．在“善雅志”德育理念指導下，各年級都有以“善雅志”為主題的品牌活動．比如在2021年3月25日，初一年級舉行了“尚善青春致敬楷模愛黨愛國共成長”為主題的班級形象大賽．在活動初期，某幾個班級組織了86名同學搬活動節目所需要的道具，為了便于管理，把其中50名同學分成了A、B兩組，另外36名同學分成了C、D兩組．A、C兩組把道具搬到甲地點，B、D兩組把道具搬到乙地點，結束后統計得知：A組搬道具的人均件數比B組搬道具的人均件數多2件，C，D兩組搬道具的人均件數相同，且是B組搬道具的人均件數的2.5倍，甲、乙兩個地點的人均搬道具件數相同，且比A組搬道具的人均件數高25%．已知搬道具的人均件數為整數，則一共有道具件．類型八、營銷問題45．2022年12月7日，國務院聯防聯控機制綜合組發布《關于進一步優化落實新冠肺炎疫情防控措施的通知》，發布了優化落實疫情防控的新十條規定，疫情防控迎來新的轉折點．為了防治“新型冠狀病毒”，小明媽媽準備購買醫用口罩和洗手液用于家庭防護．若醫用口罩買100個，洗手液買6瓶，則需300元；若醫用口罩買200個，洗手液買4瓶，則需400元．(1)求醫用口罩和洗手液的單價；(2)小明媽媽準備了600元，除購買醫用口罩和洗手液外，還需增加購買單價為3元的口罩a個．醫用口罩和口罩共200個，購買洗手液b瓶，錢恰好全部用完，可列出等量關系______．小明的媽媽一共有幾種購買方案？46．某超市從廠家購進兩種型號的水杯，兩次購進水杯的情況如表：進貨批次型水杯（個）型水杯（個）總費用（元）一二(1)求兩種型號的水杯進價各是多少元？(2)第三次進貨用元錢購進這兩種水杯，如果每銷售出一個型水杯可獲利元，售出一個型水杯可獲利元，超市決定每售出一個型水杯就為當地“新冠疫情防控”捐元用于購買防控物資．若、兩種型號的水杯在全部售出的情況下，捐款后所得的利潤始終不變，此時為多少？利潤為多少？47．今年11月份，某商場用22200元購進長虹取暖器和格力取暖器共400臺，已知長虹取暖器每臺進價為50元，售價為70元，格力取暖器每臺進價為60元，售價為90元．甲生產廠家：格力取暖器出廠價為每臺60元，折扣數如下表所示：一次性購買的數量不超過150臺的部分超過150臺的部分折扣數打九折打八五折乙生產廠家：格力取暖器出廠價為每臺50元，當出廠總金額達一定數量后還可按下表返現金．出廠總金額不超過7000元超過7000元，但不超過10000元超過10000元返現金金額0元直接返現200元先返現出廠總金額的2%，再返現296元(1)求11月份兩種取暖器各購進多少臺？(2)在將11月份購買的兩種取暖器從廠家運往商場的過程中，長虹取暖器出現的損壞（損壞后的產品只能為廢品，不能再進行銷售），而格力取暖器完好無損，商場決定對這兩種取暖器的售價進行調整，使這次購進的取暖器全部售完后，商場可獲利35%，已知格力取暖器在原售價基礎上提高5%，問長虹取暖器調整后的每臺售價比原售價多多少元？(3)今年重慶的天氣比往年寒冷了許多，進入12月份，格力取暖器的需求量增大，商場在籌備“雙十二”促銷活動時，決定去甲、乙兩個生產廠家都只購進格力取暖器，甲、乙生產廠家給出了不同的優惠措施：（如表格）已知該商場在甲生產廠家購買格力取暖器共支付8610元，在乙生產廠家購買格力取暖器共支付9700元，若將在兩個生產廠家購買格力取暖器的總量改由在乙生產廠家一次性購買，則商場可節約多少元？48．為了切實保護自然生態環境，某地政府實施全面禁漁．禁漁后，某水庫自然生態養殖的魚在市場上熱銷，經銷商老李每天從該水庫購進草魚和鰱魚進行銷售，兩種魚的進價和售價如下表所示：進價（元）售價（元/斤）鰱魚a5草魚b銷量不超過200斤的部分銷量超過200斤的部分87已知老李購進10斤鰱魚和20斤草魚需要155元，購進20斤鰱魚和10斤草魚需要130元．(1)求a，b的值；(2)老李每天購進兩種魚共300斤，并在當天都銷售完，其中銷售鰱魚不少于80斤且不超過120斤，設每天銷售鰱魚x斤（銷售過程中損耗不計）．①端午節這天，老李打算讓利銷售，將鰱魚售價每斤降低m元，草魚售價全部定為7元/斤，為了保證當天銷售這兩種魚總獲利W（元）的最小值不少于320元，求m的最大值．②老李又想出新的讓利銷售方案，端午節當天老李決定銷售鰱魚80斤，草魚220斤，且兩種魚都不再降價，按表中售價銷售，但花費共計200元購買贈品并全部贈送給前來買魚的消費者，此種方案與①中m取最大值時的方案相比哪種方案老李的利潤率更高？49．雜交水稻的發展對解決世界糧食不足問題有著重大的貢獻，某超市購進A、B兩種大米銷售，其中兩種大米的進價、售價如下表：類型進價（元/袋）售價（元/袋）A種大米2030B種大米3045(1)該超市在3月份購進A、B兩種大米共70袋，進貨款恰好為1800元．①求這兩種大米各購進多少袋；②據3月份的銷售統計，兩種大米的銷售總額為900元，求該超市3月份已售出大米的進貨款為多少元．(2)為刺激銷量，超市決定在4月份增加購進C種大米作為贈品，進價為每袋10元，并推出兩種促銷方案．甲方案：“買3袋A種大米送1袋C種大米”；乙方案：“買3袋B種大米送2袋C種大米．”若進貨款為2100元，4月份超市的購進數量恰好滿足上述促銷搭配方案，此時購進三種大米各多少袋？50．根據以下素材，探索完成任務一：如何設計購買方案？素材某校名同學要去參觀航天展覽館，已知展覽館分為三個場館，且購買張場館門票和張場館門票共需元，購買張場館門票和張場館門票共需元．場館門票為每張元素材由于場地原因，要求到場館參觀的人數要少于到B場館參觀的人數，且每位同學只能選擇一個場館參觀．參觀當天剛好有優惠活動：每購買張場館門票就贈送張場館門票．問題解決任務確定場館門票價格求場館和場館的門票價格．任務探究經費的使用若購買場館門票贈送的場館門票剛好夠參觀場館的同學使用，求此次購買門票所需總金額的最小值．任務擬定購買方案若參觀場館的同學除了使用掉贈送的門票外，還需購買部分門票，且讓去場館的人數盡量的多，最終購買三種門票共花費了元，請你直接寫出購買方案．探索完成任務二：如圖，在參觀航天展覽館活動中，某班學生分成兩組，第一組由場館勻速步行到場館后原路原速返回，第二組由場館勻速步行到場館繼續前行到場館后原路原速返回．兩組同時出發，設步行的時間為（單位：），兩組離場館的距離為（單位：），圖中折線分別表示兩組學生與之間的函數關系．（）兩場館之間的距離為______；（）第二組步行的速度為______；（）求第二組由場館出發首次到達場館所用的時間．51．平價商場經銷甲、乙兩種商品，甲種商品每件售價60元，得利潤20元；乙種商品每件進價50元，售價80元．(1)甲種商品每件進價為_____元，每件乙種商品所賺利潤_____元；(2)若該商場進貨時同時購進甲、乙兩種商品共50件，恰好總進價為2100元，求購進甲、乙商品各多少件？如果這些商品全部出售，商場共獲利多少元？(3)在“五一”期間，該商場只對甲、乙兩種商品進行如下的優惠促銷活動：打折前一次性購物總金額優惠措施少于等于450不優惠超過450，但不超過600按打九折超過600其中600部分八點二折優惠，超過600的部分打三折優惠按上述優惠條件，若小華一次性購買乙種商品實際付款504元，求小華在該商場購買乙種商品多少件？52．商場為慶祝母親節，為了促進消費，推出贈送“優惠券”活動，其中優惠券分為三種類型．如下表：A型B型C型滿368減100滿168減68滿50減20在此次活動中，小溫領到了三種不同類型的“優惠券”若干張，準備給媽媽買禮物．(1)若小溫同時使用三種不同類型的“優惠券”消費，共優惠了520元，已知她用了1張A型“優惠券”，4張C型“優惠券”，則她用了______張B型“優惠券”．(2)若小溫同時使用了5張A，B型“優惠券”，共優惠了404元，那么他使用了A，B“優惠券”各幾張？(3)若小溫共領到三種不同類型的“優惠券”各16張（部分未使用），他同時使用A，B，C型中的兩種不同類型的“優惠券”消費，共優惠了708元，請問有哪幾種優惠券使用方案？（請寫出具體解題過程）類型九、二元一次方程組在幾何問題中的應用53．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，的邊在x軸上，A、C兩點的坐標分別為，，且m，n滿足方程組，點P從點B出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線勻速運動，設點P運動時間為t秒．(1)求A、C兩點的坐標；(2)連接，用含t的代數式表示的面積，并直接寫出t的取值范圍；(3)當點P在線段上運動時，在y軸上是否存在點Q，使與全等？若存在，請求出t的值并直接寫出Q點標；若不存在，請說明理由．54．平面直角坐標系中，有三個點A、B、C，，m，n滿足（t為實數）其中a，b，c為滿足．

(1)______，_______(2)當時，將線段豎直向上平移3個單位長度，再水平平移e個單位長度到，點B對應，點C對應，若A，，三點共線，求線段的水平平移方式；（提示：面積法）(3)若A點和C點關于y軸對稱，在x軸上是否存在一點，使，若存在，求出k的取值范圍．55．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為0,m，點C的坐標，點C在x軸的正半軸上，且m、n滿足方程組．(1)求點B的坐標；(2)動點P從B點出發以2個單位購的速度沿射線方向移動，連接，設點P運動時間為，的面積為S，用含有的式子表示S（并直接寫出的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，當P在線段上時，點R為線段的中點，連接、、，當時，求點P的坐標，并求出的面積．56．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點，點，直線交x軸的正半軸于點C，且a、b滿足．

(1)請直接寫出點B的坐標；(2)如圖1，動點P從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線運動，設的面積為S，點P的運動時間為t，連接，請用含t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；(3)如圖2，在（2）的條件下，D為上一點，E為x軸負半軸上一點，，直線于點F，直線于點G，連接、，且平分，，當點P在線段上時，連接、，若，，求的面積．57．在平面直角坐標系中，點均在軸上，點在第一象限，直線上所有點的坐標都是二元一次方程的解，直線上所有點的坐標都是二元一次方程的解．

(1)求點的坐標時，小明是這樣想的：先設點坐標為，因為B點在直線上，所以是方程的解；又因為點在直線上，所以也是方程的解，從而滿足．據此可求出點坐標為________，再求出點坐標為________，點坐標為________（均直接寫出結果）．(2)點在線段上，使，求點坐標；(3)點是坐標平面內的動點，若滿足，求的取值范圍．58．在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點，，其中b、c是二元一次方程組的解．

(1)求點B、C的坐標；(2)如圖，直線軸于點，點的坐標為，為線段的中點，直線交于x軸點A，動點P從點G出發以每秒2個單位長度的速度沿線段勻速運動．設的面積為S，運動時間為t秒，請用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；(3)在（2）的條件下，動點Q同時從點A出發以每秒3個單位的速度沿線段勻速運動，分別過點O、B作直線的垂線，垂足分別為點E、點F，當時，求出t的值．59．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B均在x軸上，點C在第一象限，直線AC與y軸交于點D，且直線AC上所有點的坐標都是二元一次方程的解，直線BC上所有點的坐標都是二元一次方程的解．(1)求點C的坐標時，小聰是這樣想的：先設點C的坐標為，因為點C在直線AC上，所以是方程的解；又因為點C在直線BC上，所以是方程的解，從而m，n滿足據此可求出點C的坐標為______，再求出點A的坐標為______，點B的坐標為；(2)求四邊形BODC的面積；(3)點是線段BC上一點，若點E的縱坐標，則點E的橫坐標x的取值范圍是；(4)在y軸上是否存在點P，使三角形ACP的面積等于三角形ABC面積的倍？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．60．把形狀、大小完全相同，長為y，寬為x的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為m，寬為n，且）的盒子底部，有如下兩種擺法（如圖②③），盒子底部未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．(1)圖②中陰影部分的周長為______（用含m，n的式子表示）；(2)圖③中，若，請直接寫出m，n的長（用含x，y的式子表示）；(3)若圖②中陰影部分的面積為480，，且，在（2）的條件下，求圖③中的長．61．問題情景：某綜合實踐小組開展了“無蓋長方體紙盒的制作”實踐活動．(1)下面不可能是長方體展開圖的是___________．（填序號）

(2)綜合實踐小組利用邊長為厘米的正方形紙板制作出兩種不同方案的無蓋長方體盒子．其中．

①根據圖1方式制作一個無蓋的長方體盒子，先在紙板四角剪去四個同樣大小邊長為厘米的小正方形，再沿虛線折合起來，則長方體紙盒的底面積為__________平方厘米；②根據圖2方式制作一個無蓋的長方體紙盒，先在紙板上剪去一個小長方形，再沿虛線折合起來，如圖所示，已知，求該長方體紙盒的體積；(3)小明按照圖1的方式用邊長為厘米的正方形紙片制作了一個無蓋的長方體盒子，小明想利用這個盒子研究無蓋長方體的展開圖，他發現其中有一種展開圖外圍周長為厘米，求小明剪去的四個同樣大小的小正方形的邊長．（求出所有可能的情況）62．用若干塊如左圖所示的正方形或長方形紙片拼成圖（1）和圖（2）（1）如圖（1），若AD＝7，AB＝8，求與的值；（2）如圖（1），若長方形ABCD的面積為35，其中陰影部分的面積為20，求長方形ABCD的周長；（3）如圖（2），若AD的長度為5，AB的長度為．①當＝________，＝_________時，，的值有無數組；②當________，_________時，，的值不存在．63．某工廠需制作如圖所示的豎式與橫式兩種無蓋紙盒（單位cm）．

情境內容圖形情境1工廠倉庫內現存有的正方形紙板200張，的長方形紙板400張，用庫存紙板制作兩種無蓋紙盒．

情境2庫存紙板已用完，采購部重新采購了如圖規格的紙板，甲紙板尺寸為，乙紙板尺寸為，丙紙板尺寸為．采購甲紙板有800張，乙紙板有400張，丙紙板有300張．紙板裁剪后可制作兩種無蓋紙盒．

情境3某次采購訂單中，甲種紙板的采購數量為500張，乙種300張，因采購單被墨水污染，導致丙種紙板的具體數字已經模糊不清，只知道百位和十位數字分別為2和4

根據以上信息，解決以下問題：(1)情境1，問兩種紙盒各做多少個，恰好將庫存紙板用完？(2)情境2，問能否通過做適當數量的豎式和橫式無蓋紙盒，使得紙板的使用率為？請通過計算說明理由．(3)情境3，若本次采購的紙板裁剪做成豎式和橫式無蓋紙盒，并使得紙板的使用率為，請你能幫助工廠確定丙紙板的張數．類型十、一次函數與二元一次方程組64．設直線和直線（是正整數）及軸圍成的三角形面積為，則的值為．65．定義：我們把一次函數與正比例函數的交點稱為一次函數的“不動點”．例如求的“不動點”：聯立方程，解得，則的“不動點”為，（1）由定義可知，一次函數的“不動點”為；（2）若直線與軸交于點，與軸交于點，且直線上沒有“不動點”，若點為軸上一個動點，使得，求滿足條件的P點坐標66．如圖1，平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與直線交于點C．(1)求點C的坐標．(2)如圖2，過點E作直線軸于點E，交直線于點F，交直線于點G．若點E的坐標是，點M為y軸上的中點，直線l上是否存在點P，使的值最大？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．(3)若（2）中的點是軸上的一個動點，點的橫坐標為，并且點在軸上運動，當取何值時，直線上存在點，使得以，，為頂點的三角形與全等？請畫出草圖，并直接寫出相應的的值．67．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線交于點C．(1)若直線解析式為，直線解析式為，①求點C的坐標②求的面積．(2)如圖2，作的平分線，若，垂足為E，，的面積為6，P、Q分別為線段上的動點，連結與，則最小值為________．68．函數叫做關于m的對稱函數，它與x軸負半軸交點記為A，與x軸正半軸交點記為B．

(1)關于1的對稱函數與直線交于點C；①A（，0）；B（，0）；C（1，）．②P為關于1的對稱函數圖象上一點（點P不與點C重合），當時，求點P的坐標；(2)當時，直線與關于m的對稱函數有兩個交點時，求m的取值范圍；(3)當時，點E是關于m的對稱函數圖象上的一點，點E的橫坐標為m，點F為y軸上一點，點F的坐標為，直接寫出A、E、F組成直角三角形且A為直角頂點時m的值．69．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線交于點P．點C為直線與x軸的交點．(1)求點P的坐標；(2)點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作平行于軸的直線，分別交直線，于點，點，設點的橫坐標為：①求線段的長（用含的代數式表示）；②當點，，三點中有一個點是另兩個點構成線段的中點，請求出的值；(3)過點作軸于點，點在射線上且不與點重合，點在射線上，，連結，，是否存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．70．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線交于點P．點C為直線與x軸的交點．(1)求點P的坐標．(2)點Q是線段CA上的一個動點（點Q不與點C，A重合），過點Q作平行于y軸的直線l，分別交直線AB于M點，交CP于點N，設點Q的橫坐標為m．①求線段的長（用含m的代數式表示）．②當點Q，M，N三點中有一個點是另兩個點構成線段的中點，請求出m的值．(3)過點P作軸于點H，點E在射線上且不與點P重合，點F在射線上，，連接是否存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．71．閱讀并解決下面問題：定義：把函數中自變量作為橫坐標，函數值作為縱坐標，我們把坐標x,kx+b叫做函數的函數坐標；反過來，把坐標x,kx+b中的橫坐標看做自變量，縱坐標看作因變量，得到函數，我們把函數叫做坐標x,kx+(1)坐標是函數的函數坐標；（填函數表達式）(2)已知，兩點在同一直角坐標系中，則線段的最短距離是；(3)如圖，已知直線與兩坐標軸分別交于，兩點，與直線交于點，是直線上的動點，點橫坐標為，過點作軸的平行線，交直線于點，且，求點的坐標；(4)在（3）的條件下，點在的內部（不包括邊界），則t的取值范圍是．72．在函數學習中，我們通過列表—描點—連線的方法畫出了所學的函數圖象．同時，我們也學習了絕對值的意義．根據學習函數的經驗，探究函數的圖象和性質，已知該函數圖象經過點與點．(1)由題意可知，______，______；(2)請在給出的平面直角坐標系中