山西省六校2025屆數學高二下期末聯考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若隨機變量，其均值是80，標準差是4，則和的值分別是()A．100，0.2 B．200，0.4 C．100，0.8 D．200，0.62．設東、西、南、北四面通往山頂的路各有2、3、3、4條路,只從一面上山,而從任意一面下山的走法最多,應A．從東邊上山 B．從西邊上山 C．從南邊上山 D．從北邊上山3．已知函數.若不等式的解集中整數的個數為3，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．4．將函數y=sin2x+π6的圖象向右平移π6個單位長度后,得到函數f(x)的圖象,A．kπ-5π12C．kπ-π35．復數滿足，則（）A． B． C． D．6．已知函數的圖像是一條連續不斷的曲線，若，，那么下列四個命題中①必存在，使得；②必存在，使得；③必存在，使得；④必存在，使得.真命題的個數是（）A．個 B．個 C．個 D．個7．以下四個命題中，真命題有（）．A．是周期函數，：空集是集合的子集，則為假命題B．“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要不充分條件D．已知命題：“如果，那么或”，在命題的逆命題，否命題，逆否命題三個命題中，真命題的個數有個．8．設函數的定義域為，若對于給定的正數，定義函數，則當函數，時，定積分的值為（）A． B． C． D．9．設，則等于（）A． B． C． D．10．已知O為坐標原點，雙曲線C：的右焦點為F，焦距為，C的一條漸近線被以F為圓心，OF為半徑的圓F所截得的弦長為2，則C的方程是（）A． B． C． D．11．已知復數，，.在復平面上，設復數，對應的點分別為，，若，其中是坐標原點，則函數的最大值為（）A． B． C． D．12．根據如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在二項式展開式中，第五項為________.14．已知為數字0，1，2，…，9的一個排列，滿足，且，則這樣排列的個數為___（用數字作答）．15．若，則整數__________．16．若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的高為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數.（1）解不等式；（2）求函數的最大值.18．（12分）已知函數.（1）若在處，和圖象的切線平行，求的值；（2）設函數，討論函數零點的個數.19．（12分）已知復數，求下列各式的值：(Ⅰ)(Ⅱ)20．（12分）如圖，在三棱柱中，底面，，，，點，分別為與的中點.（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.21．（12分）甲、乙兩人進行象棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立．（1）求甲在4局以內（含4局）贏得比賽的概率；（2）用X表示比賽決出勝負時的總局數，求隨機變量X的分布列和均值.22．（10分）已知函數.（1）當時，若方程的有1個實根，求的值；（2）當時，若在上為增函數，求實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據隨機變量符合二項分布，根據二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關于和的方程組，解方程組得到要求的兩個未知量．【詳解】∵隨機變量，其均值是80，標準差是4，∴由，∴．故選：C．本題主要考查分布列和期望的簡單應用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個相反的過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式．2、D【解析】從東邊上山共種;從西邊上山共種;從南邊上山共種;從北邊上山共種;所以應從北邊上山.故選D.3、D【解析】

將問題變為，即有個整數解的問題；利用導數研究的單調性，從而可得圖象；利用恒過點畫出圖象，找到有個整數解的情況，得到不等式組，解不等式組求得結果.【詳解】由得：，即：令，當時，；當時，在上單調遞減；在上單調遞增，且，由此可得圖象如下圖所示：由可知恒過定點不等式的解集中整數個數為個，則由圖象可知：，即，解得：本題正確選項：本題考查根據整數解的個數求解參數取值范圍的問題，關鍵是能夠將問題轉化為曲線和直線的位置關系問題，通過數形結合的方式確定不等關系.4、D【解析】

求出圖象變換的函數解析式，再結合正弦函數的單調性可得出結論．【詳解】由題意f(x)=sin2kπ-π∴kπ-π故選D．本題考查三角函數的平移變換，考查三角函數的單調性．解題時可結合正弦函數的單調性求單調區間．5、C【解析】

利用復數的四則運算可得，再利用復數的除法與減法法則可求出復數.【詳解】，，故選C.本題考查復數的四則運算，考查復數的求解，考查計算能力，屬于基礎題．6、A【解析】分析：函數是連續的，故在閉區間上，的值域也是連續的，令，根據不等式的性質可得①正確；利用特值法可得②③④錯誤，從而可得結果.詳解：函數是連續的，故在閉區間上，的值域也是連續的，令，對于①，，故①正確.對于②，若，則，無意義，故②錯誤.對于③，時，不存在，使得，故③錯誤.對于④，可能為，則無意義，故④錯誤，故選A.點睛：本題主要通過對多個命題真假的判斷，主要綜合考查函不等式的性質及連續函數的性質，屬于難題.這種題型綜合性較強，也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，利用定理、公理、結論以及特值判斷，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.7、C【解析】選項中，由題意得為真，為真，則為真，故不正確．選項中，命題的否定應是“，”，故不正確．選項中，由“”不能得到“”成立；由“”一定能得到“”成立。故“”是“”的必要不充分條件．故C正確。選項中，命題的逆命題、否命題、逆否命題都為真，所以有個真命題，故不正確．綜上選．8、D【解析】分析：根據的定義求出的表達式，然后根據定積分的運算法則可得結論．詳解：由題意可得，當時，，即．所以．故選D．點睛：解答本題時注意兩點：一是根據題意得到函數的解析式是解題的關鍵；二是求定積分時要合理的運用定積分的運算性質，可使得計算簡單易行．9、C【解析】

利用計算出定積分的值.【詳解】依題意得，故選C.本小題主要考查定積分的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題.10、A【解析】

根據點到直線的距離公式，可求出點F到漸近線的距離剛好為，由圓的知識列出方程，通過焦距為，求出，即可得到雙曲線方程．【詳解】為坐標原點，雙曲線的右焦點為，焦距為，可得，的一條漸近線被以為圓心，為半徑的圓所截得的弦長為2，因為點F到漸近線的距離剛好為，所以可得即有，則，所以雙曲線方程為：．故選．本題主要考查雙曲線的簡單性質的應用以及雙曲線方程的求法，意在考查學生的數學運算能力．11、B【解析】

根據向量垂直關系的坐標運算和三角函數的最值求解.【詳解】據條件，，，且，所以，，化簡得，，當時，取得最大值為.本題考查向量的數量積運算和三角函數的最值，屬于基礎題.12、C【解析】

根據程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．本題考查程序框圖，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據二項式的通項公式求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，則，故第五項為60.本題考查二項式定理的通項公式，注意是第項.14、3456【解析】

先計算總和為45，將相加為15的3數組羅列出來，計算每個選法后另外一組的選法個數，再利排列得到答案.【詳解】0，1，2，…，9所有數據之和為45相加為15的3數組有：當選擇后，可以選擇，，3種選擇同理可得：分別有3，3，3，2，3，1，2，3，3，1共24種選擇選定后只有一種排列有種排列有種排列共有中選擇.故答案為3456本題考查了排列組合的計算，將和為15的數組羅列出來是解題的關鍵.15、2【解析】

由題得，再解方程即得解.【詳解】由題得，所以,所以，所以.故答案為：2本題主要考查組合數的性質，考查組合方程的解法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】試題分析：設圓錐母線為，底面圓的半徑，圓錐側面積，所以，又半圓面積，所以，，故，所以答案應填：．考點：1、圓錐側面展開圖面積；2、圓錐軸截面性質．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）3【解析】

（1）利用零點分類討論法解不等式.(2)先化成分段函數，再結合分段函數的圖像即得其最大值.【詳解】⑴①當x＜-1時，；②當-1≤x≤2時，，；③當時，，；綜上，不等式的解集為；⑵，由其圖知，.(1)本題主要考查零點討論法解絕對值不等式，考查分段函數的最值，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數形結合分析推理能力.(2)分類討論是高中數學的一種重要思想，要注意小分類求交，大綜合求并.18、（1）（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得解得，（2）按正負討論函數單調性及值域：當時，在單增，,沒有零點;當時，有唯一的零點;當時，在上單調遞減，在上單調遞增，;在單增，，所以時有個零點；時有個零點.試題解析：（1），由，得，所以，即（2）（1）當時，在單增，，故時，沒有零點.（2）當時，顯然有唯一的零點（3）當時，設，令有，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，即在上單調遞減，在上單調遞增，（當且僅當等號成立）有兩個根（當時只有一個根）在單增，令為減函數，故只有一個根.時有個零點；時有個零點；時有個零點；時有個零點；時，有個零點.19、(1);(2).【解析】

由復數的平方，復數的除法，復數的乘法運算求得下面各式值．【詳解】(Ⅰ)因為=所以；(Ⅱ)=.復數代數形式的四則運算設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）先連接，，根據線面平行的判定定理，即可得出結論；（2）先以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的的方向向量與平面的法向量，由向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結果.【詳解】（1）證明：如圖，連接，.在三棱柱中，為的中點.又因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設平面的法向量為，則，令，得.記與平面所成角為，則.本題主要考查線面平行的判定、以及線面角的向量求法，熟記線面平行的判定定理以及空間向量的方法即可，屬于常考題型.21、（1）；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據概率的乘法公式，求出對應的概率，即可得到結論．（2）利用離散型隨機變量分別求出對應的概率，即可求X的分布列以及數學期望．【詳解】用A表示“甲在4局以內（含4局）贏得比賽”，表示“第k局甲獲勝”，表示“第k局乙獲勝”則，，.（1）.（2）X的所有可能取值為.，