重慶西南大學附屬中學2025年數學高二第二學期期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數存在零點，且，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若（為虛數單位），則復數（）A． B． C． D．3．已知方程在上有兩個不等的實數根，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設隨機變量，若，則等于（）A． B． C． D．5．若非零向量，滿足，向量與垂直，則與的夾角為（）A． B． C． D．6．動點在圓上移動時，它與定點連線的中點的軌跡方程是（）A． B．C． D．7．已知復數，則的虛部是（）A． B． C． D．8．函數是周期為4的偶函數,當時，,則不等式在上的解集是()A． B． C． D．9．某地區一次聯考的數學成績近似地服從正態分布，已知，現隨機從這次考試的成績中抽取個樣本，則成績小于分的樣本個數大約為（）A． B． C． D．10．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．11．設隨機變量，若，則（）A． B． C． D．12．若函數且）在R上既是奇函數,又是減函數,則的圖象是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為____.14．已知函數的圖像關于直線對稱，則__________.15．若復數滿足，則的取值范圍是______．16．若隨機變量，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，已知圓經過點，且圓心為，求圓的極坐標方程.18．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），將圓上每一個點的橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的2倍，得到曲線.（1）求直線的普通方程及曲線的參數方程；（2）設點在直線上，點在曲線上，求的最小值及此時點的直角坐標.19．（12分）已知A，B為橢圓上的兩個動點，滿足．（1）求證：原點O到直線AB的距離為定值；（2）求的最大值；（3）求過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程．20．（12分）計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X（年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和．單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，如將年人流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，假設各年的年入流量相互獨立．（1）求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；（，）（2）水電站希望安裝的發電機盡可能運行最多，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：年流入量發電機最多可運行臺數123若某臺發電機運行，則該臺年利潤為4000萬元，若某臺發電機未運行，則該臺年虧損600萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？21．（12分）如圖，在四邊形中，.（1）求的余弦值；（2）若，求的長.22．（10分）某儀器配件質量采用值進行衡量，某研究所采用不同工藝，開發甲、乙兩條生產線生產該配件，為調查兩條生產線的生產質量，檢驗員每隔分別從兩條生產線上隨機抽取一個配件，測量并記錄其值，下面是甲、乙兩條生產線各抽取的30個配件值莖葉圖.經計算得，，，，其中分別為甲，乙兩生產線抽取的第個配件的值.（1）若規定的產品質量等級為合格，否則為不合格.已知產品不合格率需低于，生產線才能通過驗收，利用樣本估計總體，分析甲，乙兩條生產線是否可以通過驗收；（2）若規定時，配件質量等級為優等，否則為不優等，試完成下面的列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“配件質量等級與生產線有關”？產品質量等級優等產品質量等級不優等合計甲生產線乙生產線合計附：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

令，可得，設，求得導數，構造，求得導數，判斷單調性，即可得到的單調性，可得的范圍，即可得到所求的范圍．【詳解】由題意，函數，令，可得，設，則，由的導數為，當時，，則函數遞增，且，則在遞增，可得，則，故選D．本題主要考查了函數的零點問題解法，注意運用轉化思想和參數分離，考查構造函數法，以及運用函數的單調性，考查運算能力，屬于中檔題．2、B【解析】由可得：，故選B.3、C【解析】

由于恒成立，構造函數，則方程在上有兩個不等的實數根等價于函數在上有兩個不同的零點，利用導數研究函數在的值域即可解決問題。【詳解】由于恒成立，構造函數，則方程在上有兩個不等的實數根等價于函數在上有兩個不同的零點，則，（1）當時，則在上恒成立，即函數在上單調遞增，當時，，，根據零點定理可得只有唯一零點，不滿足題意；（2）當時，令，解得：，令，解得：或，故的單調增區間為，的單調減區間為，①當，即時，則在單調遞增，當時，，，根據零點定理可得只有唯一零點，不滿足題意；②當，即時，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，，，，故要使函數在上有兩個不同的零點，則，解得：；綜上所述：方程在上有兩個不等的實數根，則實數的取值范圍為：故答案選C本題考查方程根的個數問題，可轉為函數的零點問題，利用導數討論函數的單調區間以及最值即可解決問題，有一定的綜合性，屬于中檔題。4、C【解析】由于,則由正態分布圖形可知圖形關于對稱，故，則，故選C.5、B【解析】∵，且與垂直，∴，即，∴，∴，∴與的夾角為．故選．6、B【解析】

設連線的中點為,再表示出動點的坐標,代入圓化簡即可.【詳解】設連線的中點為,則因為動點與定點連線的中點為,故,又在圓上,故,即即故選：B本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎題型.7、B【解析】

將利用復數代數形式的乘除運算化簡即可得到答案.【詳解】由題意，，所以的虛部是.故選：B本題主要考查復數的基本概念和復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題.8、C【解析】若，則此時是偶函數，即若，則∵函數的周期是4，

即，作出函數在上圖象如圖，

若，則不等式等價為，此時

若，則不等式等價為，此時，

綜上不等式在上的解集為故選C.【點睛】本題主要考查不等式的求解，利用函數奇偶性和周期性求出對應的解析式，利用數形結合是解決本題的關鍵．9、A【解析】分析：根據正態分布的意義可得即可得出結論.詳解：由題可得：又對稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個數大約為100x0.04=4故選A.點睛：本題考查正態曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題關鍵是要知道.10、D【解析】

首先解出集合，，由集合基本運算的定義依次對選項進行判定。【詳解】由題可得，；所以，則選項正確；故答案選D本題考查一元二次方程、絕對值不等式的解法以及集合間基本運算，屬于基礎題。11、A【解析】

根據對立事件的概率公式，先求出，再依二項分布的期望公式求出結果【詳解】，即，所以，，故選A．本題主要考查二項分布的期望公式，記準公式是解題的關鍵．12、A【解析】

由題意首先確定函數g(x)的解析式，然后結合函數的解析式即可確定函數的圖像.【詳解】∵函數(a>0,a≠1)在R上是奇函數，∴f(0)=0，∴k=2，經檢驗k=2滿足題意，又函數為減函數，所以，所以g(x)=loga(x+2)定義域為x>?2，且單調遞減，故選A.本題主要考查對數函數的圖像，指數函數的性質，函數的單調性和奇偶性的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

焦點在軸上的雙曲線的漸近線方程為，可知，由此可求出雙曲線的離心率。【詳解】由題可設焦點在軸上的雙曲線方程為，由于該雙曲線的漸近線方程為，則，在雙曲線中，所以雙曲線的離心率，故雙曲線的離心率為。本題考查雙曲線的離心率的求法，雙曲線漸近方程的應用，屬于基礎題。14、【解析】

利用輔助角公式化簡，結合題意可得，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數，因為函數的圖象關于直線對稱，所以，兩邊平方得，解得.本題主要考查了三角函數的圖象與性質的應用，其中根據輔助角公式把函數化簡為三角函數的形式是研究三角函數性質的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.15、【解析】

根據復數的模的幾何意義，結合的幾何意義，設出圓上任意一點坐標，利用兩點間距離公式列式，化簡求得的取值范圍.【詳解】由于復數滿足，故復數對應的點在圓心為原點，半徑為的圓上，設圓上任意一點的坐標為.表示圓上的點到和兩點距離之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案為：.本小題主要考查復數模的幾何意義，考查運算求解能力，屬于中檔題.16、10【解析】

根據題意可知，隨機變量滿足二項分布，根據公式，即可求出隨機變量的方差，再利用公式即可求出。【詳解】．故答案為。本題主要考查滿足二項分布的隨機變量方差的求解，解題時，利用公式將求的問題轉化為求的問題，根據兩者之間的關系列出等式，進行相關計算。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

首先把極坐標轉換為直角坐標，進一步求出圓的方程，再轉換為極坐標方程．【詳解】點轉換為直角坐標為，圓心為，故圓的半徑為，圓的方程為．整理得，轉換為極坐標方程為，即.本題考查的知識要點：參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題型．18、(1)（為參數）(2)【解析】

運用消參求出直線的普通方程，解出曲線的普通方程，然后轉化為參數方程轉化為點到直線的距離，運用參數方程進行求解【詳解】（1）由得，消元得設為圓上的點，在已知變換下變為上的點，依題意得由，得∴化為參數方程為（為參數）（2）由題意，最小值即橢圓上點到直線距離的最小值設，（其中，）∴，此時，即（）∴，∴∴.本題考查了普通方程與參數方程之間的轉化，需要運用公式熟練求解，在求最值問題時運用參量來求解，轉化為三角函數的最值問題。19、（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】

（1）當直線AB的斜率不存在時，將代入橢圓方程可得，即可得原點O到直線AB的距離為；當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，，，與橢圓方程聯立，可得，又，則，利用韋達定理代入化簡可得，則原點O到直線AB的距離，故原點O到直線AB的距離為定值；（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；（3）如圖所示，過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡滿足：，，可得P，A，B三點共線.由（1）可知：原點O到直線AB的距離為定值，即可得點的軌跡方程.【詳解】（1）證明：當直線AB的斜率不存在時，由代入橢圓方程可得：，解得，此時原點O到直線AB的距離為．當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，，．聯立，化為，，則，，．，化為，化為，化為，原點O到直線AB的距離．綜上可得：原點O到直線AB的距離為定值．（2）解：由（1）可得，，，又，當且僅當時取等號．的最大值為．（3）解：如圖所示，過點O，且分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡滿足：，．因此P，A，B三點共線．由（1）可知：原點O到直線AB的距離為定值．分別以OA，OB為直徑的兩圓的另一個交點P的軌跡方程為．本題主要考查了橢圓與圓的標準方程及其性質，點到直線的距離公式，基本不等式的運用，考查了邏輯推理和運算求解能力，屬于難題.20、（1）；（2）2臺.【解析】

（1）求出，，，由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．（2）記水電站的總利潤為（單位，萬元），求出安裝1臺發電機、安裝2臺發電機、安裝3臺發電機時的分布列和數學期望，由此能求出欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機的臺數．【詳解】解：（1）依題意，，，，由二項分布，未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為：．（2）記水電站的總利潤為Y（單位，萬元）安裝1臺發電機的情形：由于水庫年入流總量大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤，，安裝2臺發電機的情形：依題意，當時，一臺發電機運行，此時，因此，當時，兩臺發電機運行，此時，因此，，由此得Y的分布列如下Y34008000P0.20.8所以．安裝3臺發電機的情形：依題意，當時，一臺發電機運行，此時，因此，當時，兩臺發電機運行，此時，因此，，當時，三臺發電機運行，此時，因此，，由此得Y的分布列如下Y2800740012000P0.20.70.1所以．綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺．本題考查概率的求法，考查離散型隨機