專題4二次函數解析式的實際應用類型1·由實物規律得到二次函數1.新新考向·綜合與實踐|每領跑原創|【發現問題】蜜蜂的蜂巢結構非常精美，每個巢室都是由多個六邊形組成的(如圖1)，小星同學對蜂巢結構十分感興趣，他用若干個形狀、大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結構拼接成如圖2所示的若干個圖案.愛思考的小星發現，在每個拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數隨著第一層(最下面一層)正六邊形模具個數的變化而變化.【提出問題】在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數y與第一層正六邊形模具的個數x之間有怎樣的函數關系?【分析問題】小星同學結合實際操作和計算得到如下表所示的數據：第一層正六邊形模具的個數x1234拼接圖案中所需正六邊形模具的總個數y171937在平面直角坐標系中描出上表中各對數值所對應的點，如圖3，小星根據圖3中點的分布情況，猜想其圖象可能是二次函數圖象的一部分.為了驗證自己的猜想，小星從“形”的角度出發，借助“割補”的思想，把拼接圖案中上半部分的正六邊模具(虛線部分)移到下面(如圖4)，并把第一層缺少的正六邊形模具(陰影部分)補全，再拼接到一起(如圖5)，使每一層正六邊形模具的數量相同，借助此圖形求出正六邊形模具的總個數，再減去用于補全圖形的正六邊形模具的個數，即可求出y與x之間的函數關系式.【解決問題】(1)直接寫出y與x之間的函數關系式；(2)若小星同學按圖2的方式拼接圖案，共用了169個正六邊形模具，求他拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的個數；(3)如圖6，作正六邊形模具的外接圓，圓心為O，已知點A，B為正六邊形模具相鄰的兩個頂點，AB=23類型2·由實驗數據得到二次函數2.【問題背景】鷹眼系統是一種用于許多體育比賽中的球類判決技術，它能夠追蹤、記錄和預測球的軌跡.如圖，分別為足球比賽中某一時刻的鷹眼系統預測畫面(圖1)和截面示意圖(圖2)，攻球員位于點O，守門員位于點A，OA的延長線與球門線相交于點B，且點A，B均在足球軌跡正下方，足球的飛行軌跡可看成拋物線的一部分.已知OB=28m，AB=8m，足球飛行的水平速度為15m/s.【數據分析】小星想要得到拋物線的解析式，通過調研，他得到了足球飛行的水平距離s(單位：m.水平距離=水平速度×時間)與離地高度h(單位：m)的鷹眼數據如下表：s/m912151821h/m4.24.854.84.2(1)根據表中數據預測足球落地時，s=_m;【解決問題】(2)求h關于s的函數解析式(不需要寫出s的取值范圍)；(3)守門員在攻球員射門瞬間就作出防守反應，當守門員位于足球正下方時，足球離地高度不大于守門員的最大防守高度視為防守成功.已知守門員面對足球后退的速度為2.5m/s,最大防守高度為2.5m；背對足球向球門前進過程中的最大防守高度為1.8m.①若守門員選擇面對足球后退，能否成功防守?請說明理由；若守門員背對足球向球門前進并成功防守，直接寫出此過程守門員的最小速度.3.新新考向·跨學科融合如圖，在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在點A處開始減速，此時白球在黑球右側70cm處.小聰測量黑球減速后的運動速度v(單位：cm/s)、運動距離y(單位：cm)隨運動時間t(單位：s)變化的數據，整理部分數據得下表：運動時間t/s01234運動速度v/(cm/s)109.598.58運動距離y/cm09.751927.7536(1)若v與t的數量變化關系滿足一次函數，則v與t之間的函數解析式為；(2)在平面直角坐標系中，描出上表中各對t與y數值所對應的點，把這些點用光滑的曲線連接，發現圖象是拋物線的一部分，求y與t之間的函數解析式；(3)①黑球在某3s的時間內的平均速度有沒有可能為6cm/s?若有可能，請求出是從哪個時間開始的；若沒有可能，請說明理由；探究某個時間范圍內，黑球的初始速度v?、最終速度v?和這段時間的平均速度v'的數量關系.(4)若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，則黑球在減速過程中會不會碰到白球?請說明理由.4.過程學習【發現問題】小迪同學利用無人機玩“投彈”游戲，無人機以不變的速度水平飛行，他發現在不同高度釋放小球，小球落地點與小球釋放點之間的水平距離有所不同.【提出問題】為了準確投中目標，需要知道小球釋放點與地面的豎直高度和小球釋放點與落地點的水平距離之間的關系.【分析問題】小迪控制無人機在不同的高度釋放小球，分別測量了小球釋放點與落地點的水平距離和豎直高度，實驗結果如下表：小球釋放點與落地點的水平距離x/m00.81.62.43.244.8小球釋放點與落地點的豎直高度y/m00.20.81.83.257.2小迪同學建立平面直角坐標系，描出上面表格中每對數值所對應的點，得到圖1，小迪根據圖1中點的分布情況，確定其圖象是二次函數圖象的一部分，從而確定在一定高度釋放小球的運動軌跡是一條拋物線.【解決問題】如圖2，小迪控制無人機在距地面20m的豎直高度(OE=20m)水平向右飛行.為了更形象地描述，小迪在平面直角坐標系內畫出的拋物線與小球釋放后的運動軌跡一致.(1)請直接寫出圖2中y關于x的函數解析式，并求此時小球釋放點O與落地點F之間的水平距離EF的長；(2)在距點E正前方12m(AE=12m)的地面點A處,有一高度為5m(AD=5m),直徑為43m(3)若在距(2)中的圓柱形目標的正前方N處(AN=23m)有一建筑物(建筑物的豎直高度大于20m)的側面外形為直線l，直線l與x軸的交點為點M，與地面的夾角為45°(∠MNE=45°)，S為拋物線上一點，ST⊥MN于點T，則ST是點S距建筑物的距離.求小球在擊中圓柱形目標的過程中，與建筑物的最小距離.類型3·由實物情境得到二次函數5.新新趨勢·項目化學習根據以下素材，探索完成任務.如何調整蔬菜大棚的結構?素材1我國的大棚種植技術已十分成熟.如圖1，一塊土地上有一個蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線形(如圖2)，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE,FG,其中OA=1m,OB=6m,DE=BC=3、4m,OF=DF=BD.素材2已知大棚共有支架400根，為增加棚內空間，擬將圖2中棚頂向上調整，支架總數不變，對應支架的長度變化如圖3所示，調整后點C，E上升相同的高度，增加的支架價格為60元/m(接口處忽略不計)，現有支架改造經費32000元.---問題解決任務1確定大棚形狀在圖2中建立合適的平面直角坐標系，求拋物線的解析式.任務2嘗試改造方案當CC任務3擬定最優方案只考慮支架改造經費的情況下，求CC'的最大值.專題4二次函數解析式的實際應用1.解:1y=3詳解方法一：設y與x之間的函數關系式為y=ax把點(1,1).(2,7)、(3、19)代入、得{a+b+c=1.4a+2b+c=7,9a+3b+c=19.∴y=3x方法二：觀察可得拼接圖案的第一層有x個正六邊形模具，第x層的正六邊形模具個數最多，有(2x-1)個.將拼接圖案進行割補、得到新的圖案共有x層，且每層正六邊形模具的個數為x+(2x-1)=3x-1.∴新的圖案中正六邊形模具的總個數為x(3x-1).∴拼接圖案中所需正六邊形模具的總個數為x(3x-1)-2x?1∴y=3x(2)由(1),知y=3把y=169代入,得169=3解得x1∴小星拼接成的圖案中第一層有8個正六邊形模具.(3)如圖,設正六邊形其他頂點分別為C,D,E,F,連接AD,BD.根據正六邊形及其外接圓的性質易知，AD為⊙O的直徑，∠BAD=60°,線段BD的長即為邊AB,DE間的距離.∴∠ABD=90°.∴∠ADB=30°.∵AB=2∴⊙O的直徑=4π∴AB=12設第一層有x個正六邊形模具.∴第x層的正六邊形模具個數最多，有(2x-1)個，拼接成的圖案共有(2x-1)層，其中有x層的高度按⊙O的直徑計算，(x-1)層的高度按正六邊形的邊長計算.∴拼接圖案的最大寬度為23①當拼接圖案的高與長方形桌子的長平行時，令{23(2x?1)≤80,∵x為整數,∴x最大取12.②當拼接圖案的高與長方形桌子的寬平行時，令{23(2x?1)≤100,∵x為整數,∴x最大取13.把x=12代入y=3x把x=13代入y=3x∵469>397,∴最多可以放下469個正六邊形模具.2.解:(1)30詳解由表格可知,當s=9和s=21時,h相等,當s=12和s=18時,h相等.∴拋物線關于直線s=15對稱.∵當s=0時,h=0,∴當s=30時,h=0.(2)根據表格，知拋物線關于直線s=15對稱.∴拋物線的頂點坐標為(15，5).∴設h關于s的函數解析式為?=a把點(12,4.8)代入,得a解得a=?∴?=?(3)①不成功.理由如下：設ts時，足球位于守門員的正上方.根據題意,得15t=(28-8)+2.5t.解得t=1.6.∴s=15×1.6=24.把s=24代入?=?1?=?∵3.2>2.5，超過守門員防守的最大高度，∴若守門員選擇面對足球后退，則守門不成功.②此過程守門員的最小速度為35詳解設守門員的速度為vm/s，且ts時，足球位于守門員的正上方.根據題意，得15t=(28-8)+vt.解得t=∴s=15?把s=30015?v,?=1.8代入?解得v1∴此過程守門員的最小速度為353.解:(1)v=-0.5t+10(0≤t≤20)(2)∵當t=0時,y=0,∴設y與t之間的函數解析式為.y=a把點(2,19),(4,36)代入,得{4a+2b=19,16a+4b=36.解得∴y與t之間的函數解析式為y=?(3)①有可能.設從ns開始，3s的時間內的平均速度為6cm/s.∴6=解得n=∴從132②由(1),知v=-0.5t+10,0≤t≤20.把v=v把t=20-2v。代入y=?1y=?把t=20-2v?代入y=?1y=?∵平均速度2v1)?整理，得v(4)不會.理由如下：設從黑球減速開始t?s時黑球碰到白球.∴?整理，得t∵△=(?32)∴黑球在減速過程中不會碰到白球.4.解：(1)y關于x的函數解析式為y=?詳解設小球釋放點與地面的豎直高度和小球釋放點與落地點的水平距離之間的函數解析式為y=ax{0.2=0.64a+0.8b,0.8=2.56a+1.6b.解得∴y=∵圖3中平面直角坐標系內畫出的拋物線與小球釋放后的運動軌跡一致，∴y關于x的函數解析式為y=?∵OE=20,∴點E的縱坐標為-20.當y=-20時,?20=?解得x=8(負值已舍)，∴此時小球釋放點O與落地點F之間的水平距離EF的長為8m.(2)∵無人機水平向右飛行，∴拋物線y=?5設平移后的拋物線解析式為y=?由(1),得F(8,-20),EF=8.∴AF=AE--EF=12-8=4.∴m=4.∵AB=4∴BE=AE+AB=12+43∴C把點C12+43?15代入y=?解得m1綜上所述，當無人機水平飛行4m至12m的范圍內釋放小球可以擊中目標.(3)根據(2)可知，拋物線y=?5∴平移后的拋物線解析式為y=?如圖,過點M作MH⊥EN于點H,過點S分別作ST⊥MN于點T,SQ∥MH交直線MN于點Q.根據題意,得MH=OE=20,∠MNE=45°.∵MH⊥EN,∴∠MHN=90°.∴∠HMN=45°=∠MNE.∴MH=NH=20.∵SQ∥MH,∴∠SQT=∠HMN=45°.∵ST⊥MN,∴∠STQ=90°.∴在Rt△STQ中.sin∴ST=SQ?∵AN=23,AE=12,∴EN=AE+AN=35.∴N(35,-20).∴EH=EN-NH=35-20=15.∴M(15,0).設直線MN的解析式為y=kx+b.把點M(15,0),N(35,-20)代入、得{15k+b=0,35k+b=?20.解得∴直線MN的解析式為：y=-x+15.∵y=?∴設Sx∴SQ=?x+15??5∵516>0,∴當x=685時，SQ有最小值、最小值為∴小球在擊中圓柱形目標的過程中、與建筑物的最小距離為115.解：任務1：以點O為原點、OB所在直線為x軸，建立如圖1所示的平面直角坐標系、∴A(0,1),C(6,3.4).設拋物線的解析式為y=a∵OF=DF=BD,OB=6,∴OF=DF=BD=2.又DE=BC,∴拋物線的對稱軸為直線x=?∴b=?10a.∴y=a把點C(6,3.4)代入,得36a-60a+1=3.4.解得a=?∴拋物線的解析式為y=?任務2：如圖2，建立與任務1相同的平面直角坐標系.∵CC'=1,∴C'(6,4.4).∵調整后點C，E上升相同的高度，∴改造后對稱軸不變.設改造后拋物線的解析式為y=m把點C'(6,4.4)代入,得36m-60m+1=4.4.解得m=?∴改造后拋物線的解析式為y=?把x=2代入y=?110x把x=2代入y=?17120x∴