12012?涼山州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C點A的右側點P是拋物線上一動點．（2）若點P在第二象限內，過點P作PD丄軸于D，交AB于點E．當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此（3）如果平行于x軸的動直線l與拋物線交于點Q，與直線AB交于點N，點M為OA的中點，那么是否存在這樣的直線l，使得ΔMON是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．22012?連云港）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標原點，點D為拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF（3）將ΔAOC繞點C逆時針旋轉90°,點A對應點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由．32012?麗水）在直角坐標系中，點A是拋物線y=x2在第二象限上的點，連接OA，過點O作OB丄OA，交拋物②將拋物線y=x2作關于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x2，試判斷拋物線y=-x2經過平移交換后，能否經過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．42012?樂山）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（m，m點B的坐標為（n，-n拋物線經過A、①當ΔOPC為等腰三角形時，求點P的坐標；②求ΔBOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標．52012?蘭州）若x1、x2是關于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數a、b、c有如下關系：x1+x2=-，x1?x2=．把它稱為的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0B（x2，0利用根與系數關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：參考以上定理和結論，解答下列問題：為等腰三角形．62012?蘭州）如圖，RtΔABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、+bx+c經過點B，且頂點在直線x=上．試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得ΔPBD的周長最小，求出P點的坐標；圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函數圖象確定y的最大值和最大值．82012?荊門）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與ΔABE相似，若存在，直接寫出點P的坐（4）設ΔAOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，ΔAOE與ΔABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍．92012?江西）如圖，已知二次函數L1：y=x2-4x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊與y軸交于點①直接寫出二次函數L2與二次函數L1有關圖象的兩條相同的性質；②是否存在實數k，使△ABP為等邊三角形？如果存在，請求出k的值；如不存在，請說明理由；③若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否會發生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．102012?嘉興）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛（1）公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為________元（用含x的代數式表示（2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？112012?嘉興）在平面直角坐標系xOy中，點P是拋物線：y=x2上的動點（點在第一象限內連接OP，過點0作OP的垂線交拋物線于另一點Q．連接PQ，交y軸于點M．作PA丄x軸于點A，QB丄x122012?佳木斯）如圖，拋物線y=x2+bx+c經過坐標原點，并與x軸交于點A（2，0132012?濟寧）如圖，拋物線y=ax2+bx-4與x軸交（3）當ΔPCD的面積最大時，求點P的坐標．142012?吉林）問題情境如圖，在x軸上有兩點A（m，0B（n，0n＞m＞0點D．直線OC交直線BD于點E，直線OD交直線AC于點F，點E、點F的縱坐標分別記為yE，yF．特例探究E=________，yF=________；歸納證明拓展應用（1）若將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=ax2（a＞0）”,其他條件不變，請直接寫出yE與yF的大小關系；（1）求拋物線的解析式．（2）若點D（2，2）是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得ΔBDP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．（2）已知實數x＞0，請證明x+≥2，并說明x為何值時才)172012?黃岡）某科技開發公司研制出一種新型的產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元，在該產品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產品，公司決定商家一次購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單價均降低10（1）商家一次購買這種產品多少件時，銷售單價恰好為2600元？（2）設商家一次購買這種產品x件，開發公司所獲得的利潤為y元，求y（元）與x（件）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）該公司的銷售人員發現：當商家一次購買產品的件數超過某一數量時，會出現隨著一次購買的數量的增多，公司所獲得的利潤反而減少這一情況．為使商家一次購買的數量越多，公司所獲得的利潤越大，公司應將最低銷售單價調整為多少元？（其它銷售條件不變）（3）在（1）條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與ΔBCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．將拋物線m繞點B旋轉180°,得到新的拋物線n，它的頂點為D；線，垂足為F，連接EF．如果P點的坐標為（x，yΔPEF的面積為S，求S與x的函數關系式，寫出自變量x202012?湖州）如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（a≠0）經過AB、（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2過點B作BE丄CD于物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t<)①是否存在這樣的t，使ΔADF與ΔDEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；②連接FC，以點F為旋轉中心，將ΔFEC按順時針方向旋轉180°,得ΔFE′C′，當ΔFE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍寫出答案即可）212012?呼和浩特）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與雙曲線相交于點A，B，且拋物線經過坐標原點，點A的坐標為（-2，2點B在第四象限內，過點B作直線BCⅡx軸，點C知直線BC與x軸之間的距離是點B到y軸的距離的4倍，記拋物線頂點為E．（3）在拋物線上是否存在點D，使ΔABD的面積等于ΔABE的面積的8倍？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．222012?衡陽）如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行（1）求此拋物線的解析式．②是否存在點P，使得ΔPFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；③延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC232012?黑龍江）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經過坐標原點，并與x軸交于點A（2，0（3）若拋物線上有一點B，且S△OAB=8，求點B的坐標．242012?菏澤）牡丹花會前夕，我市某工藝廠設計了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進行試銷．經過調查，（2）當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-（3）菏澤市物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過35元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該252012?菏澤）如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1B（2，0O（0，0將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°,得到ΔA′B′O．（1）一拋物線經過點A′、B′、B，求該（2）設點P是在第一象限內拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是ΔA′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質．點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A、B點重合過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PDTAB于點D．①用含有m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連接PB，線段PC把ΔPDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，直接寫出m的值，使這兩個三角形的面272012?河北）某工廠生產一種合金薄板（其厚度營銷過程中得到了表格中的數據．①求一張薄板的利潤與邊長之間滿足的函數關系式．②當邊長為多少時，出廠一張薄板所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？理由；若有，請求出最大值．（2）要使反比例函數和二次函數都是y隨著x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當ΔABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．302012?海南）如圖，頂點為P（4，-4）的二次函數圖象經過原點（0，0點A在該圖象上，OA交其對稱軸l于點M，點M、N關于點P對稱，連接AN、ON，（2）若點A在對稱軸l右側的二次函數圖象上運動時，請解答下面問題：②ΔANO能否為直角三角形？如果能，請求出所有符合條件的點A的坐標；如果不能，請說明理由．12012?涼山州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x2+bx+c經過A、B兩點，并與x軸交于另一點C（點C點A的右側點P是拋物線上一動點．（2）若點P在第二象限內，過點P作PD丄軸于D，交AB于點E．當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此（3）如果平行于x軸的動直線l與拋物線交于點Q，與直線AB交于點N，點M為OA的中點，那么是否存在這樣的直線l，使得ΔMON是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．分析1）首先求得A、B點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式，并求出拋物線與x軸另一交點C（2）關鍵是求出線段PE長度的表達式，設D點橫坐標為t，則可以將PE表示為關于t的二次函數，利用二次函數求極值的方法求出PE長度的最大值；（3）根據等腰三角形的性質和勾股定理，將直線l的存在性問題轉化為一元二次方程問題，通過一元二次方程的判別式可知直線l是否存在，并求出相應Q點的坐標．注意“ΔMON是等腰三角形”，其中包含三種情況，需要逐一討論，不能漏解．,解得，:拋物線解析式為y=-x2-3x+4．2=1，:C（1，0如答圖2所示，過N點作NH丄x軸于點H．:NH=AH=4-m，:yQ=4-m．ΔΔMON為等腰三角形：:m=1，:yQ=4-m=3．:此時不存在這樣的直線l，使得ΔMON為等腰三角形．綜上所述，存在這樣的直線l，使得ΔMON為等腰三角形．點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數、一元二次方程的解法及判別式、等腰三角形以及勾股定理等方面知識，涉及考點較多，難度較大．第（3）問中，注意等腰三角形有三種情形，需要分類討論，避免因漏解而導致失分．22012連云港）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點O為坐標拋物線的頂點，點E在拋物線上，點F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF（3）將ΔAOC繞點C逆時針旋轉90°,點A對應點為點G，問點G是否在該拋物線上？請說明理由．分析1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的長，先表示出C、E的坐標，然后利用待定系數法確定該函數的解（2）根據（1）的函數解析式求出A、B、D三點的坐標，以AB為底、D點縱坐標的絕對值為高，可求出ΔABD的面積．（3）首先根據旋轉條件求出G點的坐標，然后將點G的坐標代入拋物線的解析式中直接進行判定即可．:點C的坐標為（0，3點E的坐標為（2，3:拋物線所對應的函數解析式為y=-x:拋物線所對應的函數解析式為y=-x2+2x+3；:拋物線的頂點坐標為D（1，4:△ABD中AB邊的高為4，:△ABD的面積=×4×4=8；:點A對應點G的坐標為（3，22點評：點評：這道函數題綜合了圖形的旋轉、面積的求法等知識，考查的知識點不多，難度適中．②將拋物線y=x2作關于x軸的軸對稱變換得到拋物線y=-x2，試判斷拋物線y=-x2經過平移交換后，能否經過A，B，C三點？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請說明理由．分析1）過點A作AD丄x軸于點D，根據正方形的對角線平分一組對角可得∠AOC=45°,所以∠AOD=45°,從而得到ΔAOD是等腰直角三角形，設點A坐標為（-a，a然后利用點A在拋物線上，把點的坐標代入解（2）①過點A作AE丄x軸于點E，過點B作BF丄x軸于點F，先利用拋物線解析式求出AE的長度，然后證明ΔAEO和ΔOFB相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出OF與BF的關系，然后利用點B在拋物線上，設出點B的坐標代入拋物線解析式計算即可得解；②過點C作CG丄BF于點G，可以證BG=AE，然后求出點C的坐標，再根據對稱變換以及平移變換不改變拋物線的形狀利用待定系數法求出過點A、B的拋物線解析式，把點C的坐標代入所求解析式進行驗證變換后的解析式是否經過點C，如果經過點C，把拋物線解析式轉化為頂點式解析式，根據頂點坐標寫出變換過程即可．解答：解1）如圖，過點A作AD丄x軸于點D，:∠AOC=45°,:∠AOD=90°-45°=45°,::△AOD是等腰直角三角形，（2）①過點A作AE丄x軸于點E，過點B作BF丄x軸于:∠EAO=∠BOF，:===，:t2=2t，:點B（2，4解得，::經過A、B兩點的拋物線解析式為y=-x2+3x+2，點評：點評：本題是對二次函數的綜合考查，包括正方形的性質，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，待定系數法求拋物線解析式，綜合性較強，難度較大，要注意利用點的對稱、平移變換來解釋拋物線的對稱平移變換，利用點研究線也是常用的方法之一．①當ΔOPC為等腰三角形時，求點P的坐標；②求ΔBOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標．分析1）首先解方程得出A，B兩點的坐標，進而利用待定系數法求出二次函數解析式即可；②利用SΔBOD=SΔODQ+SΔBDQ得出關于x的二次函數，進而:::拋物線的解析式為．…（4分）::直線AB的解析式為．:P2-:P3-)或P2-)或P2-:C點坐標為（0…（6分）:直線OB的解析式為y=-x．點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰三角形的性質和三角形面積求法等知識，求面積最值經常利用二次函數的最值求法得出．52012?蘭州）若x1、x2是關于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個根，則方程的兩個根x1、x2和系數a、b、c的圖象與x軸的兩個交點為A（x1，0B（x2，0利用根與系數關系定理可以得到A、B連個交點間的距離為：參考以上定理和結論，解答下列問題：為等腰三角形．考點：拋物線與x軸的交點；根與系數的關系；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質。分析1）當ΔABC為直角三角形時，由于AC=BC，所以ΔABC為等腰直角三角形，過C作CE丄AB于E，則（（2）當ΔABC為等邊三角形時，解直角ΔACE，得CE=AE=，據此列出方程，解方程即可求出b2∵a＞0，:AB=，:，:，:::，難度中等．試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；（3）在（2）的條件下，連接BD，已知對稱軸上存在一點P使得ΔPBD的周長最小，求出P點的坐標；圍，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此時M點的坐標；若不存在，說明理由．分析1）根據拋物線y=經過點B（0，4以及頂點在直線x=上，得出b，c即可；利用二次函數最值求出即可．解答：解1）:拋物線y=經過點B（0，4）:頂點在直線x=上，∴所求函數關系式為；:AB=，:BC=CD=DA=AB=5，:點C和點D都在所求拋物線上；設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b，:，:P(),則」」:當S=時，S取最大值是此時，點M的坐標為（0點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，以及菱形性質和待定系數法求解析式，求圖形面積最值，利用二次函數的最值求出是解題關鍵．①求k的值；②當k≤x≤k+2時，請結合函數圖象確定y的最大值和最大值．考點：拋物線與x軸的交點；一次函數的定義；二次函數的最值。分析1）分兩種情況討論，當k=1時，可求出函數為一次函數，必與x軸有一交點；當k≠1時，函數為二次函數，若與x軸有交點，則Δ≥0．2及根與系數的關系，建立關于k的方程，求出k的值；②充分利用圖象，直接得出y的最大值和最小值．解答：解1）當k=1時，函數為一次函數y=-2x+3，其圖象與x軸有一個交點當k≠1時，函數為二次函數，其圖象與x軸有一個或兩個交點，:2k?=4?．…（6分）最大=點評：點評：本題考查了拋物線與x軸的交點、一次函數的定義、二次函數的最值，充分利用圖象是解題的關鍵．82012?荊門）如圖甲，四邊形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，頂點在B點的拋物線交x軸（3）試探究坐標軸上是否存在一點P，使以D、E、P為頂點的三角形與ΔABE相似，若存在，直接寫出點P的坐（4）設ΔAOE沿x軸正方向平移t個單位長度（0＜t≤3）時，ΔAOE與ΔABE重疊部分的面積為s，求s與t之間的函數關系式，并指出t的取值范圍．專題：代數幾何綜合題；壓軸題；分類討論。分析1）已知A、D、E三點的坐標，利用待定系數法可確定拋物線的解析式，進而能得到頂點B的坐標．（2）過B作BM丄y軸于M，由A、B、E三點坐標，可判斷出ΔBME、ΔAOE都為等腰直角三角形，易證求解即可．（4）過E作EFⅡx軸交AB于F，當E點運動在EF之間時，ΔAOE與ΔABE重疊部分是個五邊形；當E點運動到F點右側時，ΔAOE與ΔABE重疊部分是個三角形．按上述兩種情況按圖形之間的和差關系進行解答解答1）解：由題意，設拋物線解析式為y=a（x-3x+1::AB是ΔABE外接圓的直徑．:∠:∠BAE=∠CBE．:∠CBA=90°,即CB丄AB．:CB是ΔABE外接圓的切線．若以D、E、P為頂點的三角形與ΔABE相似，則ΔDEP必為直角三角形；:y=-2x+6．解得解得過點過點E作射線EFⅡx軸交AB于點F，當y=3時，得x=，:F3情況一：如圖2，當0＜t≤時，設ΔAOE平移到ΔDNM的位置，MD交AB于點H，MN交AE于點G．解得解得HK=2t．點評：點評：該題考查了二次函數的綜合題，涉及到二次函數解析式的確定、切線的判定、相似三角形的判定、圖形面積的解法等重點知識，綜合性強，難度系數較大．此題的難點在于后兩個小題，它們都需要分情況進行討論，容易出現漏解的情況．在解答動點類的函數問題時，一定不要遺漏對應的自變量取值范圍．92012?江西）如圖，已知二次函數L1：y=x2-4x+①直接寫出二次函數L2與二次函數L1有關圖象的兩條相同的性質；②是否存在實數k，使ΔABP為等邊三角形？如果存在，請求出k的值；如不存在，請說明理由；③若直線y=8k與拋物線L2交于E、F兩點，問線段EF的長度是否會發生變化？如果不會，請求出EF的長度；如果會，請說明理由．分析1）已知拋物線的解析式，當函數值為0時，可求得A、B的橫坐標，由此得解．（2）①直接從系數的變化情況來進行分析；②當ΔABP為等邊三角形時，P點必為函數的頂點，首先表示出P點縱坐標，它的絕對值正好是等邊三角③聯立直線y=8k和拋物線的解析式，求出E、F兩點的坐標，然后判斷EF是否為定值．:x1=1，x2=3；（2）①二次函數L2與L1有關圖象的兩條(Ⅱ)都經過A（1，0B（3，0）兩點；（x-2）2-k，:頂點P（2，-k要使ΔABP為等邊三角形，必滿足|-k|=，:k=±③③線段EF的長度不會發生變化．:kx2-4kx+3k=8k，∵k≠0，:x2-4x+3=8，:x1=-1，x2=5，:EF=x2-x1=6，:線段EF的長度不會發生變化．點評：該題考查了二次函數的性質、函數圖象交點坐標的求法、等邊三角形的性質等知識，雖然題目較長，但難度適中，適合訓練．102012?嘉興）某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛（2）當每日租出多少輛時，租賃公司日收益最大？分析1）根據當全部未租出時，每輛租金為：400+20×50=1400元，得出公司每日租出x輛車時，每輛車的日租（2）根據已知得到的二次函數關系求得日收益的最大值即可；解答：解1）∵某汽車租賃公司擁有20輛汽車．據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；:公司每日租出x輛車時，每輛車的日租金為：1400﹣50x；）﹣:當日租出14輛時，租賃公司日收益最大，最大值為5000元．:當日租出4輛時，租賃公司日收益不盈也不虧．點評：本題考查了列代數式及二次函數的應用和一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出代數式或函數關系式是解題關鍵．作OP的垂線交拋物線于另一點Q．連接PQ，交y軸于點M．作PA丄x軸于點A，QB丄x②在y軸上找一點C，使△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點C的坐標；專題：代數幾何綜合題；分類討論。分析1）①已知m的值，代入拋物線的解析式中可求出點P的坐標；由此確定PA、OA的長，通過解直角三角形易得出結論．②在四邊形ODME中，已知了一個直角，只需判定該四邊形是平行四邊形即可，那么可通過證明兩組對邊平行來得證．解答：解答：解1）①把x=代入y=x2，得y=2，:P2:OP=:．:n=:Q:OQ=．:，得n=，:Q(,).解得解得b=1，:M（0，1）::△QBO△MOA:∠MAO=∠QOB，:四邊形ODME是矩形．矩形的判定等重要知識點1）②題中，要注意分類進行討論，以免出現漏解、錯解的情況．122012佳木斯）如圖，拋物線y=x2+bx+c經過坐標原點，并與x軸交于點A（2，0（3）若拋物線上有一點B，且S△OAB=3，求點B的坐標．考點考點：待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質。（2）將二次函數解析式寫成頂點式，可求頂點坐標及對稱軸；（3）設點B的坐標為（a，b根據三角形的面積公式求b的值，再將縱坐標b代入拋物線解析式求a的值，確定B點坐標．,對稱軸為：直線x=1…（1分）:b=3…（1分）:x2-2x=3點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質．關鍵是將拋物線上兩點坐標代入解析式，列方程組求解析式，將拋物線解析式寫成頂點式，可求頂點坐標及對稱軸．（3）當△PCD的面積最大時，求點P的坐標．專題：壓軸題；轉化思想。分析1）該拋物線的解析式中有兩個待定系數，只需將點A、B的坐標代入解析式中求解即可．得，根據題干給出的條件BP2=BD?BC即可求出點P的坐標．（3）由于PDⅡAC，根據相似三角形ΔBP為高，易表示出ΔBPC的面積，ΔBPC、ΔBPD的面積差為ΔPDC的面積，通過所列二次函數的性質，即解得，:PDⅡAC，:BC=，:，:×ΔBPC=×（x+2）×4-ΔΔBPC點評：點評：該題綜合了相似三角形、圖形面積的求法等知識，難度系數大3）題中，將所求三角形的面積進行適當的轉化是解題的關鍵所在．142012?吉林）問題情境如圖，在x軸上有兩點A（m，0B（n，0n＞m＞0點D．直線OC交直線BD于點E，直線OD交直線AC于點F，點E、點F的縱坐標分別記為yE，yF．特例探究歸納證明拓展應用（1）若將“拋物線y=x2”改為“拋物線y=ax2（a＞0）”,其他條件不變，請直接寫出yE與yF的大小關系；已知A、B的坐標，根據拋物線的解析式，能得到C、D的坐標，進而能求出直線OC、OD的解析式，也就能得出E、F兩點的坐標，再進行比較即可．ΔOEA兩部分，根據給出的四邊形和ΔOFE的面積比例關系，能判斷出EF、OA的比例關系，進而得出m、【歸納證明】【拓展應用】（2）綜合上面的結論，可得出E、F的縱坐標相同，即EFⅡx軸，則四邊形ABEF是矩形；，ΔOAEΔOFEΔOAEΔOFE點評：本題主要考查的是函數解析式的確定、圖形面積的解法、四邊形的判定等知識，綜合性較強，由淺入深的引導方式進一步降低了題目的難度，對于基礎知識的掌握是解題的關鍵．（1）求拋物線的解析式．（2）若點D（2，2）是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得ΔBDP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．考點考點：待定系數法求二次函數解析式；軸對稱-最短路線問題。（2）由于BD為定值，則△BDP的周長最小，即BP+DP最小，由于點A和點B關于對稱軸對稱，則即:c=3，（（2）如圖：連接AD，與對稱軸相交于P，由于點A和點B關于對稱軸對稱，則即BP+DP=AP+DP，當A、（2）已知實數x＞0，請證明x+≥2，并說明x為何值時才)分析1）求拋物線的頂點坐標，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點，可確定解析式中的常數項（由此得到a的值然后從方程入手求b的值，題干給出了兩根差的絕），（2）x?=1，因此將x+配成完全平方式，然后根據平方的非負性即可得證．（3）結合（1）的拋物線的解析式以及函數的平移規律，可得出拋物線C2的解析式；在RtΔOAB中，由勾股定理可確定m、n的關系式，然后用m列出ΔAOB的面積表達式，結合不等式的相關知識可確定ΔOAB的最小面積值以及此時m的值，進而由待定系數法確定一次函數OA的解析式．:a=1:y=x2+bx-32::b=-2::x+≥2，顯然當x=1時，才有x+=2．:A（m，m2B（n，n2）:OA2+OB2=AB22::S==ΔAOB:直線OA的一次函數解析式為y=x．點評：該題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象的平移、不等式的應用等知識，解題過程中完全平方式的變形被多次提及，應熟練掌握并能靈活應用．172012?黃岡）某科技開發公司研制出一種新型的產品，每件產品的成本為2400元，銷售單價定為3000元，在該產品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產品，公司決定商家一次購買這種新型產品不超過10件時，每件按3000元銷售；若一次購買該種產品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產品的銷售單價均降低10（1）商家一次購買這種產品多少件時，銷售單價恰好為2600元？（2）設商家一次購買這種產品x件，開發公司所獲得的利潤為y元，求y（元）與x（件）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）該公司的銷售人員發現：當商家一次購買產品的件數超過某一數量時，會出現隨著一次購買的數量的增多，公司所獲得的利潤反而減少這一情況．為使商家一次購買的數量越多，公司所獲得的利潤越大，公司應將最低銷售單價調整為多少元？（其它銷售條件不變）（（2）由利潤y=銷售單價×件數，及銷售單價均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50答：商家一次購買這種產品50件時，銷:y=2+700x可知拋物線開口向下，當x=-答：公司應將最低銷售單價調整為2750元．點評：本題考查了二次函數的運用．關鍵是明確銷售單價與銷售件數之間的函數關系式，會表達單件的利潤及總利（3）在（1）條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使BH+EH最小，并求出點H的坐標；（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與ΔBCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．專題：代數幾何綜合題；壓軸題。分析1）將點（2，2）的坐標代入拋物線解析式，即可求得m的值；（3）根據軸對稱以及兩點之間線段最短的性質，可知點B、C關于對稱軸x=1對稱，連接EC與對稱軸的交②當ΔBEC一ΔFCB時，如答圖3所示．此時可以得到矛盾的解答：解1）依題意，將M（2，2）代入拋物線解析式得：在C1中，令x=0，得y=2，:E（0，2:S:SΔ（3）當m=4時，易得對稱軸為x=1，又點B、C關于x=1對稱．當x=1時，y=，:H（1則，:BC2=BE?BF．:可令F（x，-x-2x＞0又點F在拋物線上，此時BF=?∴可令F（xx+2∴可令F（xx+2x＞0）點評：本題涉及二次函數的圖象與性質、相似三角形的判定與性質、軸對稱-最小路徑問題等重要知識點，難度較大．本題難點在于第（4）問，需要注意分兩種情況進行討論，避免漏解；而且在計算時注意利用題中條件化簡計算，避免運算出錯．將拋物線m繞點B旋轉180°,得到新的拋物線n，它的頂點為D；線，垂足為F，連接EF．如果P點的坐標為（x，y△PEF的面積為S，求S與x的函數關系式，寫出自變量x分析1）本問涉及拋物線的旋轉變換，首先求出B點坐標，再由點D、M關于點B成中心對稱，求出D點的坐標，從而得到拋物線n的解析式；注意由于開口方向相反，兩個拋物線的a值也相反；（2）本問可依次確定S的關系式、自變量x的取值范圍，最后求出最大值．注意：①欲求S的關系式，首單套用單套用“當x=9時，最大值為…”，這樣就錯了，因為x=9不在自變量的取值范圍內；（3）本問結論：直線CM與⊙G相切．結合題意，欲證明直線CM與⊙G相切，需要完成兩個步驟：①證由旋轉性質可知，點D與點M（3關于點B（8，0）成中心對稱，:D（13，-:E點坐標為（18，0,解得k=，b=-，::直線DE的解析式為：y=x-．可見該拋物線開口向下，對稱軸為可見該拋物線開口向下，對稱軸為x=9，函數圖象位于對稱軸右側，y隨著x的增大而減小，故S在13＜x<18范圍內沒有最大值．又又∵⊙G半徑為5，:點C在⊙G上．:△CHG一△MHC，:∠MCH=∠CGH；又∠HCG+∠CGH=90°,:∠HCG+∠MCH=90°,即GC丄MC．（注：此處亦可用勾股定理的逆定理證明ΔMCG為直角三角形）綜上所述，點C在ΘG上，且滿足GC丄MC，:直線CM與與ΘG相切．點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、圖形變換、極值、相似三角形的判定與性質、勾股定理以及圓與直線的位置關系等知識點，有一定的難度．第（2）問中，考查二次函數在指定區間上的極值，這是本題的一個易錯點，需要引起注意．202012?湖州）如圖1，已知菱形ABCD的邊長為2，點A在x軸負半軸上，點B在坐標原點．點D的坐標為（2）將菱形ABCD以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向勻速平移（如圖2過點B作BE丄CD于物線于點F，連接DF、AF．設菱形ABCD平移的時間為t秒（0＜t<)①是否存在這樣的t，使ΔADF與ΔDEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；②連接FC，以點F為旋轉中心，將ΔFEC按順時針方向旋轉180°,得ΔFE′C′，當ΔFE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中（包括邊界）時，求t的取值范圍寫出答案即可）分析1）根據已知條件求出AB和CD的中點坐標，然后利用待定系數法求該二次函數的解析式；（2）本問是難點所在，需要認真全面地分析解答：①如圖2所示，ΔADF與ΔDEF相似，包括三種情況，需要分類討論：（II）若∠ADF=90°時，ΔDEF一△FBA，利用相似三角形的對應邊成比例可以求得相應的t的值；②如圖3所示，畫出旋轉后的圖形，認真分析滿足題意要求時，需要具備什么樣的限制條件，然后根據限制條件列出不等式，求出t的取值范圍．確定限制條件是解題的關鍵．解得解得:y=-x2+3．:EC=DE=要使ΔADF與ΔDEF相似，則ΔADF中必有一個角為直角．又」E（t，3F（t，-t2+3:EF=3-（-t2+3）=t2:t2=1，」t＞0，:t=1又」∠ADF=又」∠ADF=∠DEF:△ADF一△DEF::此時t不存在；（III）由題意得，∠DAF<∠DAB=60°:∠DAF≠90°,此時t不存在．綜上所述，存在t=1，使ΔADF與ΔDEF相似；觀察圖形可知，欲使ΔFE′C′落在指定區域內，必須滿」C′E′=CE=，:C′點的橫坐標為t-，:t的取值范圍為：點評：本題是動線型中考壓軸題，綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、幾何變換（平移與旋轉）、菱形的性質、相似三角形的判定與性質等重要知識點，難度較大，對考生能力要求很高．本題難點在于第2()問2）①中，需要結合ΔADF與ΔDEF相似的三種情況，分別進行討論，避免漏解2）②中，確定“限制條件”是解題關鍵．212012?呼和浩特）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）與雙曲線相交于點A，B，且拋物線經過坐標原點， 點A的坐標為（-2，2點B在第四象限內，過點B作直線BCⅡx軸，點C知直線BC與x軸之間的距離是點B到y軸的距離的4倍，記拋物線頂點為E．（3）在拋物線上是否存在點D，使ΔABD的面積等于ΔABE的面積的8倍？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．分析1）將點A的坐標代入雙曲線方程即可得出k的值，設B點坐標為（m，-4mm＞0根據雙曲線方程可得出m的值，然后分別得出了A、B、O的坐標，利用待定系數法求解二次函數解析式即可；（2）根據點B的坐標，結合拋物線方程可求出點C的坐標，繼而可得出三角形ABC的面積，先求出AB的解析式，然后求出點F的坐標，及EF的長，繼而根據SΔABE=SΔAEF+SΔBEF可得出答案．（3）先確定符合題意的三角形ABD的面積，繼而可得出當點D與點C重合時，滿足條件，過點C作AB的平行線的平行線CD，則可求出其解析式，求出其與拋物線的交點坐標即可得出點D的坐標．:k=-4，:雙曲線的解析式為y=-，:設B點坐標為（m，-4mm＞0）代入雙曲線解析式得m=1，:，),對稱軸為x=-，ΔABC:EF=-1=，ΔΔABEΔAEFΔBEFΔABE:當點ΔABE:當點D與點C重合時，顯然滿足條件；點評：此題屬于二次函數的綜合題目，第一問的解答關鍵是掌握待定系數法的運用，求解第二問需要我們會根據函數解析式求兩函數圖象的交點坐標，此類綜合題目，難度較大，注意逐步分析．222012衡陽）如圖所示，已知拋物線的頂點為坐標原點O，矩形ABCD的頂點A，D在拋物線上，且AD平行（1）求此拋物線的解析式．②是否存在點P，使得ΔPFR為等邊三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；③延長PF交拋物線于另一點Q，過Q作BC專題：代數幾何綜合題；數形結合。分析1）根據題意能判斷出點O是矩形ABCD的對角線交點，因此D、B關于原點對稱，A、B關于x軸對稱，得到A、D的坐標后，利用待定系數法可確定拋物線的解析式．（（2）①首先根據拋物線的解析式，用一個未知數表示出點P的坐標，然后表示出PF、RF的長，兩者進行②首先表示RF的長，若ΔPFR為等邊三角形，則滿足PF=PR=FR，列式求解即可；解答：解答：解1）∵拋物線的頂點為坐標原點，:A、D關于拋物線的對稱軸對稱；:O是矩形ABCD對角線的交點，又B（2，1）:拋物線的解析式為：y=-x2．::PF=PR．若若ΔPFR為等邊三角形，則RF=PF點評：該題考查了二次函數的性質及解析式的確定、矩形的性質、特殊三角形的判定等知識，綜合性較強．在解答題目時，要注意數形結合，并靈活應用前面小題中證得的結論．232012黑龍江）如圖，拋物線y=-x2+bx+c經過坐標原點，并與x軸交于點A（2，0考點考點：待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質。（2）根據（1）中所求函數解析式，可把a、b、c的值代入頂點公式，易求頂點坐標，以及對稱軸；,::頂點為（1，1:b=-8，并能掌握頂點的計算公式．242012?菏澤）牡丹花會前夕，我市某工藝廠設計了一款成本為10元/件的工藝品投放市場進行試銷．經過調查，（2）當銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（利潤=銷售總價-成（3）菏澤市物價部門規定，該工藝品銷售單價最高不能超過35元/件，那么銷售單價定為多少時，工藝廠試銷該工考點考點：二次函數的應用；一次函數的應用。分析1）利用表中x、y的各組對應值作為點的坐標，在坐標系中描出即可，再根據點的分布得出y與x的函數（3）利用二次函數的增減性，結合對稱軸即可得出答案．設這個一次函數為y=kx+b（k≠0:，（2）設工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤是W元，依題意得：:當x=40時，W有最大值9000．故銷售單價定為35元∕件時，工藝廠試銷該工藝品每天獲得的利潤最大．點評：此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式以及二次函數增減性應用等知識，此題難度不大是中考中考查重點內容．252012?菏澤）如圖，在平面直角坐標系中放置一直角三角板，其頂點為A（0，1B（2，0O（0，0將此三角板繞原點O逆時針旋轉90°,得到ΔA′B′O．（1）一拋物線經過點A′、B′、B，求該（2）設點P是在第一象限內拋物線上的一動點，是否存在點P，使四邊形PB′A′B的面積是ΔA′B′O面積4倍？若存在，請求出P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質．（3）利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質得出答案即可．解答：解1）ΔA′B′O是由ΔABO繞原點O逆時針旋轉90°得到的，∵拋物線經過點A′、B′、B，:，（（2）∵P為第一象限內拋物線上的一動點，（3）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質中的任意2（3）四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質中的任意2個均可．①等腰梯形同一底上的兩個內角相等；②等腰梯形對點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰梯形性質等知識，利用四邊形PB′A′B的面積是ΔA′B′O面積的4倍得出等式方程求出x是解題關鍵．點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A、B點重合過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PDTAB于點D．①用含有m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；②連接PB，線段PC把ΔPDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，直接寫出m的值，使這兩個三角形的面專題：壓軸題；數形結合。分析1）已知直線AB的解析式，首先能確定A、B點的坐標，然后利用待定系數法確定a、b的值；若設直線AB與y軸的交點為E，E點坐標易知，在RtΔAEO中，能求出sin正弦值可得．（2）①已知P點橫坐標，根據直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標，由此得到線段PC的長；在RtRtΔPCD中，根據（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表達式，再根據所得函數的性質求出PD長的最大值．D作PC的垂線，首先求出這兩條垂線段的表達式，然后根據題干給出的面積比例關系求出m的值．::a=，b=-設直線設直線AB與y軸交于點E，則E（0，1: