山東省無棣縣魯北高新技術開發區實驗學校2025屆高二下數學期末統考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則直線被圓所截得的弦長為（）A． B． C． D．2．已知為拋物線的焦點，點的坐標為，過點作斜率為的直線與拋物線交于、兩點，延長、交拋物線于、兩點設直線的斜率為，則（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知離散型隨機變量的分布列為表格所示，則隨機變量的均值為（）0123A． B． C． D．4．已知、分別為的左、右焦點，是右支上的一點，與軸交于點，的內切圓在邊上的切點為，若，則的離心率為（）A． B． C． D．5．已知函數，若，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數，函數有四個不同的零點，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．以下幾個命題中：①線性回歸直線方程恒過樣本中心；②用相關指數可以刻畫回歸的效果，值越小說明模型的擬合效果越好；③隨機誤差是引起預報值和真實值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機誤差的方差；④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關指數等于相關系數的平方.其中真命題的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．某中學元旦晚會共由6個節目組成，演出順序有如下要求：節目甲必須排在乙的前面，丙不能排在最后一位，該晚會節目演出順序的編排方案共有()A．720種 B．600種 C．360種 D．300種9．已知函數在定義域上有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知，則除以9所得的余數是A．2 B．3C．5 D．711．四大名著是中國文學史上的經典作品，是世界寶貴的文化遺產.在某學校舉行的“文學名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學相約去學校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數為（）A． B． C． D．12．函數的圖象大致為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點分別是雙曲線：的左右兩焦點，過點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，若是以為頂角的等腰三角形，其中，則雙曲線離心率的取值范圍為______.14．設向量，，若與垂直，則的值為_____15．在極坐標系中，點M(4,π3)16．從，中任取2個不同的數，事件“取到的兩個數之和為偶數”，事件”取到的兩個數均為偶數”，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）假定某籃球運動員每次投籃命中率均為.現有3次投籃機會,并規定連續兩次投籃均不中即終止投籃,已知該運動員不放棄任何一次投籃機會,且恰好用完3次投籃機會的概率是.(1)求的值；(2)設該運動員投籃命中次數為,求的概率分布及數學期望.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(其中為參數）.現以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點坐標為，直線交曲線于,兩點，求的值.19．（12分）已知函數（e為自然對數的底數）．（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；（Ⅱ）若對于任意，不等式恒成立，求實數t的取值范圍．20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線M的參數方程為（t為參數，且t＞0），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ＝4cosθ．（1）將曲線M的參數方程化為普通方程，并將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）求曲線M與曲線C交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）．21．（12分）設數列的前項的和為,且滿足,對,都有(其中常數),數列滿足.(1)求證:數列是等比數列；(2)若,求的值；(3)若,使得,記,求數列的前項的和.22．（10分）某大學綜合評價面試測試中，共設置兩類考題：類題有4個不同的小題，類題有3個不同的小題.某考生從中任抽取3個不同的小題解答.（1）求該考生至少抽取到2個類題的概率；（2）設所抽取的3個小題中類題的個數為，求隨機變量的分布列與均值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】因為，所以圓心到直線的距離，所以，應選答案B。2、D【解析】

設，，聯立直線方程與拋物線方程可得，設，，則，，設AC，BD所在的直線方程可得，，由此可得的值．【詳解】設過點F作斜率為的直線方程為：，

聯立拋物線C：可得：，

設A，B兩點的坐標為：，，

則，

設，，

則，同理，

設AC所在的直線方程為，

聯立，得，

，同理，，

則．

故選：D．本題考查直線與拋物線的位置關系，考查斜率的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．3、C【解析】分析：利用離散型隨機變量分布列的性質求得到，進而得到隨機變量的均值詳解：由已知得，解得：∴E（X）=故選：C點睛：本題考查離散型隨機變量的數學期望的求法，考查離散型隨機變量的基本性質，是基礎題.4、A【解析】

由中垂線的性質得出，利用圓的切線長定理結合雙曲線的定義得出，可得出的值，再結合的值可求出雙曲線的離心率的值.【詳解】如圖所示，由題意，，由雙曲線定義得，由圓的切線長定理可得，所以，，，即，所以，雙曲線的離心率，故選：A.本題考查雙曲線離心率的求解，同時也考查了雙曲線的定義以及圓的切線長定理的應用，解題時要分析出幾何圖形的特征，在出現焦點時，一般要結合雙曲線的定義來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.5、D【解析】

根據題意將問題轉化為，記，從而在上單調遞增，從而在上恒成立，利用分離參數法可得，結合題意可得即可.【詳解】設，因為，所以.記，則在上單調遞增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立.因為，所以函數在上單調遞增，故有.因為，所以，即.故選：D本題考查了導數在不等式恒成立中的應用、函數單調性的應用，屬于中檔題.6、B【解析】分析：通過f（x）的單調性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個交點的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數的單調性，可得所求范圍．詳解：當x＞0時，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時，f（x）遞減；-1＜x＜0時，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點睛：本題考查函數方程的轉化思想，以及數形結合思想方法，考查二次函數的最值求法，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

由線性回歸直線恒過樣本中心可判斷①，由相關指數的值的大小與擬合效果的關系可判斷②，由隨機誤差和方差的關系可判斷③，由相關指數和相關系數的關系可判斷④.【詳解】①線性回歸直線方程恒過樣本中心,所以正確.②用相關指數可以刻畫回歸的效果，值越大說明模型的擬合效果越好，所以錯誤.③隨機誤差是引起預報值和真實值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機誤差的方差；所以正確.④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關指數等于相關系數的平方,所以正確.所以①③④正確.故選：C本題考查線性回歸直線方程和相關指數刻畫回歸效果、以及與相關系數的變形，屬于基礎題.8、D【解析】

根據題意，分2步進行分析：①，將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5個空位可選，在其中任選1個，安排丙，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，分2步進行分析：將除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有種情況，②5人排好后有5個空位可選，在其中任選1個，安排丙，有5種情況，則有60×5＝300種不同的順序，故選D．本題考查排列、組合的實際應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．9、D【解析】

根據等價轉化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數根，然后利用根的分布情況，進行計算，可得結果.【詳解】，令，方程有兩個不等正根，，則：故選：D本題考查根據函數極值點求參數，還考查二次函數根的分布問題，難點在于使用等價轉化的思想，化繁為簡，屬中檔題.10、D【解析】

根據組合數的性質，將化簡為，再展開即可得出結果.【詳解】，所以除以9的余數為1．選D.本題考查組合數的性質，考查二項式定理的應用，屬于基礎題.11、A【解析】

通過分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【詳解】對于甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據乘法原理，故共有種可能，答案為A.本題主要考查乘法分步原理，難度不大.12、C【解析】函數f（x）=（）cosx，當x=時，是函數的一個零點，屬于排除A，B，當x∈（0，1）時，cosx＞0，＜0，函數f（x）=（）cosx＜0，函數的圖象在x軸下方．排除D．故答案為C。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據雙曲線的定義，可求得，設，由余弦定理可得，，進而可得結果.詳解：如圖，，又，則有，不妨假設，則有，可得，中余弦定理，，，即，故答案為.點睛：本題主要考查利用雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求離心率范圍問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的不等式，從而求出的范圍.本題是利用點到直線的距離等于圓半徑構造出關于的等式，最后解出的值.14、【解析】與垂直15、2【解析】曲線ρcos(θ-π3)＝2化為直角坐標方程為x+3y=4，點M(416、【解析】

先求得事件所包含的基本事件總數，再求得事件所包含的基本事件總數，由此求得的值.【詳解】依題意，事件所包含的基本事件為共六種，而事件所包含的基本事件為共三種，故.本小題主要考查條件概型的計算，考查列舉法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】分析：(1)設事件:“恰用完3次投籃機會”,則其對立事件:“前兩次投籃均不中”,所以,(2)的所有可能值為,計算其對應概率即可.詳解：(1)設事件:“恰用完3次投籃機會”,則其對立事件:“前兩次投籃均不中”,依題意,，解得.(2)依題意,的所有可能值為,且,，，故.的概率分布列為:數學期望.點睛：利用對立事件計算概率是概率問題中長用的方法，所以出現“至多”“至少”等其他關鍵字眼時要注意利用對立事件的思路解題，往往能夠簡化計算.18、（1），；（2）.【解析】

（1）根據參普互化和極值互化的公式得到標準方程；（2）聯立直線和圓的方程，得到關于t的二次，再由韋達定理得到.【詳解】（1）由消去參數，得直線的普通方程為又由得，由得曲線的直角坐標方程為，即；（2）其代入得，則所以.19、(1)函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是（2)．【解析】試題分析：(1)，根據題意，由于函數當t=-e時，即導數為,,函數的單調遞增區間是；單調遞減區間是（2)根據題意由于對于任意，不等式恒成立，則在第一問的基礎上，由于函數,只要求解函數的最小值大于零即可，由于當t>0,函數子啊R遞增，沒有最小值，當t<0，那么可知，那么在給定的區間上可知當x=ln（-t）時取得最小值為2，那么可知t的取值范圍是．考點：導數的運用點評：主要是考查了導數的運用，以及函數最值的運用，屬于中檔題．20、（1）曲線的普通方程為（或）曲線的直角坐標方程為.（2）交點極坐標為.【解析】

（1）先求出，再代入消元將曲線的參數方程化為普通方程，根據將，，.曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）先求曲線與曲線交點的直角坐標，再化為極坐標.（1）∵，∴，即，又，∴，∴或，∴曲線的普通方程為（或）.∵，∴，∴，即曲線的直角坐標方程為.（2）由得，∴（舍去），，則交點的直角坐標為，極坐標為.本題考查曲線的普通方程、直角坐標方程的求法，考查兩曲線交點的極坐標的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題．21、（1）見解析；（2）．【解析】分析：(1)因為兩式相減，時所以數列是等比數列(2)(3).所以顯然分類討論即可詳解：(1)證明:因為,都有，所以兩式相減得,即，當時，所以，又因為,所以，所以數列是常數列,，所以是以2為首項,為公比的等比數列.(2)由(1)得.所以.(3)由(1)得..因為，所以當時,，當時，.因此數列的前項的和.點睛：數列問題中出現一般都要用這個原理解題，但要注意驗證時是否滿