試卷第=page22頁，共=sectionpages8989頁第二章實數內容導航知識點…………………2類型一、與平方根有關的計算……………5類型二、平方根的規律運算……………11類型三、平方根的非負性應用…………16類型四、與立方根的有關運算…………19類型五、無理數的估算…………………25類型六、實數與數軸……………………34類型七、與實數有關的程序運算、自定義運算……………43類型八、與實數有關規律運算…………51類型九、二次根式的運算………………63類型十、二次根式的應用………………75知識點1．算術平方根（1）定義：一般地，如果一個正數x的平方根等于a,即：那么這個正數x就叫做a的算術平方根，記作，讀作“根號a”,（2）表示方法：非負數a的算術平方根記作，讀作根號a,（3）性質：①正數只有一個算術平方根，并且恒為正；②0的算術平方根為0，即；③負數沒有算術平方根，當式子有意義時，a一定是一個非負數。知識點2平方根（1）定義：一般地，如果一個正數x的平方根等于a，即：那么數x就叫做a的平方根，記作，讀作“正負根號a”,（2）表示方法：一個數a（a≧0）的平方根記作(a≧0)，讀作根號a,“正負根號a”,（3）性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0只有一個平方根，是它本身，負數沒有平方根。知識點3開平方（1）定義:求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，a叫做被開方數；（2）區別：取值范圍不同：中a為任意實數；中a；被開方數不同：中被開方數為；中被開方數為a；運算順序不同：先平方再開方；先開方再平方。聯系：結果為非負數；中a≧0時，=知識點4：立方根的定義1.定義：如果一個數的立方等于，那么這個數叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數的立方根的運算，叫做開立方.注意：一個數的立方根，用表示，其中是被開方數，3是根指數.開立方和立方互為逆運算.2：立方根的特征立方根的特征：正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0.注意：任何數都有立方根，一個數的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數的符號相同.兩個互為相反數的數的立方根也互為相反數.知識點2：立方根的性質注意：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.知識點5：實數1.實數的概念：有理數和無理數統稱為實數.2.實數的分類按定義分：按與0的大小關系分：實數實數3.實數與數軸上的點一一對應.數軸上的任何一個點都對應一個實數，反之任何一個實數都能在數軸上找到一個點與之對應.知識點6：實數的運算1．注意：有理數關于絕對值、相反數的意義同樣適用于實數。2．運算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。知識點7：二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．如都是二次根式。2.二次根式滿足條件：（1）必須含有二次根號；（2）被開方數必須是非負數.知識點二：二次根式有無意義的條件1.二次根式有意義：被開方數為非負數，即；2.二次根式無意義：被開方數為負數，即；知識點8：二次根式1.二次根式（）的非負性（）表示的算術平方根，也就是說，（）是一個非負數，即（）．2.二次根式的性質：（）3.二次根式的性質：知識點8：二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數相乘，根的指數不變）2.二次根式的乘法法則的推廣:，即當二次根式前面有系數時，可類比單項式乘單項式的法則進行計算，即將系數之積作為系數，被開方數之積作為被開方數.3.二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實為積的算數平方根的性質）知識點9：二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開方數相除，根指數不變）知識點10：最簡二次根式1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母，（2）被開方數中不含能開方開得盡得因數或因式2.化簡二次根式的一般方法方法舉例將被開方數中能開得盡得因數或因式進行開方化去根號下的分母若被開方數中含有帶分數，先將被開方數化成假分數若被開方數中含有小數，先將小數化成分數若被開方數時分式，先將分式分母化成能轉化為平方的形式，再進行開方運算(a＞0，b＞0，c＞0）被開方數時多項式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：當分母含有根式時，依據分式的基本性質化去分母中的根號。方法：根據分式的基本性質，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號.知識點11：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數相同的二次根式進行合并。二次根式加減運算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數相同的二次根式；③合：合并被開方數相同的二次根式——將”系數”相加作為和的系數，根指數與被開方數保持不變。知識點三：二次根式的混合運算二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）類型一、與平方根有關的計算1．在一個正方形的內部按照如圖方式放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形面積為12，重疊部分的面積為3，空白部分的面積為2﹣6，則較小的正方形面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【分析】根據面積可求得大正方形和陰影部分的邊長，從而求得空白部分的長；觀察可知兩塊空白部分全等，則可得到一塊空白的面積；通過長方形面積公式渴求空白部分的寬，最后求出小正方形的邊長即可求出面積．【詳解】∵觀察可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，∴重疊部分也為正方形，∵空白部分的面積為2﹣6，∴一個空白長方形面積=，∵大正方形面積為12，重疊部分面積為3，∴大正方形邊長=，重疊部分邊長=，∴空白部分的長=，設空白部分寬為x，可得：，解得：x=，∴小正方形的邊長=空白部分的寬+陰影部分邊長=，∴小正方形面積==10，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，觀察圖形得到各個正方形邊長之間的關系是解題的關鍵．2．一個自然數的一個平方根是，則與它相鄰的下一個自然數的平方根是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據平方根定義得原數為a2，故相鄰的下一個自然數是a2+1，再求得平方根即可.【詳解】根據題意，平方根為a是數a2，則與它相鄰的下一個自然數是a2+1，所以它的平方根是，故此題選擇D.【點睛】此題考查平方根定義，這里準確確定被開方數是解題關鍵.3．如圖所示為一個按某種規律排列的數陣：根據數陣的規律，第7行倒數第二個數是.【答案】【分析】觀察數陣中每個平方根下數字的規律特征，依據規律推斷所求數字.【詳解】觀察可知，整個數陣從每一行左起第一個數開始，從左到右，從上到下，是連續的正整數的平方根，而每一行的個數依次為2、4、6、8、10…則歸納可知，第7行最后一個數是，則第7行倒數第二個數是.【點睛】本題考查觀察與歸納，要善于發現數列的規律性特征.4．若是一個完全平方數，則比大的最小完全平方數是．【答案】【分析】由于是一個完全平方數，則．可知比大的最小完全平方數是．【詳解】是一個完全平方數，的算術平方根是，∴比的算術平方根大1的數是，∴這個完全平方數為：．故答案為：．【點睛】本題考查了完全平方數．解此題的關鍵是能找出與之差最小且比大的一個完全平方數是緊挨著自然數后面的自然數：．5．如圖，用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形．（1）則大正方形的邊長是___________；（2）若沿著大正方形邊的方向裁出一個長方形，能否使裁出的長方形紙片的長寬之比為5：4，且面積為？【答案】（1）；（2）不能剪出長寬之比為5：4，且面積為的大長方形，理由詳見解析【分析】（1）根據已知得到大正方形的面積為400，求出算術平方根即為大正方形的邊長；（2）設長方形紙片的長為，寬為，根據面積列得，求出，得到，由此判斷不能裁出符合條件的大正方形.【詳解】（1）∵用兩個面積為的小正方形拼成一個大的正方形，∴大正方形的面積為400，∴大正方形的邊長為故答案為：20cm；（2）設長方形紙片的長為，寬為，，解得：，，答：不能剪出長寬之比為5：4，且面積為的大長方形.【點睛】此題考查利用算術平方根解決實際問題，利用平方根解方程，正確理解題意是解題的關鍵.6．如圖，一只螞蟻從點沿數軸向右爬了個單位長度到達點，點表示，設點所表示的數為．

(1)求的值；(2)在數軸上另有、兩點分別表示實數和，且有與互為相反數，求線段的中點與點之間的距離．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用數軸兩點間的距離公式計算即可；（2）利用非負數的性質，得到，的值，代入求值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴；（2）解：∵與互為相反數，∴，∴，∴，，∴點、點所表示的數是一對相反數，即線段的中點為原點，∴線段中點（即原點）與點之間的距離為．【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離公式、算術平方根與絕對值非負數的性質及絕對值的計算，解題的關鍵是求得的值及非負數性質的應用，注意平方根有兩個．7．探究發散：(1)完成下列填空①______，②______，③______，④______，⑤______，⑥______；(2)計算結果，回答：一定等于嗎？你發現其中的規律了嗎？請你用數學語言描述出來：_____________________(3)利用你總結的規律，計算：若，則______；(4)有理數在數軸上的位置如圖．

化簡：．【答案】(1)3，0.5，6，0，，(2)不一定，正數和零的平方的算術平方根為其本身，負數的平方的算術平方根為其相反數(3)(4)【分析】（1）根據數的算術平方根的計算可以求出各數的值；（2）結合（1）中計算可知不一定等于，并發現其中規律．（3）運用（2）得出的規律進行運算即可；（4）結合數軸可知，且，然后根據算術平方根的性質、相反數的性質以及絕對值的性質進行求解即可．【詳解】（1）解：①，②，③，④，⑤，⑥．故答案為：3，0.5，6,0，，；（2）由（1）可知，不一定等于，可發現規律：正數和零的平方的算術平方根為其本身，負數的平方的算術平方根為其相反數故答案為：正數和零的平方的算術平方根為其本身，負數的平方的算術平方根為其相反數；（3）若，則，所以．故答案為：；（4）由在數軸上的位置可知，，且，所以．【點睛】本題主要考查了算術平方根、有理數與數軸、相反數以及絕對值等知識，熟練掌握相關性質和運算法則是解題關鍵．類型二、平方根的規律運算8．，，，…，則（

）A．1013 B．1022 C．1012 D．1023【答案】C【分析】本題考查了算術平方根．解此類題目的關鍵在于觀察已知等式，從等式中找到到規律，再根據規律解題．認真觀察式子，可以發現等式左邊的被開方數是從1開始的連續奇數的和，右邊是首末兩個奇數的平均數（或奇數個數）的平方，利用此規律即可解答．【詳解】觀察可得：，，…，∴，∴∴∴．故選：C．9．按要求填空：（1）填表：0.00040.044400（2）根據你發現規律填空：已知：，則，；已知：，，則．【答案】0.020.222026.830.026833800【分析】本題考查了數字類規律探究，算術平方根，根據解題過程找出一般規律是解題關鍵．（1）先求出每個數的算術平方根，再填表即可；（2）根據計算找出規律即可得到答案．【詳解】（1），，，，填表如下：a（2）由以上解答過程發現：求一個數的算術平方根時，被開方數擴大或縮小100倍，則它的算術平方根擴大或縮小10倍，，；，，∵，．故答案為0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800．10．計算四個式子的值：；；；，觀察計算結果，發現規律得出：的值為．【答案】36【分析】本題主要考查了求一個數的算術平方根以及數字的變化規律的應用，熟練掌握求一個數算術平方根的方法是解題關鍵．根據；；；，…，可得：，據此求出的值為多少即可．【詳解】解：；；；，…，∴，∴．故答案為：36．11．觀察表格a0.00010.01110010000…0.010.1110100…按表中規律若已知，用含m的式子表示n，則．【答案】【分析】本題考查算術平方根的規律探究，通過表格可知，被開方數的小數點每向右移動2個數位，算術平方根的小數點向右移動1個數位，即可得出結果．【詳解】解：由表格可知，被開方數的小數點每向右移動2個數位，算術平方根的小數點向右移動1個數位，∵，∴；故答案為：．12．，，，……，其中為正整數，則的值是．【答案】【分析】本題考查數式規律問題、算術平方根、有理數的加減混合運算等知識點．先求出，，，的值，代入原式利用算術平方根和公式進行化簡與計算，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，．故答案為：．13．（1）觀察發現：…0.00010.01110010000……0.01x1y100…表格中，．（2）歸納總結：被開方數的小數點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數點就向______移動______位．（3）規律運用：①已知，則______；②已知，則m＝______．【答案】（1）0.1；10

（2）右；1

（3）①②25【分析】本題考查算術平方根中的規律探索題：（1）直接計算即可；（2）觀察（1）中表格數據，找出規律；（3）利用（2）中找出的規律求解．【詳解】解：（1），，故答案為：，10；（2）由表格中的數據可知被開方數的小數點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數點就向右移動1位．故答案為：右，1；（3）①已知，則，②已知，，則，∴故答案為：①22.4；②25．14．如何迅速準確地計算出四位數的算術平方根呢？按照下面思路你也能辦到．(1)以下是小明探究的過程，請補充完整：①由，可以確定是位數；②由的個位上的數是，可以確定的個位上的數是或；③如果劃去后面的兩位得到數，而，，可以確定的十位上的數是；因，而，所以選擇較小的個位數字，則__________．(2)已知也是一個整數的平方，請根據材料的方法求出，并說明理由．【答案】(1)①兩；②，；③(2)，理由見解析【分析】本題考查算術平方根；（1）根據所提供的方法進行計算即可；（2）按照（1）中的步驟和方法進行計解答即可．【詳解】（1）解：①由，可以確定是兩位數；②由的個位上的數是，可以確定的個位上的數是或；③如果劃去后面的兩位得到數，而，，可以確定的十位上的數是；因，而，所以選擇較小的個位數字，則．故答案為：①兩；②，；③；（2）已知也是一個整數的平方，根據材料的方法求出的過程如下：①由，可以確定是兩位數；②由的個位上的數是，可以確定的個位上的數是或；③如果劃去后面的兩位得到數，而，，可以確定的十位上的數是；因，而，所以選擇較大的個位數字，則．類型三、平方根的非負性應用15．若，則等于（

）A．5 B．－1 C．13 D．1【答案】A【分析】本題主要考查非負數的性質，根據非負數的性質求出的值，再代入即可求出．【詳解】解：，，故選：A．16．若實數、滿足，則；【答案】【分析】本題考查了二次根式非負的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0，根據非負數的性質列式求出a、b的值，然后代入計算即可得解【詳解】解：根據題意得，，解得，，則，故答案為：17．若，則=（

）A．－15 B．－9 C．9 D．15【答案】D【分析】此題主要考查了算術平方根的非負性質，正確得出，的值是解題關鍵．非負數和的值均為0時，算術平方根才有意義，直接利用算術平方根的非負性質得出，的值，進而得出答案．【詳解】解：，，，，當時，，．故選：D18．設x、y、z是兩兩不等的實數，且滿足下列等式：，則的值為．【答案】0【分析】利用二次根式被開方數非負性得到x、y、z大小關系，最后由符號之間的關系推導得到及y、z等量關系，最后直接計算整式的值即可．【詳解】及且x、y、z是兩兩不等的實數，且，，，，與、均同號，或，又，，故、不同號，，，，故答案為0．【點睛】本題考查二次根式的運算，由二次根式被開方數的非負性推導求值，通常這類由一個含有二次根式的式子進行求值的題，都能得到特殊大小或關系，從而求解目標式子，正確的利用二次根式被開方數的非負性推導字母符號和關系是解題的關鍵．19．若，則的值是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】此題主要考查了非負數的性質和完全平方公式，正確得出的值是解題關鍵．直接利用非負數的性質得出的值，進而得出答案．【詳解】解：∵，∴，，解得：，∴．故選：A．20．已知a，b，c為的三邊長，且b，c滿足，a為方程的解，求的周長．【答案】17【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系以及非負數的性質，等腰三角形的定義，掌握非負數的性質是解題的關鍵．依據非負數的性質，即可得到b和c的值，再根據a為方程的解，即可得到或1，依據三角形三邊關系，即可得到，進而得出的周長；【詳解】解：，，，解得，．∴a為方程的解，∴或1．當時，，不能構成三角形，∴a=1不符合題意；當時，，能構成三角形，此時，的周長為．綜上，的周長為17．類型四、與立方根的有關運算21．一般地，如果（為正整數，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．則下列結論：①3是81的四次方根；②任何實數都有唯一的奇次方根；③若，則的三次方根是；④當時，整數的二次方根有4050個．其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據a的n次方根的定義結合平方差公式和絕對值的意義逐一進行分析判斷即可．【詳解】解：①∵，∴3是81的四次方根，①正確；②任何實數都有唯一的奇次方根，②正確；③∵，則S的三次方根是，③正確；④由已知得：，即數軸上數a到數和數2025的距離和為4048，又由，故整數，則整數a的二次方根有，共4051個，④不正確；故應選：C．【點睛】本題主要考查對a的n次方根的定義的閱讀理解能力，平方差公式與絕對值的幾何意義是難點．22．據說．我國著名數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．乘客十分驚訝，忙問計算的奧秘．你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：(1)由，，可以確定是______位數．由59319的個位上的數是9，可以確定的個位上的數字是______，如果劃去59319后面的三位319得到數59，而，，由此可以確定、59319的十位上的數字是______；(2)已知32768，都是整數的立方，按照上述方法，請你分別求它們的立方根．【答案】(1)兩，9，3；(2)32，；【分析】（1）按照求立方根三步走，求位數，求個位，求十位推算即可；（2）按照題給方法，依次推算即可；【詳解】（1）∵∴是兩位數∵的個位上的數是9∴的個位上的數字是9∵劃去59319后面的三位319得到數59，∴的十位上的數字是3故答案是：兩，9，3；（2）①求32768的立方根∵∴的立方根是兩位數∵個位數是8∴的立方根個位數是2∵∴的立方根十位數是3綜合可得32768的立方根是32②求立方根∵∴的立方根是兩位數∵個位數是5∴的立方根個位數是5∵∴274625的立方根十位數是6∴274625的立方根65∴的立方根是【點睛】本題考查了無理數的估算，掌握一些常用整數的立方值有助于快速判斷立方根的整數范圍．23．我國數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口說出答案，眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙，你知道他是怎樣迅速準確地計算出結果的嗎？下面是小明的探究過程，請補充完整：(1)求．①由，，可以確定是位數；②由59319的個位上的數是9，可以確定的個位上的數是；③如果劃去59319后面的三位319得到數59，而，可以確定的十位上的數是，由此求得．(2)請你根據（1）中小明的方法，完成如下填空：①，②．【答案】(1)①兩；②9；③3；39(2)①；②0.81【分析】本題主要考查了立方根的概念的運用，解題關鍵在于比較立方根的大?。ㄟ^比較立方根的大小，即可得出答案．【詳解】（1）解：①，，，，是兩位數，故答案為：兩；②的個位上的數是9，而，個位上都是9，的個位上的數是9，故答案為9；③，，，的十位上的數是3，又的個位上的數是9，，故答案為：3，39；（2）解：①的立方根是負數，，，，，是兩位數，∵的前三位為117，后三位為649，，，，十位上的數為4，∵的個位上的數是9，而，個位上是9，∴的立方根為49，∴；②∵，∵，，，，是兩位數，∵的前三位為531，后三位為441，而，∴，∴十位數為8，∵，∴個位數是1，∴531441的立方根為81，∴，故答案為：，0.81．24．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x2=27②2（x﹣1）3+16=0．（2）觀察下列計算過程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729（?。┬∶魇沁@樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數，猜想它的個位數為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數為，驗證得19683的立方根是（ⅱ）請你根據（?。┲行∶鞯姆椒ǎ瓿扇缦绿羁眨孩?；②=；③=．【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（?。?，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．【分析】（1）直接利用解方程的基本步驟求解；（2）分別根據題中所給的分析方法先求出這幾個數的立方根都是兩位數，然后根據閱讀知識求出個位數和十位數即可．【詳解】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．（2）（?。┫裙烙?9683的立方根的個位數，猜想它的個位數為7，又由，猜想19683的立方根十位數為2，驗證得19683的立方根是27（ⅱ）①；②；③．故答案為：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．【點睛】本題主要考查了數的立方，理解一個數的立方的個位數就是這個數的個位數的立方的個位數是解題的關鍵，有一定難度．25．觀察下列各式，并用所得出的規律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數的小數點每向右移動______位，其算術平方根的小數點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數點的變化規律是_______________________．（4）已知，，則______．【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數的小數點向右（左）移三位，其立方根的小數點向右（左）移動一位；（4）-0.01【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規律，寫出即可；（2）利用得出的規律計算即可得到結果；（3）歸納總結得到規律，寫出即可；（4）利用得出的規律計算即可得到結果．【詳解】解：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數的小數點每向右移動兩位，其算術平方根的小數點向右移動一位．故答案為：兩；右；一；（2）已知，，則；；故答案為：12.25；0.3873；（3），，，……小數點的變化規律是：被開方數的小數點向右（左）移三位，其立方根的小數點向右（左）移動一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【點睛】此題考查了立方根，以及算術平方根，弄清題中的規律是解本題的關鍵．類型五、無理數的估算26．已知的平方根是的立方根是是的整數部分．(1)直接寫出的值；(2)若是的小數部分，求的算術平方根．【答案】(1)，(2)2【分析】本題主要考查了無理數的估算，平方根和立方根的概念，求一個數的算術平方根：（1）根據平方根和立方根的概念即可求出a、b的值，估算出，即可求出c的值；（2）根據（1）所求得到，進而求出的值，再根據算術平方根的定義求解即可．【詳解】（1）解：∵的平方根是的立方根是∴，∴，∵，∴，∴的整數部分為2，即；（2）解：由（1）可得，∴，∵4的算術平方根為2，∴的算術平方根為2．27．規定：對任意的非負實數n，用表示不大于n的最大整數，稱為n的整數部分，用表示的值，稱為n的小數部分.例如：，，，；請回答下列問題：(1)當時，以下五個命題中為真命題的是（填序號）①；②；③；④；⑤若（a為整數），則(2)當時，解關于x的方程【答案】(1)①②④⑤(2)或【分析】本題考查的是估算無理數的大小和實數的運算，熟練掌握無理數估算的方法是解題的關鍵．（1）根據題目中的規定進行逐一判斷即可得出答案；（2）先根據題目中的規定對原方程進行整理得，再進行分類討論，求解即可．【詳解】（1）解：，故①正確；，由于，，故②正確；表示的小數部分，，故③錯誤；表示的整數部分，，故④正確；為整數），，故⑤正確，故五個命題中為真命題的是①②④⑤，故答案為：①②④⑤；（2）解：，，，，是的小數部分，當時，；當時，，，可得，，綜上可得或．28．對于實數，我們規定：用符號表示不大于的最大整數，稱為的根整數，例如：，．(1)仿照以上方法計算：________；=________；(2)若，寫出滿足題意的正整數的值_________；(3)如果我們對連續求根整數，直到結果為1停止．例如：對10連續求根整數2次，，這時候結果為1．那么對400連續求根整數，多少次之后結果為1？請寫出你的求解過程．(4)只需進行2次連續求根整數運算后結果為1的所有正整數中，最大的是_________．【答案】(1)2，6；(2)1，2，3(3)四次之后結果為1，詳見解析(4)15，詳見解析【分析】本題主要考查了無理數的估算的應用等知識點，（1）根據題意得，，，則，即可得；（2）根據，，，x為正整數，即可得；（3）根據題意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得；（4）由（2）得，進行1次求根整數運算后結果為1的正整數最大為3，進行1次求根整數運算后結果為3的正整數最大為15，即可得；解題的關鍵是理解題意，掌握無理數的估算．【詳解】（1）∵，，，∴，∴，，故答案為：2，6；（2）∵，，，x為正整數，∴或或，故答案為：1，2，3；（3）∵第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，∴第四次之后結果為1；（4）（4）最大的是15，理由如下，由（2）得，進行1次求根整數運算后結果為1的正整數最大為3，∵，，∴進行1次求根整數運算后結果為3的正整數最大為15，∴只對一個正整數進行2次連續求根整數運算后結果為1，則這個正整數最大值是15，故答案為：15．29．根據下表回答下列問題：1718(1)的算術平方根是，的平方根是；(2)；（保留一位小數）(3)，；(4)若介于17．6與17．7之間，則滿足條件的整數n有個；(5)若這個數的整數部分為m，求的值．【答案】(1)，(2)(3)，(4)(5)【分析】（1）可得，，由算術平方根和平方根的定義即可求解；（2）可得，由，，即可求解；（3）開二次方時，被開方數的小數點每向右或左移動兩位時，結果小數點每向右或左移動一位；據此即可求解；（4）可得，從而可求，即可求解；（5）由可求，代值計算即可求解．【詳解】（1）解：由表格得，，的算術平方根是，，的平方根為，故答案：，．（2）解：，，，，故答案：．（3）解：開二次方時，被開方數的小數點每向右或左移動兩位時，結果小數點每向右或左移動一位；，，，；故答案：，．（4）解：介于17．6與17．7之間，，，可取、、、，整數n有個，故答案：．（5）解：，，的整數部分是，，．【點睛】本題考查了平方根和算術平方根的定義，逐步逼近法，無理數的估算，理解定義，掌握解法是解題的關鍵．30．新定義：若無理數的被開方數(T為正整數)滿足(其中n為正整數)，則稱無理數的“青一區間”為；同理規定無理數的“青一區間”為．例如：因為，所以的“青一區間”為，的“青一區間”為，請回答下列問題：(1)的“青一區間”為；的“青一區間”為；(2)若無理數(a為正整數)的“青一區間”為，的“青一區間”為，求的值．(3)實數x，y，滿足關系式：，求的“青一區間”．【答案】(1)，(2)2或(3)【分析】（1）根據“青一區間”的定義和確定方法，進行求解即可；（2）根據“青一區間”的定義求出的值，再根據立方根的定義，進行求解即可；（3）利用非負性求出的值，再進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴的“青一區間”為；∵，∴的“青一區間”為；故答案為：，；（2）∵無理數“青一區間”為，∴，∴，即，∵無理數的“青一區間”為，∴，∴，即，∴，∴，∵為正整數，∴或，當時，，當時，，∴的值為2或．（3）∵∴，即，∴，，∴，∵，∴的“青一區間”為．【點睛】本題考查無理數的估算，非負性，求一個數的立方根．理解并掌握“青一區間”的定義和確定方法，是解題的關鍵．31．任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數：，（其中為滿足不等式的最大整數，為滿足不等式的最小整數），則稱無理數的“麓外區間”為，如，所以的麓外區間為．(1)無理數的“麓外區間”是_________；(2)若其中一個無理數的“麓外區間”為且滿足，其中是關于x，y的二元一次方程的一組正整數解，求值．(3)實數x，y，m滿足關系式：，求的算術平方根的“麓外區間”．【答案】(1)(2)1或37(3)【分析】（1）只需要估算出的取值范圍即可得到答案；（2）由是關于x，y的二元一次方程的一組正整數解，得到是一個完全平方數，，再由，可得滿足題意的m、n的值為：或，由此代入方程中進行求解即可；（3）先根據，，得出，進而得出，，兩式相減可得，再根據“麓外區間”的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴無理數的“麓外區間”是，故答案為：（2）解：由題意得，m、n是兩個相鄰的正整數，∵是關于x，y的二元一次方程的一組正整數解，∴是一個完全平方數，，∵，∴滿足題意的m、n的值為：或，當時，則，∴，∴；當時，則，∴，∴，綜上所述，C的值為1或37；（3）解：∵，∴，，∴，∴，∴，∵∴，，兩式相減，得，∴，∴的算術平方根為，∵，∴，∴的算術平方根的“麓外區間”是．【點睛】本題主要考查了算術平方根、無理數的估算，非負數的性質，解二元一次方程組，題目較為新穎，解題的關鍵是理解題目中“麓外區間”的定義．類型六、實數與數軸32．如圖，正六邊形ABCDEF（每條邊都相等）在數軸上的位置如圖所示，點A、F對應的數分別為-2和-1，現將正六邊形ABCDEF繞著頂點順時針方向在數軸上連續翻轉，翻轉1次后，點E所對應的數為0，連續翻轉2000次后，數軸上1998這個數所對應的點是（）A．A點 B．D點 C．E點 D．F點【答案】C【分析】由題意可知，E、D、C、B、A、F、分別對應的點是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循環，由此可以確定出數軸上1998這個數所對應的點．【詳解】解：正六邊形ABCDEF繞著頂點順時針方向在數軸上連續翻轉第一圈時E、D、C、B、A、F、分別對應的點是0、1、2、3、4、5，∴6次一循環，∴，數軸上1998這個數所對應的點是E點，故選：C．【點睛】本題主要考查實數與數軸，確定出點的變化規律是解題的關鍵．33．在數軸上有三個互不重合的點A，B，C，它們代表的實數分別為a，b，c，下列結論中①若abc0，則A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側；②若a+b+c＝0，則A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側；③若a+c＝2b，則點B為線段AC的中點；④O為坐標原點且A，B，C均不與O重合，若OB﹣OC＝AB﹣AC，則bc0，所有正確結論的序號是（）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】①根據乘法法則判定a，b，c至少有一個大于0，據此可解；②根據加法法則判定a，b，c至少有一個大于0，據此可解；③根據兩點距離公式可判斷；④分情況討論：B、C都在點O的右側；B、C都在點O的左側；B、C在點O的兩側且點A在點C的右側；B、C在點O的兩側且點A在O、C之間（不與O重合）；B、C在點O的兩側且點A在O、B之間（不與O重合）；B、C在點O的兩側且點A在B右側時；逐一畫出圖形進行判斷，據此可解．【詳解】解：①若abc0，則a，b，c不可能都小于0，至少有一個大于0，所以A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側，故①正確；②若a+b+c＝0，因為a，b，c不能都為0，則a，b，c中至少有一個大于0，所以A，B，C三點中，至少有一個點在原點右側，故②正確；③若a+c＝2b，則a-b＝b-c，點B為線段AC的中點，故③正確；④如圖1,B、C都在點O的右側,∵OB﹣OC＝BC，AB﹣AC=BC，∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此時bc0，如圖2,B、C都在點O的左側,∵OB﹣OC＝BC，AB﹣AC=BC，∴OB﹣OC＝AB﹣AC，此時bc0，如圖3,B、C在點O的兩側時，若點A在點C的右側，顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，如圖4,B、C在點O的兩側時，若點A在O、C之間（不與O重合），顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，如圖5,B、C在點O的兩側時，若點A在O、B之間（不與O重合），顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，如圖6,B、C在點O的兩側時，若點A在B右側時，顯然OB﹣OC≠AB﹣AC，綜上所述，若OB﹣OC＝AB﹣AC，則B、C在點O的同一側，所以b和c同號，即bc0，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了數軸的有關知識及實數的運算法則，掌握運算法則及數形結合思想是解題關鍵．34．實數在數軸上的對應點的位置如圖所示，若，則A，B，C，D四個點中可能是原點的為（）A．A點 B．B點 C．C點 D．D點【答案】D【分析】分①若原點的位置為A點時，②若原點的位置為B點或C點時，③若原點的位置為D點時，結合有理數的加法法則和點在數軸上的位置分析即可得出正確選項．【詳解】解：根據數軸可知，①若原點的位置為A點時，x＞0，則，，，∴，舍去；②若原點的位置為B點或C點時，，則或，，∴，舍去；③若原點的位置為D點時，則，∴，符合條件，∴最有可能是原點的是D點，故選：D．【點睛】本題考查實數與數軸，有理數的加法法則，化簡絕對值．熟記有理數的加法法則是解題關鍵．35．如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點B，點A表示，設點B所表示的數為m.(1)______.(2)求的值；(3)在數軸上還有C、D兩點分別表示實數c和d，且有與互為相反數，求的平方跟.【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）根據兩點間的距離公式計算即可；（2）由（1）可得、，再利用絕對值的性質化簡絕對值號，最后合并同類項即可解答；（3）根據絕對值和算術平方根的非負性質求出、的值，再代入，進而求其平方根即可．【詳解】（1）解：∵螞蟻從點A沿數軸向右爬了個單位長度到達點，點表示∴點表示∴．故答案為：．（2）解：∵∴，∴．（3）解：∵與互為相反數∴∴，∴，∴∴，即的平方根是．【點睛】本題主要考查了實數與數軸、絕對值的性質、相反數的性質、非負數的性質、求一個數的平方根等知識點，掌握并靈活運用相關性質是解題的關鍵．36．如圖,半徑為1個單位的圓片上有一點A與數軸上的原點重合,AB是圓片的直徑.（1）把圓片沿數軸向左滾動1周，點B到達數軸上點C的位置，點C表示的數是

__________數(填“無理”或“有理”)，這個數是__________.（2）把圓片沿數軸滾動2周，點A到達數軸上點D的位置，點D表示的數是__________.（3）圓片在數軸上向右滾動的周數記為正數，圓片在數軸上向左滾動的周數記為負數，依次運動情況記錄如下：+2，-1，+3，-4，-3①第幾次滾動后，A點距離原點最近？第幾次滾動后，A點距離原點最遠？②當圓片結束運動時，A點運動的路程共有多少？此時點A所表示的數是多少？【答案】（1）無理，（2）﹣π；（3）4π或﹣4π；【分析】（1）利用圓的半徑以及滾動周數即可得出滾動距離；（2）利用圓的半徑以及滾動周數即可得出滾動距離；（3）①利用滾動的方向以及滾動的周數即可得出A點移動距離變化；②利用絕對值的性質以及有理數的加減運算得出移動距離和A表示的數即可．【詳解】解：（1）把圓片沿數軸向左滾動1周，點B到達數軸上點C的位置，點C表示的數是無理數，這個數是﹣π；故答案為無理，﹣π；（2）把圓片沿數軸滾動2周，點A到達數軸上點D的位置，點D表示的數是4π或﹣4π；故答案為4π或﹣4π；（3）①∵圓片在數軸上向右滾動的周數記為正數，圓片在數軸上向左滾動的周數記為負數，依次運動情況記錄如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3，∴第4次滾動后，A點距離原點最近，第3次滾動后，A點距離原點最遠；②∵|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|=13，∴13×2π×1=26π，∴A點運動的路程共有26π；∵（+2）+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）=﹣3，（﹣3）×2π=﹣6π，∴此時點A所表示的數是：﹣6π．【點睛】此題主要考查了數軸的應用以及絕對值的性質和圓的周長公式應用，利用數軸得出對應數是解題關鍵．37．動手試一試，如圖1，紙上有10個邊長為1的小正方形組成的圖形紙．我們可以按圖2的虛線將它剪開后，重新拼成一個大正方形．（1）基礎鞏固：拼成的大正方形的面積為______，邊長為______；（2）知識運用：如圖3所示，將圖2水平放置在數軸上，使得頂點B與數軸上的重合．以點B為圓心，邊為半徑畫圓弧，交數軸于點E，則點E表示的數是______；（3）變式拓展：①如圖4，給定的方格紙（每個小正方形邊長為1），你能從中剪出一個面積為13的正方形嗎？若能，請在圖中畫出示意圖；②請你利用①中圖形在數軸上用直尺和圓規表示面積為13的正方形邊長所表示的數．【答案】（1）10，；（2）；（3）見解析；（4）見解析【分析】（1）易得10個小正方形的面積的和，那么就得到了大正方形的面積，求得面積的算術平方根即可為大正方形的邊長；（2）根據大正方形的邊長結合實數與數軸的關系可得結果；（3）以2×3的長方形的對角線為邊長即可畫出圖形；（4）得到①中正方形的邊長，再利用實數與數軸的關系可畫出圖形．【詳解】解：（1）∵圖1中有10個小正方形，∴面積為10，邊長AD為；（2）∵BC=，點B表示的數為-1，∴BE=，∴點E表示的數為；（3）①如圖所示：②∵正方形面積為13，∴邊長為，如圖，點E表示面積為13的正方形邊長．【點睛】本題考查了圖形的剪拼，正方形的面積，算術平方根，實數與數軸，巧妙地根據網格的特點畫出正方形是解此題的關鍵．38．如圖，在數軸上有兩個長方形和，這兩個長方形的寬都是個單位長度，長方形的長是個單位長度，長方形的長是個單位長度，點在數軸上表示的數是，且E，D兩點之間的距離為．

(1)點在數軸上表示的數是_______，點在數軸上表示的數是_______；(2)若線段的中點為，線段上有一點，，以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動，以每秒3個單位長度的速度向左運動，設運動的時間為秒，問當為多少時，原點恰為線段的三等分點？(3)若線段的中點為，線段上有一點，，長方形以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動，長方形保持不動，設運動時間為秒，則的值為_______．【答案】(1)，(2)當或時，原點恰為線段的三等分點(3)的值為或【分析】（1）根據數軸上點的平移規律“左減右加”即可求得結論；（2）先根據題意求得點M、N在數軸上對應的數，再根據點M、N運動規律求得運動后所對應的數，點O為的三等分點要分兩種情形：或進行討論，分別列方程求解，要注意對結果要進行驗證；（3）以M，N，F三點為頂點的三角形是直角三角形，由，只要分兩種情形進行討論：或，運用勾股定理即可構建方程求解．【詳解】（1）解：長方形的長是個單位長度，且點在數軸上表示的數是，點在數軸上表示的數為，兩點之間的距離為，長方形的長是個單位長度，點在數軸上表示的數為；故答案為：，；（2）由題意知，線段的中點為，則表示的數為，線段上有一點，且，則表示的數為．以每秒4個單位長度的速度向右勻速運動，以每秒3個單位長度的速度向左運動，經過秒后，點表示的數為，點表示的數為，即：，，原點恰為線段的三等分點，或且點在線段上，即M、N表示的數異號，①當時，則有，解得或，經檢驗，不符合題意，舍去，符合題意．②當時，則有，解得或，經檢驗，不符合題意，舍去，符合題意；綜上所述，當或時，原點恰為線段的三等分點．（3）根據題意，因為M、N、F三點中點的位置不確定，所以應分類討論，有以下三種情況：①當時，點與點重合，此時，解得：；②當時，，，，，，，，，解得．③如圖，連接，是長方形，，，或，綜上所述，的值為或．

【點睛】本題為動點問題，考查了實數與數軸上的點的對應關系及分類討論思想，明確線段之間的數量關系，能夠表示出線段長是解題的關鍵．類型七、與實數有關的程序運算、自定義運算39．如圖是一個無理數生成器的工作流程圖，根據該流程圖，下面說法：①當輸出值y為時，輸入值x為3或9；②當輸入值x為16時，輸出值y為；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y；④存在這樣的正整數x，輸入x之后，該生成器能夠一直運行，但始終不能輸出y值．其中錯誤的是（）A．①② B．②④ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據運算規則即可求解．【詳解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①說法錯誤；②輸入值x為16時，，故②說法正確；③對于任意的正無理數y，都存在正整數x，使得輸入x后能夠輸出y，如輸入π2，故③說法錯誤；④當x=1時，始終輸不出y值．因為1的算術平方根是1，一定是有理數，故④原說法正確．其中錯誤的是①③．故選：D．【點睛】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：π，2π等；開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數．40．按如圖所示的運算程序，能使輸出y值為1的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】逐項代入，尋找正確答案即可.【詳解】解：A選項滿足m≤n，則y=2m+1=3；B選項不滿足m≤n，則y=2n-1=-1；C選項滿足m≤n，則y=2m+1=3；D選項不滿足m≤n，則y=2n-1=1；故答案為D；【點睛】本題考查了根據條件代數式求值問題，解答的關鍵在于根據條件正確地代入代數式及代入的值.41．一個四位自然數，若它的千位數字比十位數字少，百位數字比個位數字多，則稱為“一生一世數”．如：四位數，∵，，∴是“一生一世”；四位數，∵，∴不是“一生一世數”，則最大的“一生一世數”為．若一個四位數是“一生一世數”，且，，若能被整除，則滿足條件的數的最大值與最小值的差為．【答案】；．【分析】本題考查了新定義問題，由題意得，，則，故，然后分情況討論即可根據題意列出代數式，利用條件進行化簡是解題的關鍵．【詳解】由題意知，千位比十位少，百位比個位多，則千位數字最大為，此時十位數字為，要數最大則百位數字為，此時個位數字為，∴最大的“一生一世數”為，由“一生一世數”可知，，，∵，，，，∴，，∴，則，∵能被整除，∴當時，四位數為：，，，，，，都不能被整除，∴不符合題意；當時，四位數為：，，，，，，∴其中符合能被整除，∴最大值為：，當，四位數為：，，，，，，∴其中符合能被整除，最小值為：，∴差值為，故答案為：，．42．如果一個四位自然數的各數位上的數字均不為0，并且滿足，那么稱這個四位數為“巧合數”．例如：四位數5611，因為，所以5611是“巧合數”：又如：四位數7816，因為，所以7816不是“巧合數”．則最大的“巧合數”是；若“巧合數”能被3整除，設，則的最大值為．【答案】9918【分析】本題考查整式的運算，不等式的應用．要使“巧合數”最大，則該四位數的千位和百位上的數取最大，即，，從而根據“巧合數”的定義可得c，d的值，從而解答．由“巧合數”，結合，可得，根據巧合數”能被3整除，得到能被3整除，根據a，b的取值范圍可得到，又要使取得最大值，則a盡量取最大值，b盡量取最小值，即可確定a，b，c，d的值，從而解答．【詳解】解：要使該“巧合數”最大，則，，∵，∴，∴最大的“巧合數”是9918．∵“巧合數”，又，∴，∵“巧合數”能被3整除，∴能被3整除，∵，∴，∵要使取得最大值，則a盡量取最大值，b盡量取最小值，∴，，∵，∴，，∴，為最大值．故答案為：9918，43．如果一個四位自然數滿足，那么稱這個四位數為“2倍和數”．例如：四位數8103，因為，所以8103是“2倍和數”；又如：四位數9125，因為，所以9125不是“2倍和數”．若是“2倍和數”，則M的最小值是；是一個“2倍和數”，去掉其個位數字得到一個三位數，記，若是11的倍數，則的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】本題考查本題考查了新定義下的實數運算，理解新定義，正確推理計算是解題關鍵．根據題意得到，，進而得到為偶數，推出，，的值，即可得到M的最小值，然后根據題意列出的數能被11整除的數的特征分析滿足條件的最大值與最小值，求11即可．【詳解】解：M的值最小，，，為偶數，，，，故M的最小值是；是11的倍數，，，，為整數，即為整數，，（與不同時為），，，，，且的最值大，，，，，且的最值小，，，，的最大值與最小值的和為．故答案為：，．44．如果一個自然數能分解成：，其中和都是兩位數，且與的十位數字之和為8，個位數字之和為7，則稱為“相依數”，把分解成的過程叫做“相依拆解”．例如：因為，所以1820是“相依數”；因為，所以1168不是“相依數”，則最大的“相依數”為．若自然數是“相依數”，“相依拆解”為，將的個位數字與的十位數子之和記為，將的十位數字與的個位數字之和記為，若為整數，則滿足條件的自然數的最大值為．【答案】【分析】本題主要考查了新定義，設為“相依數”，令，，則，據此可得，則，再證明當時，隨著M的增大，的值增大，同理由對稱性當時，隨著M的增大，的值減小，據此可得A的最大值；設，則，即可得到，，則，根據為整數，得到或或或，據此求出a、b的值，進而求出P、Q的值即可得到答案．【詳解】解：設為“相依數”，令，，則，∴，∴，設，∴，當時，，∴此時，∴當時，隨著M的增大，的值增大，同理由對稱性當時，隨著M的增大，的值減小，∵M為正整數，∴當時，的值有最大值，最大值為，∴最大的“相依數”為；設，則，∵將的個位數字與的十位數字之和記為，將的十位數字與的個位數字之和記為，∴，，∴，∵為整數，∴或或或，∴當時，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；當時，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；當時，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；當時，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；∴，或，或，或，或，或，或，；同理可得，∴當，P、Q的值與時P、Q的值正好相反，即此時M的值正好相等∴可以為或或或或或或，∴自然數的最大值為，故答案為：，．45．思考與探究：（1）在如圖所示的計算程序中，若開始輸入的數值是4，則最后輸出的結果是___________．（2）在如圖所示的計算程序中，若最后輸出的結果是58，則開始輸入的數值是___________．（3）按下面的程序計算，若開始輸入的值x為正數，最后輸出的結果為1621，則滿足條件的x的不同值最多有多少個？【答案】（1）17；（2）6或－10；（3）6個【分析】（1）根據程序運算圖可得算式4×3+5，按運算順序進行求解即可；（2）設輸入的數字為m，根據題意可得關于x的方程，解方程即可求得答案；（3）根據最后輸出的結果，可計算出它前面的那個數，依此類推，可將符合題意的正數求出．【詳解】（1）由題意得：4×3+5=17，故答案為：17；（2）設輸入的數字為m，則有（m+2）2-6=58，解得：m=6或m=-10，故答案為：6或--10；（3）∵最后輸出的數為1621，∴4[(x+5)-(-2)2]-3=1621，解得：x=405>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=405，解得：x=101>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=101，解得：x=25>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=25，解得：x=6>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=6，解得：x=>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，解得：x=>0，又∵4[(x+5)-(-2)2]-3=，解得：x=<0，（不符合題意）∴符合題意的正數最多有6個.【點睛】本題考查了程序運算，涉及了一元一次方程，利用平方根的解方程等知識，正確審題，弄清程序運算中的運算順序，熟練掌握相關和運算法則和解題方法是解此類問題的關鍵．類型八、與實數有關規律運算46．有這樣一種算法，對于輸入的任意一個實數，都進行“先乘以，再加3”的運算.現在輸入一個，通過第1次運算的結果為，再把輸入進行第2次同樣的運算，得到的運算結果為，…，一直這樣運算下去，當運算次數不斷增加時，運算結果（

）A．越來越接近4 B．越來越接近于－2C．越來越接近2 D．不會越來越接近于一個固定的數【答案】C【分析】先根據算法得出，再分別求出的運算式子，然后歸納類推出一般規律，最后利用有理數乘方的性質即可得．【詳解】根據算法得：（且為整數）變形為則歸納類推得：由題意得：則即當n無限大時，無限趨近于0則即當運算次數不斷增加時，運算結果越來越接近2故選：C．【點睛】本題考查了有理數的乘方、與實數運算相關的規律型問題，理解新算法，正確歸納類推出一般規律是解題關鍵．47．定義一種關于整數n的“F”運算：（1）當n時奇數時，結果為；（2）當n是偶數時，結果是（其中k是使是奇數的正整數），并且運算重復進行．例如：取，第一次經F運算是29，第二次經F運算是92，第三次經F運算是23，第四次經F運算是74…；若，則第449次運算結果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】D【分析】設449經過n次運算結果為an，根據運算規則求出部分an的值，根據數值的變化找出變化規律“a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n為整數)”，依此規律即可得出結論．【詳解】設449經過n次運算結果為an，通過計算發現規律：a1=1352，a2=169，a3=512，a4=1，a5=8，a6=1，…，∴a2n=1，a2n+1=8(n≥2且n為整數)，∵449=2×224+1，∴a449=8．故選D．【點睛】本題主要考查新定義運算以及數列的變化規律，通過計算，找出數列的變化規律，是解題的關鍵．48．找規律：觀察算式…(1)按規律填空）；(2)由上面的規律計算：（要求：寫出計算過程）(3)思維拓展：計算：（要求：寫出計算過程）【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】本題是數字規律問題，考查學生對數的觀察和分析的能力，（1）觀察等式右邊都是平方數，且底數正好是等式左邊各底數的和，依此規律類推即可解決問題；（2）由于上面的等式都是從底數是1開始的，所以可以把該式子前面的部分從1開始補上，再把補上的部分減掉即可；（3）該式中的底數并不是題干中的所給出的從1開始的連續整數，因此不能直接用上述規律解題，但該式中的底數卻都是從1開始的連續整數的2倍，因此提出2后，各項都含有，逆用乘法分配律即可解題．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．49．如圖，從左邊第一個圓圈開始向右數，在每個圓圈中都填入一個整數，使得其中任意三個相鄰圓圈中所填整數之和都相等．(1)可求得______，第個圓圈中的數為______；(2)若前個圓圈中所填整數之和為，則______；(3)若取前個圓圈中的任意兩個數，記作，，且，那么所有的的和為______；(4)若取前個圓圈中的任意兩個數，記作，，且，求所有的的和．【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)．【分析】()設第一個圓圈的數到第四個圓圈的數分別為，，，，根據其中任意三個相鄰圓圈中所填整數之和都相等，列式可求得的值，得出每三個數字一個循環，由此可求得第個圓圈中的數；()計算三個格子和為，除以為，因此，；()通過分類討論求出所有的可能情況，求出結果即可，當取前個圓圈中數字，這三個數，出現了次，和各出現了次，通過分類討論求出所有的可能情況，求出結果即可．【詳解】（1）設第一個圓圈的數到第四個圓圈的數分別為，，，，∵任意三個相鄰圓圈中所填整數之和都相等，∴，，∴，，∵，，，解得：，，∵，∴，∴這排數為：，∵，∴第個圓圈中的數為，故答案為：，；（2），，∴，故答案為：；（3）∵前個圓圈中的任意兩個數，記作，，且，∴所有的的和為：，故答案為：；（4）由于三個數是重復出現，前個圓圈中，出現了次，和都出現了次，∴所有的的和為：．【點睛】此題考查了數字的變化規律，找到數字的變化規律是解題的關鍵．50．觀察下面由“※”組成的圖案和算式，并解答問題：，，，．(1)試猜想()=；(2)試猜想()(用含n的代數式表示結果）；(3)按上述規律計算的值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）（2）通過觀察不難發現，從1開始的連續奇數的和等于首項加尾項的一半的平方，根據此規律列式計算可得答案；（3）根據上述所發現的規律，的值等于減去．【詳解】（1）；故答案為，（2）；故答案為（3）＝（）（）＝【點睛】本題考查有理數求和的有關規律，關鍵是仔細觀察題干，總結出共性規律．51．一個多位自然數分解為末三位與末三位以前的數，讓末三位數減去末三位以前的數，所得的差能被7整除，則原多位數一定能被7整除．(1)判斷864192（能/不能）被7整除，證明任意一個三位以上的自然數都滿足上述規律；(2)一個自然數t可以表示為t＝p2﹣q2的形式，（其中p＞q且為正整數），這樣的數叫做“平方差數”，在t的所有表示結果中，當|p﹣q|最小時，稱p2﹣q2是t的“平方差分解”，并規定F（t）＝，例如，32＝62﹣22＝92﹣72，|9﹣7|＜|6﹣2|，則F（32）＝＝．已知一個五位自然數，末三位數m＝500+10y+52，末三位以前的數為n＝10（x+1）+y（其中1≤x≤8，1≤y≤9且為整數），n為“平方差數”，交換這個五位自然數的十位和百位上的數字后所得的新數能被7整除，求F（n）的最大值．【答案】(1)能．證明見解析(2)F（n）的最大值為130【分析】(1)理解定義，末三位數減去末三位以前的數，所得的差能被7整除是解題的關鍵，再利用參數思想和方程思想即可求證；(2)先確定m的取值范圍，題干里要求把百位數字和十位數字對調，所以y的范圍要分段去進行討論．再結合方程求解得出n的值，再根據定義去求出F(n)的最大值．【詳解】（1）解：864192的末三位數為192，末三位以前的數為864，∴192﹣864＝﹣672，∵﹣672÷7＝﹣96，∴864192能被7整除，故答案為：能．證明：設這個多位數的末三位數為a，末三位以前的數為b，則這個多位數可表示為1000b+a，根據題意得，a﹣b＝7n（n為整數），∴a＝7n+b，則1000b+a＝1000b+7n+b＝1001b+7n，∵(b，n都為整數)∴1001b+7n可以被7整除，∴1000b+a可以被7整除，∴任意一個三位以上的自然數都滿足這個規律．（2）解：∵m＝500+10y+52，1≤y≤9，①當1≤y≤4時，m的百位數字為5，十位數字為（y+5），個位數字為2，∴調換百位數字和十位數字后所得的新數為100（y+5）+52，根據題意100（y+5）+52﹣10x﹣10﹣y可以被7整除，整理得98y﹣7x+539+y﹣3x+3能被7整除，∵98y﹣7x+539能被7整除，∴只需y﹣3x+3能被7整除即可解得或或或，∵n＝10（x+1）+y，∴n＝71或52或33或84，根據題意71＝362﹣352，此時F（71）＝106，52＝142﹣122，此時F（52）＝19，33＝172﹣162＝72﹣42，|17﹣16|＜|7﹣4|，此時F（33）＝49，84＝222﹣202＝102﹣42，|22﹣20|＜|10﹣6|，此時F（84）＝31，∴當1≤y≤4時，F（n）最大為106．②當5≤y≤9時，m的百位數字為6，十位數字為（y﹣5），個位數字為2，調換百位數字和十位數字后所得的新數為100（y﹣5）+62，根據題意100（y﹣5）+62﹣10x﹣10﹣y可以被7整除，整理得98y﹣7x﹣448+y﹣3x可以被7整除，∵98y﹣7x﹣448可以被7整除，∴只需y﹣3x能被7整除即可，解得或或或或，∵n＝10（x+1）+y，∴n＝55或36或87或68或39．根據題意55＝282﹣272＝82﹣32，|28﹣27|＜|8﹣3|，此時F（55）＝82，36＝102﹣82，此時F（36）＝13，87＝442﹣432＝162﹣132，|44﹣43|＜|16﹣13|，此時F（87）＝130，68＝182﹣162，此時F（68）＝25，39＝202﹣192，F（39）＝58，∴當5≤y≤9時，F（n）的最大值為130綜上，F（n）的最大值為130．【點睛】此題主要考查了新定義，數的整除，實數的運算，列代數式及求值問題，解本題的關鍵在于將一個代數式進行分組再分別討論能否被7整除，結合了方程思想，分類討論思想，綜合性較強．52．一位同學在閱讀課外書的時候，學到了一種速算方法，也讓我們一起來看看吧！，他發現這樣的數對一共有50對，且每一對數和都101，所以原式；同樣地，＋…＋），這樣的數對一共有25對，且每一對數和都是102，所以原式；(1)請仔細觀察以上算式的特點及運算規律，請你運用你的發現看看下列式子哪些具有上述特點，能運用上述規律來運算，并把這樣式子的結果算出來：①；②；③；(2)在上面的①式中，請你通過增加或減少和中最后面奇數的個數，探尋本題計算規律，請用一個含字母n的式子表示你的發現；(3)另外，該同學還有一個有趣發現：，，，，…，以此類推，你能寫出第50個式子的結果并寫出等式左邊第一個數嗎？說出你的理由．【答案】(1)①；②；③(2)(3)第50個式子為：等式的左邊第1個數為：【分析】（1）①根據閱讀部分提供的方法可得：一共有個數，分成50組，每組的和為200，從而可得答案；②根據閱讀部分提供的方法可得：一共有個數，分成25組，每組的和為202，從而可得答案；③由可得前面兩個數的和等于后一個數，再計算即可.（2）分兩種情況討論：當為偶數時，當為奇數時，再利用從具體到一般的探究方法矩形探究即可；（3）由，，，，可發現左邊第一個數有：歸納可得：第行第一個數為：右邊為后續的奇數為：再應用規律，從而可得答案.【詳解】（1）解：①②③（2）解：當為偶數時，當為奇數時，綜上：（為正整數）（3）解：，，，，可發現左邊第一個數有：歸納可得：第行第一個數為：右邊為后續的奇數為：所以第50行第一個數為：后續奇數為：所以第50個式子為：等式的左邊第1個數為：【點睛】本題考查的是有理數的加法與乘法的運算，乘方運算，數字運算規律的探究，列代數式，掌握“從具體到一般的探究方法得到規律并運用規律解決問題”是解本題的關鍵.53．【閱讀材料】數列是一個古老的數學課題，我國對數列概念的認識很早，例如《易傳?系辭》：“河出圖，洛出書，圣人則之；兩儀生四象，四象生八卦”．這是世界數學史上有關等比數列的最早文字記載．【問題提出】求等比數列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整數，請寫出計算過程)．【等比數列】按照一定順序排列著的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．排在第一位的數稱為第一項，記為a1，排在第二位的數稱為第二項，記為a2，依此類推，排在第n位的數稱為第n項，記為an．所以，數列的一般形式可以寫成：a1，a2，a3，…，an，…．一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的比值等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用q表示．如：數列1，2，4，8，…為等比數列，其中a1=1，a2=2，公比為q=2．根據以上材料，解答下列問題：(1)等比數列3，9，27，…的公比q為_____，第5項是_____．【公式推導】如果一個數列a1，a2，a3，…，an…，是等比數列，且公比為q，那么根據定義可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1?q，a3=a2?q=a1q?q=a1?q2，a4=a3?q=a1?q2=a1?q3，…(2)由此，請你填空完成等比數列的通項公式：an=a1?(_____)．【拓廣探究】等比數列求和公式并不復雜，但是其推導過程——錯位相減法，構思精巧、形式奇特．歐幾里得在《幾何原本》中就給出了等比數列前n項和公式，而錯位相減法則直到1822年才由歐拉在《代數學基礎》中給出，時間相差兩千多年．下面是小明為了計算1+2+22+…+22019+22020的值，采用的方法：設S=1+2+22+…+22019+22020①，則2S=2+22+…+22020+22021②，②-①得2S-S=S=22021-1，∴S=1+2+22+…+22019+22020=22021-1．【解決問題】(3)請仿照小明的方法求等比數列1+a1+a2+a3+…+an的值(a＞0，且a≠1，n是正整數，請寫出計算過程)．【拓展應用】(4)計算25+252+253+…+25n的值為_____．(直接寫出結果)【答案】(1)3，243；(2)qn-1；【解決問題】；【拓展應用】【分析】(1)根據等比數列的公比的定義求解即可；(2)探究規律利用規律解決問題；【解決問題】設S=1+a1+a2+a3+…+an，則aS=a1+a2+a3+…+an+1，兩式相減即可求得；【拓展應用】設S=25+252+253+…+25n，則25S=252+253+…+25n+1，兩式相減即可求得．【詳解】解：(1)等比數列3，9，27，…的公比q為3，第四項為27×3=81，第五項為81×3=243，故答案為：3，243．(2)如果一個數列a1，a2，a3，…，an…，是等比數列，且公比為q，那么根據定義可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1?q，a3=a2?q=a1q?q=a1?q2，a4=a3?q=a1?q2=a1?q3，…an=a1.qn-1．故答案為：qn-1．(3)設S=1+a1+a2+a3+…+an①，則aS=a1+a2+a3+…+an+1②，②-①得aS-S=(a-1)S=an+1-1，∴．(4)設S=25+252+253+…+25n，∴25S=252+253+…+25n+1，∴25S-S=25n+1-25，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了新定義及其運算，等比數列等知識，解題的關鍵是理解題意，利用類比思想解決問題．類型九、二次根式的運算54．若和都是正整數且，和是可以合并的二次根式，下列結論中正確的個數為（）①只存在一組和使得；②只存在兩組和使得；③不存在和使得；④若只存在三組和使得，則的值為49或64A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】直接利用同類二次根式的定義得出和是同類二次根式，進而得出答案．【詳解】解：①和都是正整數且，和可以合并的二次根式，，，當時，故該選項①正確；②，當，則當則．故選項②正確；③，當時，，所以不存在，故該選項③正確；④，，當時，，，，有無數和滿足等式，故該選項④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查的是同類二次根式，熟知同類二次根式的定義及合并方法是解答此題的關鍵．55．二次根式除法可以這樣解：如．像這樣通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去