邵陽學院數學競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$y=x^2$在$x=1$處的導數是（）A.1B.2C.3D.42.方程$x^2-5x+6=0$的根為（）A.2，3B.-2，-3C.2，-3D.-2，33.等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$d=2$，則$a_5$等于（）A.7B.9C.11D.134.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在5.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,m)$，且$\vec{a}\parallel\vec$，則$m$為（）A.1B.2C.4D.86.拋物線$y^2=8x$的焦點坐標是（）A.(2,0)B.(0,2)C.(4,0)D.(0,4)7.已知$\cos\alpha=\frac{1}{2}$，且$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，則$\sin\alpha$等于（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$-\frac{1}{2}$D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$8.函數$y=\log_2x$的定義域是（）A.$(0,+\infty)$B.$[0,+\infty)$C.$(-\infty,0)$D.$(-\infty,0]$9.從5個不同元素中取出2個元素的組合數是（）A.10B.20C.60D.12010.已知$f(x)=x^3+1$，則$f(-1)$的值為（）A.0B.1C.-1D.2二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數2.下列不等式中，解集為全體實數的有（）A.$x^2+2x+1\geq0$B.$x^2-2x+3>0$C.$x^2+1<0$D.$-x^2+2x-1\leq0$3.平面向量的運算包括（）A.加法B.減法C.數乘D.數量積4.橢圓的標準方程有（）A.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）B.$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）C.$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$D.$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$5.以下哪些是奇函數（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=x+1$D.$y=\cosx$6.數列的表示方法有（）A.列表法B.圖象法C.通項公式法D.遞推公式法7.導數的應用有（）A.求函數的單調性B.求函數的極值C.求函數的最值D.求曲線的切線方程8.空間中直線與平面的位置關系有（）A.直線在平面內B.直線與平面平行C.直線與平面相交D.異面9.下列函數中，周期為$\pi$的函數有（）A.$y=\sin2x$B.$y=\cos2x$C.$y=\tanx$D.$y=\sin\frac{x}{2}$10.概率的基本性質有（）A.非負性B.規范性C.可列可加性D.互斥性三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數$y=x^2$是奇函數。（）3.直線$y=2x+1$的斜率是2。（）4.若$a>b$，則$a^2>b^2$。（）5.圓$x^2+y^2=4$的半徑是2。（）6.對數函數$y=\log_ax$（$a>0$且$a\neq1$）在定義域上單調遞增。（）7.兩個向量的數量積是一個向量。（）8.等比數列的公比不能為0。（）9.函數$y=\sinx$的值域是$[-1,1]$。（）10.三角形內角和為$180^{\circ}$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$y=3x^2-2x+1$的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數$y=ax^2+bx+c$，對稱軸公式為$x=-\frac{2a}$，此函數中$a=3$，$b=-2$，則對稱軸$x=\frac{1}{3}$。把$x=\frac{1}{3}$代入函數得$y=\frac{2}{3}$，頂點坐標為$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$。2.已知等差數列$\{a_n\}$中，$a_3=5$，$a_7=13$，求通項公式$a_n$。答案：等差數列通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，$a_7-a_3=4d=13-5=8$，得$d=2$，$a_3=a_1+2d=5$，則$a_1=1$，所以$a_n=1+2(n-1)=2n-1$。3.求$\intx^2dx$。答案：根據積分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq-1$），對于$\intx^2dx$，$n=2$，則$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$。4.簡述正弦定理內容。答案：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，其中$a,b,c$為三角形的三邊，$A,B,C$為三角形的三個內角。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$y=\frac{1}{x}$的單調性。答案：函數$y=\frac{1}{x}$的定義域為$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。在$(-\infty,0)$上，任取$x_1<x_2<0$，$y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0$，即$y_1>y_2$，函數遞減；在$(0,+\infty)$上，同理可證函數也遞減。2.探討如何利用導數判斷函數的極值點。答案：先求函數的導數，令導數為0，求出駐點。再判斷駐點兩側導數的符號，若左正右負，則該駐點為極大值點；若左負右正，則該駐點為極小值點；若兩側符號相同，則不是極值點。3.說說在實際生活中，概率有哪些應用？答案：在保險行業用于計算風險概率制定保費；在抽獎活動中計算中獎概率；在質量檢測中估計產品不合格概率等，幫助人們對事件發生可能性進行評估和決策。4.討論線性規劃在實際問題中的作用。答案：線性規劃可在資源有限的條件下，求目標函數的最優解。如生產安排中，在人力、物力等資源約束下，確定生產方案使利潤最大；運輸問題中，確定運輸路線使成本最小，提高資源利用效率。答案一、單項選擇題1.B2.A3.B4.B5.C6.A7