山西省渾源縣第七中學2024-2025學年高二數學第二學期期末質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(e=2.71828…是自然對數的底數)一定存在零點的區間是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)2．如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結果是（）A．34 B．55 C．78 D．893．一次數學考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．已知是定義在上的偶函數，且，當時，，則不等式的解集是()A． B． C． D．以上都不正確5．高三某班有60名學生（其中女生有20名），三好學生占，而且三好學生中女生占一半，現在從該班任選一名學生參加座談會，則在已知沒有選上女生的條件下，選上的是三好學生的概率是（）A． B． C． D．6．下面是列聯表：合計2163223557合計56120則表中的值分別為（）A．84，60 B．42，64 C．42,74 D．74,427．將偶函數的圖象向右平移個單位長度后，得到的曲線的對稱中心為（）A． B．C． D．8．若正項等比數列滿足，，，則數列的前20項和是()A． B．25 C． D．1509．設復數（是虛數單位），則（）A．i B． C． D．10．已知關于的方程，，若對任意的，該方程總存在唯一的實數解，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質量分別為125、a、121、b、127(A．4 B．5 C．2 D．512．復數（）A． B． C．0 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的焦點坐標是__________.14．在中，角，，的對邊分別是，，，，若，則的周長為__________．15．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，焦距為，是橢圓上一點（不在坐標軸上），是的平分線與軸的交點，若，則橢圓離心率的范圍是___________．16．已知等腰直角的斜邊，沿斜邊的高線將折起，使二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點在原點，它的準線過雙曲線的一個焦點，并且這條準線與雙曲線的兩焦點的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點，求拋物線的方程和雙曲線的方程．18．（12分）某大型工廠有臺大型機器，在個月中，臺機器至多出現次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需名工人進行維修．每臺機器出現故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機器的能力，每臺機器不出現故障或出現故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機器在當月不出現故障或出現故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現有名維修工人．（ⅰ）記該廠每月獲利為萬元，求的分布列與數學期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數學期望為決策依據，試問該廠是否應再招聘名維修工人？19．（12分）為了了解甲、乙兩校學生自主招生通過情況，從甲校抽取60人，從乙校抽取50人進行分析。(1)根據題目條件完成上面2×2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為自主招生通過情況與學生所在學校有關；(2)現已知甲校三人在某大學自主招生中通過的概率分別為，，，用隨機變量X表示三人在該大學自主招生中通過的人數，求X的分布列及期望.參考公式：.參考數據：20．（12分）（1）當時，求證：；（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知橢圓C:的左,右焦點分別為且橢圓上的點到兩點的距離之和為4(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓交于兩點,為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由22．（10分）在△中，分別為內角的對邊，已知．(Ⅰ)求；（Ⅱ）若，求△的面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據零點存在性定理，即可判斷出結果.【詳解】因為，所以，，，所以，由零點存在定理可得：區間內必有零點.故選B本題主要考查判斷零點所在的區間，熟記零點的存在定理即可，屬于基礎題型.2、B【解析】試題分析：由題意，①②③④⑤⑥⑦⑧，從而輸出，故選B.考點：1.程序框圖的應用.3、C【解析】

通過假設法來進行判斷。【詳解】假設甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設成立，第一名是丙。本題選C。本題考查了推理能力。解決此類問題的基本方法就是假設法。4、C【解析】令，則當時：，即函數在上單調遞增，由可得：當時，；當時，；不等式在上的解集為，同理，不等式在上的解集為，綜上可得：不等式的解集是.5、B【解析】

根據所給的條件求出男生數和男生中三好學生數，本題可以看作一個古典概型，試驗發生包含的事件是從40名男生中選出一個人，共有40種結果，滿足條件的事件是選到的是一個三好學生，共有5種結果，根據概率公式得到結果.【詳解】因為高三某班有60名學生（其中女生有20名），三好學生占，而且三好學生中女生占一半，所以本班有40名男生，男生中有5名三好學生，由題意知，本題可以看作一個古典概型，試驗發生包含的事件是從40名男生中選出一個人，共有40種結果，滿足條件的事件是選到的是一個三好學生，共有5種結果，所以沒有選上女生的條件下，選上的是三好學生的概率是，故選B.該題考查的是有關古典概型的概率求解問題，在解題的過程中，需要首先求得本班的男生數和男生中的三好學生數，根據古典概型的概率公式求得結果.6、B【解析】因，故,又，則，應選答案B。7、D【解析】

根據函數為偶函數求出函數解析式，根據余弦函數的圖象和性質求對稱軸即可.【詳解】∵為偶函數，∴，∴．令，得．故選：D本題主要考查了誘導公式和余弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.8、C【解析】

設正項等比數列的首項為,公比為,由已知列式求得首項與公比,可得數列的通項公式，代入求得數列的通項公式,可得數列是以2為首項,以為公差的等差數列,再由等差數列的前項和公式求解．【詳解】設正項等比數列的首項為,公比為,由,,得:,解得,則數列是以為首項，以為公差的等差數列,則.故選:C.本題考查等差數列和等比數列的通項公式,考查等差數列的求和公式,難度較易.9、D【解析】

先化簡，結合二項式定理化簡可求.【詳解】，，故選D.本題主要考查復數的運算和二項式定理的應用，逆用二項式定理要注意配湊出定理的結構形式.10、B【解析】由成立，得，設，，則則時，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增；且，使得對于任意，對任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實數得取值范圍是，故選B．點睛：本題主要考查了導數在函數中的綜合應用問題，其中解得中涉及到利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值和函數與方程等知識點的綜合應用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉化為函數的最值問題是解答的關鍵．11、C【解析】

本題由題意可知，首先可以根據a、b中一個是124，得出另一個是：【詳解】從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質量分別為125、a、該樣本的中位數和平均值均為124，所以a，b中一個是另一個是：5×124-125-124-121-127=123，所以樣本方差s2所以該樣本的標準差s是2，故選：C。本題考查樣本的標準差的求法，考查平均數、中位數、方差、標準差等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題，本題主要是能夠讀懂題目，能從題目所給條件中找出a、12、A【解析】

利用復數的除法法則求解即可.【詳解】由題,,故選:A本題考查復數的除法運算,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

從橢圓方程中得出、的值，可得出的值，可得出橢圓的焦點坐標.【詳解】由題意可得，，，因此，橢圓的焦點坐標是，故答案為.本題考查橢圓焦點坐標的求解，解題時要從橢圓的標準方程中得出、、的值，同時也要確定焦點的位置，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】由題意，所以，且由余弦定理，得，所以所以的周長為.點睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉角”尋求角的關系，利用“角轉邊”尋求邊的關系，利用余弦定理借助三邊關系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經常利用三角形內角和定理，三角形面積公式，結合正、余弦定理解題.15、【解析】

由已知結合三角形內角平分線定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由橢圓定義可得|PF2|，得到a﹣c，從而得到e，再與橢圓離心率的范圍取交集得答案．【詳解】∵，∴，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，可得，由，∴橢圓離心率的范圍是．故答案為：本題考查橢圓的簡單性質，訓練了角平分線定理的應用及橢圓定義的應用，是中檔題．16、【解析】等腰直角翻折后是二面角的平面角，即，因此外接圓半徑為，四面體的外接球半徑等于，外接球的表面積為點睛：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、,.【解析】試題分析：首先根據拋物線的準線過雙曲線的焦點，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過，求出c、p的值，進而結合雙曲線的性質即可求解．試題解析：依題意，設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，∵點P在拋物線上，∴6＝2p×.∴p＝2，∴所求拋物線的方程為y2＝4x.∵雙曲線的左焦點在拋物線的準線x＝－1上，∴c＝1，即a2＋b2＝1.又點P在雙曲線上，∴，解方程組,得或(舍去)．∴所求雙曲線的方程為4x2－＝1.18、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不應該.【解析】

（1）根據相互獨立事件的概率公式計算出事故機器不超過臺的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其對應的概率，得出的分布列和數學期望；（ⅱ）求出有名維修工人時的工廠利潤，得出結論．【詳解】解：（1）因為該工廠只有名維修工人，故要使工廠正常運行，最多只有臺大型機器出現故障．∴該工廠正常運行的概率為：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列為：X3144P∴．（ⅱ）若工廠再招聘一名維修工人，則工廠一定能正常運行，工廠所獲利潤為萬元，因為，∴該廠不應該再招聘名維修工人．本題考查了相互獨立事件的概率計算，離散型隨機變量的分布列與數學期望計算，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）見解析【解析】

(1)由題可得表格，再計算，與6.635比較大小即可得到答案；（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，分別利用乘法原理計算對應概率，從而求得分布列和數學期望.【詳解】（1）2×2列聯表如下通過未通過總計甲校402060乙校203050總計6050110由算得，，所以有99%的把握認為學生的自主招生通過情況與所在學校有關（2）設A，B，C自主招生通過分別記為事件M，N，R，則∴隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.，所以隨機變量X的分布列為：X0123P本題主要考查獨立性檢驗統計案例，隨機變量的分布列和數學期望，意在考查學生的分析能力，轉化能力及計算能力，比較基礎.20、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據不等式的特征，分，，，構造，研究其單調性即可.（2）將當時，恒成立，轉化為時，恒成立，當時，顯然成立，當且時，轉化為，，利用（1）的結論求解.【詳解】（1）當時，原不等式左邊與右邊相等，當時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，當時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，綜上：當時，；（2）因為當時，恒成立，所以當時，恒成立，當時，顯然成立，當且時，恒成立，由（1）知當且時，，所以，所以.實數的取值范圍是.本題主要考查導數于函數的單調性研究不等式恒成立問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題