不等式知識點

不等式的基本概念不等式是用不等號（大于“>”、小于“<”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）連接兩個解析式所成的式子。例如\(3x+2>5x-1\)，\(x^2-3x+2≤0\)等。不等號兩邊的式子可以是整式、分式、根式等不同形式的代數式。不等式的基本性質1.對稱性：若\(a>b\)，則\(b<a\)；反之，若\(b<a\)，則\(a>b\)。例如，若\(5>3\)，那么\(3<5\)。2.傳遞性：若\(a>b\)且\(b>c\)，則\(a>c\)。比如，已知\(7>5\)，\(5>2\)，所以\(7>2\)。3.加法性質：若\(a>b\)，則\(a+c>b+c\)。也就是說不等式兩邊同時加同一個數，不等號方向不變。例如\(2>1\)，兩邊同時加\(3\)，得到\(2+3>1+3\)，即\(5>4\)。4.乘法性質：若\(a>b\)，\(c>0\)，則\(ac>bc\)；若\(a>b\)，\(c<0\)，則\(ac<bc\)。例如，當\(3>2\)，\(c=2\)（\(c>0\)）時，\(3×2>2×2\)，即\(6>4\)；當\(3>2\)，\(c=-1\)（\(c<0\)）時，\(3×(-1)<2×(-1)\)，即\(-3<-2\)。一元一次不等式1.定義：只含有一個未知數（元），未知數的次數都是\(1\)，等號兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。例如\(2x-3>5\)。2.解法：-去分母（根據不等式的乘法性質，若分母不為\(0\)，不等式兩邊同時乘以分母的最小公倍數）。-去括號（運用乘法分配律）。-移項（根據加法性質，把含未知數的項移到一邊，常數項移到另一邊，移項要變號）。-合并同類項。-系數化為\(1\)（根據乘法性質，注意系數正負對不等號方向的影響）。例如解不等式\(2x-3>5\)，移項得\(2x>5+3\)，即\(2x>8\)，系數化為\(1\)得\(x>4\)。一元二次不等式1.定義：含有一個未知數且未知數的最高次數為\(2\)的不等式叫做一元二次不等式。其一般形式是\(ax^2+bx+c>0\)或\(ax^2+bx+c<0\)（\(a≠0\)），例如\(x^2-3x+2>0\)。2.解法：-先將不等式化為一般形式。-求相應一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根（可通過求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)或因式分解等方法）。-結合二次函數\(y=ax^2+bx+c\)的圖象（當\(a>0\)時，圖象開口向上；當\(a<0\)時，圖象開口向下）來確定不等式的解集。例如解\(x^2-3x+2>0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)>0\)，方程\((x-1)(x-2)=0\)的根為\(x=1\)和\(x=2\)，結合二次函數\(y=x^2-3x+2\)（開口向上）的圖象，可得不等式的解集為\(x<1\)或\(x>2\)。絕對值不等式1.定義：含有絕對值的不等式叫絕對值不等式，如\(|x|<3\)，\(|2x-1|≥5\)等。2.解法：-若\(|x|<a\)（\(a>0\)），則\(-a<x<a\)；若\(|x|>a\)（\(a>0\)），則\(x<-a\)或\(x>a\)。-對于\(|ax+b|<c\)（\(c>0\)），則\(-c<ax+b<c\)；對于\(|ax+b|>c\)（\(c>0\)），則\(ax+b<-c\)或\(ax+b>c\)。例如解\(|2x-1|<3\)，則\(-3<2x-1<3\)，移項得\(-2<2x<4\)，系數化為\(1\)得\(-1<x<2\)。基本不等式1.內容：對于任意正實數\(a\)、\(b\)，有\(\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}\)，當且僅當\(a=b\)時，等號成立。其中\(\frac{a+b}{2}\)叫做\(a\)、\(b\)的算術平均數，\(\sqrt{ab}\)叫做\(a\)、\(b\)的幾何平均數。2.應用：-求最值：當\(a+b\)為定值時，\(ab\)有最大值\((\frac{a+b}{2})^2\)；當\(ab\)為定值時，\(a+b\)有最小值\(2\sqrt{ab}\)。-證明不等式：利用基本不等式的性質來推導其他不等式關系。例如，已知\(x>0\)，\(y>0\)且\(x+y=