高等數學a1第一章試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$y=\sqrt{1-x^2}$的定義域是（）A.$[-1,1]$B.$(-1,1)$C.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$D.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$2.當$x\to0$時，與$x$等價無窮小的是（）A.$sin2x$B.$x^2+x$C.$ln(1+x)$D.$1-\cosx$3.極限$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=$（）A.0B.1C.2D.不存在4.函數$f(x)$在點$x_0$有定義是$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.無關條件5.設$f(x)=\frac{\sinx}{x}$，則$\lim_{x\to\infty}f(x)=$（）A.1B.0C.-1D.不存在6.函數$y=\frac{1}{x-1}$的間斷點是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=-1$D.無間斷點7.當$x\to0$時，$x^3+x$是$x$的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但不等價無窮小D.等價無窮小8.若$\lim_{x\tox_0}f(x)=A$，則對任意給定的$\varepsilon>0$，總存在（）A.$\delta>0$，使得當$0<|x-x_0|<\delta$時，有$|f(x)-A|<\varepsilon$B.$\delta>0$，使得當$|x-x_0|<\delta$時，有$|f(x)-A|<\varepsilon$C.$N>0$，使得當$x>N$時，有$|f(x)-A|<\varepsilon$D.$N>0$，使得當$|x|>N$時，有$|f(x)-A|<\varepsilon$9.極限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=$（）A.0B.1C.eD.不存在10.函數$y=\arcsinx$的定義域是（）A.$[-1,1]$B.$(-1,1)$C.$[0,1]$D.$[0,\pi]$答案：1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.C8.A9.B10.A多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是偶函數的有（）A.$y=x^2+1$B.$y=\cosx$C.$y=\sinx$D.$y=x^3$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$C.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$3.當$x\to0$時，下列哪些是無窮小量（）A.$x^2$B.$\tanx$C.$e^x-1$D.$\ln(1+x)$4.下列函數在其定義域內連續的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=x^2+1$C.$y=\ln(x+1)$D.$y=\sqrt{x}$5.極限運算法則包含（）A.加法法則B.乘法法則C.除法法則（分母不為0）D.復合函數法則6.下列與$x$是同階無窮小的有（）A.$2x$B.$x^2+x$C.$\sinx$D.$1-\cosx$7.函數$f(x)$在點$x_0$處連續的條件是（）A.$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在B.$f(x_0)$有定義C.$\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$D.$f(x)$在$x_0$處可導8.下列說法正確的是（）A.無窮小與有界函數的乘積是無窮小B.兩個無窮小的和是無窮小C.無窮大的倒數是無窮小D.無窮小的倒數是無窮大（無窮小不為0時）9.計算極限的方法有（）A.利用極限運算法則B.利用等價無窮小替換C.利用兩個重要極限D.洛必達法則10.函數的間斷點類型有（）A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.無窮間斷點D.振蕩間斷點答案：1.AB2.ABD3.ABCD4.BCD5.ABCD6.ABC7.ABC8.ABCD9.ABC10.ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.函數$y=x^3$是奇函數。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，那么$f(x)$在$x_0$處一定連續。（）3.無窮小量就是非常小的數。（）4.當$x\to0$時，$x$與$3x$是等價無窮小。（）5.函數$y=\tanx$在其定義域內處處連續。（）6.極限$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x^2}$存在。（）7.若$f(x)$在$x_0$處有定義，則$\lim_{x\tox_0}f(x)$一定存在。（）8.函數$y=\frac{1}{x^2}$在$x=0$處是無窮間斷點。（）9.兩個無窮大的和一定是無窮大。（）10.利用等價無窮小替換求極限時，可以對式子中任何部分進行替換。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.×6.×7.×8.√9.×10.×簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數極限的定義。答案：設函數$f(x)$在點$x_0$的某去心鄰域內有定義，如果存在常數$A$，對于任意給定的正數$\varepsilon$，總存在正數$\delta$，使得當$0<|x-x_0|<\delta$時，都有$|f(x)-A|<\varepsilon$，則稱$A$為函數$f(x)$當$x\tox_0$時的極限。2.簡述無窮小量的性質。答案：無窮小量有以下性質：有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量；無窮小量與有界函數的乘積是無窮小量。3.簡述判斷函數連續的步驟。答案：先看函數在該點有無定義；再求函數在該點的極限是否存在；最后判斷極限值是否等于函數在該點的函數值，若三者均滿足，則函數在該點連續。4.舉例說明兩個重要極限。答案：第一個重要極限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，例如計算$\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$可變形利用此極限；第二個重要極限：$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$，如$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^x$可變形求解。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\leq0\\2x-1,&x>0\end{cases}$在$x=0$處的連續性。答案：首先，$f(0)=0^2+1=1$。$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x^2+1)=1$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x-1)=-1$。因為$\lim_{x\to0^-}f(x)\neq\lim_{x\to0^+}f(x)$，即$\lim_{x\to0}f(x)$不存在，所以函數在$x=0$處不連續。2.討論等價無窮小替換在極限計算中的應用條件。答案：等價無窮小替換只能在乘除運算中使用，在加減運算中一般不能隨意使用。只有當式子整體是乘積形式且要替換的部分與其他部分是乘除關系時，才可放心用等價無窮小替換，否則可能得出錯誤結果。3.討論函數間斷點的類型及判斷方法。答案：間斷點類型有可去、跳躍、無窮