乘法公式14.2.1平方差公式人教版八年級數(shù)學上冊PPT模板LFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPTLFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMLFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COM免費PPT模板下載LFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPT模板LFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPTLFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPT模板下載LFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPT模板免費下載LFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPT教程LFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPT素材LFPPT網(wǎng)-WWW.LFPPT.COMPPT課件乘法公式14.2.1平方差公式人教版八年級數(shù)學上冊數(shù)學人教版八年級上冊授課人：XXX某同學在計算97×103時將其變成(100–3)(100+3)并很快得出結果，你知道他運用了什么知識嗎？這節(jié)課，我們就來一起探討上述計算的規(guī)律.導入新知觀察與思考1.掌握平方差公式的推導及應用.2.了解平方差公式的幾何意義，體會數(shù)形結合的思想方法.素養(yǎng)目標多項式與多項式是如何相乘的？(x

＋3)(x＋5)=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知識點平方差公式探究新知面積變了嗎？a米5米5米a米(a–5)米相等嗎？探究新知①(x

＋1)(x–1)；②(m

＋2)(m–2)；③(2m＋1)(2m–1)；④(5y

＋z)(5y–z).計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？做一做x2–

12m2–22(2m)2–

12(5y)2–

z2這些計算結果有什么特點？想一想探究新知(a+b)(a?b)=a2?b2兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.公式變形:1.(a–b)(a+b)=a2–b22.(b+a)(–b+a)=a2–b2平方差公式探究新知注：這里的兩數(shù)可以是兩個單項式也可以是兩個多項式等．(a+b)(a–b)=(a)2–(b)2

相同為a

相反為b，–b適當交換合理加括號平方差公式探究新知公式中的a和b，既可以是具體的數(shù)，也可以是單項

式或者多項式；2.左邊是兩個二項式的積，并且有一項完全相同，另

一項互為相反數(shù)；3.右邊是相同項的平方減去相反項的絕對值的平方.(a+b)(a–

b)=a2–

b2.溫馨提示探究新知(1+x)(1–x)(–3+a)(–3–a)(0.3x–1)(1+0.3x)(1+a)(–1+a)aba2–b21x–3a12–x2(–3)2–a2a1a2–120.3x1(0.3x)2–12(a–b)(a+b)填一填探究新知口答下列各題：

(1)(–a+b)(a+b)=_________.(2)(a–b)(b+a)=__________.(3)(–a–b)(–a+b)=________.(4)(a–b)(–a–b)=_________.a2–b2a2–b2b2–a2b2–a2做一做探究新知例1

計算：(1)(3x＋2)(3x–2)；(2)(–x+2y)(–x–2y).(2)原式=

(–x)2–(2y)2=x2–4y2.解：

(1)原式=(3x)2–22=9x2–4；素養(yǎng)考點1利用平方差公式計算易錯警示：當相同項帶有“負號”時，必須用括號括起來.探究新知

利用平方差公式計算：(1)(3x–5)(3x＋5)；(2)(–2a–b)(b–2a)；(3)(–7m＋8n)(–8n–7m)．解：(1)原式=(3x)2–52＝9x2–25；(2)原式=(–2a)2–b2＝4a2–b2；(3)原式=(–7m)2–(8n)2＝49m2–64n2；鞏固練習例2

計算:(1)102×98;(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5).=1002–22解:

(1)102×98=10000–4=(100＋2)(100–2)=9996；=

y2–4–y2–4y+5(2)(y+2)(y–2)–(y–1)(y+5)=

y2–22–(y2+4y–5)=–4y+1.

通過合理變形，利用平方差公式，可以簡化運算.不符合平方差公式運算條件的乘法，按乘法法則進行運算.素養(yǎng)考點2利用平方差公式簡便運算探究新知(1)51×49;(2)(3x+4)(3x–4)–(2x+3)(3x–2)

.解:

(1)原式=(50＋1)(50–1)=502–12=2500–1=2499；(2)原式=(3x)2–42–(6x2+5x–6)=9x2–16–6x2–5x+6=3x2–5x–10.

計算:鞏固練習例3先化簡，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)，其中x＝1，y＝2.解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2)原式＝5×12–5×22＝–15.＝4x2–y2–4y2＋x2＝5x2–5y2.當x＝1，y＝2時，素養(yǎng)考點3利用平方差公式進行化簡求值探究新知先化簡,再求值:(3–x)(3+x)+(x+1)(x–1),其中x=2.解：(3–x)(3+x)+2(x+1)(x–1)

=9–x2+2(x2–1)

=9–x2+2x2–2

=7+x2當x=2時，原式=7+22=7+4=11鞏固練習例4對于任意的正整數(shù)n，整式(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值一定是10的整數(shù)倍嗎？即(3n＋1)(3n–1)–(3–n)(3＋n)的值是10的倍數(shù)．解：原式＝9n2–1–(9–n2)＝10n2–10.∵(10n2–10)÷10=n2–1.n為正整數(shù)，∴n2–1為整數(shù)素養(yǎng)考點4利用平方差公式進行證明探究新知

對于平方差中的a和b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式.在探究整除性或倍數(shù)問題時，一般先將代數(shù)式化為最簡，然后根據(jù)結果的特征，判斷其是否具有整除性或倍數(shù)關系．歸納總結探究新知

如果兩個連續(xù)奇數(shù)分別是2n–1，2n+1(其中n為正整數(shù))，證明兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù).證明：(2n+1)2–(2n–1)2

=[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)]

=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)

=4n×2

=8n

因為8n是8的倍數(shù)，所以結論成立.鞏固練習例5王大伯家把一塊邊長為a米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少4米，另外一邊增加4米，繼續(xù)租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？∵a2＞a2–16，解：李大媽吃虧了．理由：原正方形的面積為a2，改變邊長后面積為(a＋4)(a–4)＝a2–16，∴李大媽吃虧了．素養(yǎng)考點5利用平方差公式解決實際問題探究新知

解決實際問題的關鍵是根據(jù)題意列出算式，然后根據(jù)公式化簡算式，解決問題．歸納總結探究新知如圖1,在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的正方形(a>b),把余下的部分剪成一個矩形(如圖2).通過計算兩個圖形(陰影部分)的面積,驗證了一個等式,這個等式是()A.a2–b2=(a+b)(a–b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.(a–b)2=a2–2ab+b2D.(a+2b)(a–b)=a2+ab–2b2ba圖1ba圖2A鞏固練習1.化簡(x–1)(x+1)的結果是

．2.某同學化簡a(a+2b)–(a+b)(a–b)出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：原式=a2+2ab–(a2–b2)(第一步)=a2+2ab–a2–b2(第二步)=2ab–b2(第三步)(1)該同學解答過程從第

步開始出錯，錯誤原因是

；(2)寫出此題正確的解答過程．

原式=a2+2ab–(a2–b2)=a2+2ab–a2+b2=2ab+b2．x2–1二去括號時沒有變號鏈接中考1.下列運算中，可用平方差公式計算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(–x＋y)(x–y)C．(–x–y)(y–x)D．(x＋y)(–x–y)C2.計算(2x+1)(2x–1)等于(

)A．4x2–1B．2x2–1C．4x–1D．4x2+1A3.兩個正方形的邊長之和為5，邊長之差為2，那么用較大的正方形的面積減去較小的正方形的面積，差是________．10基礎鞏固題課堂檢測(1)(a+3b)(a–

3b)；=4a2–9；=4x4–y2.原式=(2a+3)(2a–3)=a2–9b2；=(2a)2–32原式=(–2x2)2–y2原式=(a)2–(3b)2(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y).4.利用平方差公式計算：解:解:解:課堂檢測5.計算：20152–

2014×2016.解：20152

–

2014×2016=20152–

(2015–1)(2015+1)=20152–(20152–12)=

20152–

20152+12=1課堂檢測6.利用平方差公式計算:(1)(a–2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2–4)(a2+4)

=a4–16.(2)(x–y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=(x2–y2)(x2+y2)(x4+y4)

=(x4–y4)(x4+y4)

=x8–y8.課堂檢測先化簡，再求值：(x+1)(x–1)+x2(1–x)+x3，其中x＝2.解：原式=x2–1＋x2–x3＋x3=2x2–1.將x＝2代入上式，原式=2×22–1=7.能力提升題課堂檢測已知x≠1，計算：(1＋x)(1–x)＝1–x2，(1–x)(1＋x＋x2)＝1–x3，(1–x)(1＋x＋x2＋x3)＝1–x4(1)觀察以上各式并猜想：(1–x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________；(n為正整數(shù))(2)根據(jù)你的猜想計算：①(1–2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n為正整數(shù))；③(x–1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1–xn+1–632n＋1–2

x100–1拓廣探索題課堂檢測平方差公式內(nèi)容注意兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.1.符號表示：(a+b)(a–b)=a2–b22.緊緊抓住“一同一反”這一特征，在應用時，只有兩個二項式的積才有可能應用平方差公式；對于不能直接應用公式的，可能要經(jīng)過變形才可以應用.課堂小結相關知識內(nèi)容延伸學習，授課時可參考。《平方差公式》教案一、教學目標理解平方差公式的結構特征，能夠準確、熟練地運用平方差公式進行多項式乘法運算和簡便計算。通過經(jīng)歷平方差公式的推導過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、概括的能力，體會從特殊到一般的數(shù)學思想方法。讓學生在探索平方差公式的活動中，感受數(shù)學的簡潔美和應用價值，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和熱情，增強學生學習數(shù)學的信心。二、教學重難點重點平方差公式的推導及結構特征的理解。熟練運用平方差公式進行計算。難點準確理解平方差公式的結構特征，靈活運用公式進行計算，特別是在復雜式子中正確識別公式中的“\(a\)”和“\(b\)”。三、教學方法講授法、探究法、練習法相結合。通過引導學生計算具體多項式乘法式子，觀察規(guī)律，自主探究得出平方差公式；再通過講解例題和大量練習，幫助學生掌握公式的應用。四、教學過程（一）復習引入（5分鐘）提問回顧多項式乘法法則：同學們，之前我們學習了多項式與多項式相乘的法則，請大家回憶一下，多項式與多項式相乘的法則是什么？（引導學生回答：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。）計算下列多項式的積：（1）\((x+1)(x-1)\)（2）\((m+2)(m-2)\)（3）\((2x+1)(2x-1)\)找三名學生到黑板上板演，其他學生在練習本上完成。教師巡視，及時糾正學生在計算過程中出現(xiàn)的錯誤。（二）探究新知（15分鐘）觀察計算結果：引導學生觀察上面三個式子的計算結果：\((x+1)(x-1)=x^{2}-1\)\((m+2)(m-2)=m^{2}-4\)\((2x+1)(2x-1)=4x^{2}-1\)提問：觀察這幾個式子的左邊和右邊，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（給學生時間思考和小組討論）猜想規(guī)律：請小組代表分享討論結果，引導學生發(fā)現(xiàn)：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。推導公式：設這兩個數(shù)分別為\(a\)和\(b\)，那么\((a+b)(a-b)\)，根據(jù)多項式乘法法則展開可得：\((a+b)(a-b)=a\timesa-a\timesb+b\timesa-b\timesb=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\)由此得出平方差公式：\((a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\)教師強調(diào)公式的結構特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。（三）例題講解（15分鐘）講解教材例題：例1：運用平方差公式計算：（1）\((3x+2)(3x-2)\)（2）\((-x+2y)(-x-2y)\)分析：在（1）中，把\(3x\)看作公式中的\(a\)，\(2\)看作公式中的\(b\)；在（2）中，把\(-x\)看作公式中的\(a\)，\(2y\)看作公式中的\(b\)。教師板書詳細的解題過程：解：（1）\((3x+2)(3x-2)=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\)（2）\((-x+2y)(-x-2y)=(-x)^{2}-(2y)^{2}=x^{2}-4y^{2}\)例2：計算：（1）\(102??98\)（2）\((y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)\)分析：（1）中可將\(102\)寫成\((100+2)\)，\(98\)寫