陜西省西安市藍田縣2025屆高二數學第二學期期末達標檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，隨機變量X，Y的分布列分別為X123Y123PP當X的數學期望取得最大值時，Y的數學期望為（）A．2 B． C． D．2．若復數為純虛數，則實數的值為（）A． B． C． D．3．已知復數滿足（為虛數單位），則（）A． B． C． D．4．設是定義在上的奇函數，且,當時，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪5．某地區一次聯考的數學成績近似地服從正態分布，已知，現隨機從這次考試的成績中抽取個樣本，則成績小于分的樣本個數大約為（）A． B． C． D．6．在中，內角，，所對的邊分別為，，.若，，則的面積為（）A．3 B． C． D．7．若直線把圓分成面積相等的兩部分，則當取得最大值時，坐標原點到直線的距離是（）A．4B．C．2D．8．已知函數，，若，，則的大小為（）A． B． C． D．9．獨立性檢驗中，假設:運動員受傷與不做熱身運動沒有關系.在上述假設成立的情況下，計算得的觀測值.下列結論正確的是A．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關B．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關C．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關D．在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動無關10．定義語句“”表示把正整數除以所得的余數賦值給，如表示7除以3的余數為1，若輸入，，則執行框圖后輸出的結果為（）A．6 B．4 C．2 D．111．已知函數的圖象關于點對稱，則在上的值域為（）A． B． C． D．12．設.若函數，的定義域是.則下列說法錯誤的是（）A．若，都是增函數，則函數為增函數B．若，都是減函數，則函數為減函數C．若，都是奇函數，則函數為奇函數D．若，都是偶函數，則函數為偶函數二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設復數，則_________________.14．數列{an}滿足，若{an}單調遞增，則首項a1的范圍是_____．15．某工廠生產甲、乙、丙、丁4類產品共計3000件已知甲、乙、丙、丁4類產品數量之比為1：2：4：現要用分層抽樣的方法從中抽取150件進行質量檢測，則乙類產品抽取的件數為______．16．總決賽采用7場4勝制，2018年總決賽兩支球隊分別為勇士和騎士，假設每場比賽勇士獲勝的概率為0.7，騎士獲勝的概率為0.3，且每場比賽的結果相互獨立，則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）進入春天，大氣流動性變好，空氣質量隨之提高，自然風光越來越美，自駕游鄉村游也就越來越熱．某旅游景區試圖探究車流量與景區接待能力的相關性，確保服務質量和游客安全，以便于確定是否對進入景區車輛實施限行．為此，該景區采集到過去一周內某時段車流量與接待能力指數的數據如表：時間周一周二周三周四周五周六周日車流量（x千輛）1099.510.51188.5接待能力指數y78767779807375（I）根據表中周一到周五的數據，求y關于x的線性回歸方程．（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2，則認為該線性回歸方程是可靠的．請根據周六和周日數據，判定所得的線性回歸方程是否可靠？附參考公式及參考數據：線性回歸方程，其中；18．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,,,,,分別是,的中點.（1）證明:;（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知定義在上的偶函數滿足：當時，.（1）求函數的解析式；（2）設函數，若對于任意的，都有成立，求實數的取值范圍.20．（12分）設函數.（1）當時，求的單調區間；（2）當時，恒成立，求的取值范圍；（3）求證：當時，.21．（12分）已知a，，點在矩陣對應的變換下得到點.（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的特征值和特征向量；（3）若向量，求.22．（10分）已知函數，.（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，若存在，使不等式成立，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用數學期望結合二次函數的性質求解X的期望的最值，然后求解Y的數學期望.【詳解】∵，∴當時，EX取得最大值，此時.故選：D本題主要考查數學期望和分布列的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.2、C【解析】試題分析：若復數為純虛數，則必有解得：，所以答案為C．考點：1．純虛數的定義；2．解方程．3、C【解析】

整理得到，根據模長的運算可求得結果.【詳解】由得：本題正確選項：本題考查向量模長的求解，屬于基礎題.4、B【解析】試題分析：因為當時，有恒成立，所以恒成立，所以在內單調遞減．因為,所以在內恒有；在內恒有．又因為是定義在上的奇函數，所以在內恒有；在內恒有．又因為不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故應選．考點：1、函數的基本性質；2、導數在研究函數的單調性中的應用．【思路點睛】本題主要考查了函數的基本性質和導數在研究函數的單調性中的應用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據商函數求導法則可知化為；然后利用導數的正負性可判斷函數在內的單調性；再由可得函數在內的正負性；最后結合奇函數的圖像特征可得，函數在內的正負性，即可得出所求的解集．5、A【解析】分析：根據正態分布的意義可得即可得出結論.詳解：由題可得：又對稱軸為85，故，故成績小于分的樣本個數大約為100x0.04=4故選A.點睛：本題考查正態曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題關鍵是要知道.6、C【解析】

通過余弦定理可得C角，再通過面積公式即得答案.【詳解】根據余弦定理，對比，可知，于是，根據面積公式得，故答案為C.本題主要考查余弦定理和面積公式的運用，比較基礎.7、D【解析】依題意可知直線過圓心，代入直線方程得，當且僅當時當好成立，此時原點到直線的距離為.8、C【解析】

對函數求導，確定函數的單調性，然后確定這三個數之間的大小關系，最后利用函數的單調性判斷出的大小關系.【詳解】，所以是上的增函數.，所以，故本題選C.本題考查了利用導數判斷出函數的單調性，然后判斷函數值大小關系.解決本題的重點是對指數式、對數式的比較，關鍵是對指數函數、對數函數的單調性的理解.9、A【解析】

先找到的臨界值，根據臨界值表找到犯錯誤的概率，即對“運動員受傷與不做熱身運動沒有關系”可下結論。【詳解】，因此，在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關，故選：A。本題考查獨立性檢驗，根據臨界值表找出犯錯誤的概率是解這類問題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題。10、C【解析】

模擬執行程序框圖，只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可得到輸出的的值.【詳解】第一次進入循環，因為56除以18的余數為2，所以，，，判斷不等于0，返回循環；第二次進入循環，因為18除以2的余數為0，所以，，，判斷等于0，跳出循環，輸出的值為2.故選C.本題主要考查程序框圖的循環結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區分程序框圖是條件分支結構還是循環結構；(3)注意區分當型循環結構和直到型循環結構；(4)處理循環結構的問題時一定要正確控制循環次數；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.11、D【解析】由題意得，函數的圖象關于點對稱，則，即，解得，所以，則，令，解得或，當，則，函數單調遞減，當，則，函數單調遞增，所以，，所以函數的值域為，故選D.點睛：本題考查了函數的基本性質的應用，其中解答中涉及到利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的最值，其中解答中根據函數的圖象關于點對稱，列出方程組，求的得值是解得關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力.12、C【解析】

根據題意得出，據此依次分析選項，綜合即可得出答案．【詳解】根據題意可知，，則，據此依次分析選項：對于A選項，若函數、都是增函數，可得圖象均為上升，則函數為增函數，A選項正確；對于B選項，若函數、都是減函數，可得它們的圖象都是下降的，則函數為減函數，B選項正確；對于C選項，若函數、都是奇函數，則函數不一定是奇函數，如，，可得函數不關于原點對稱，C選項錯誤；對于D選項，若函數、都是偶函數，可得它們的圖象都關于軸對稱，則函數為偶函數，D選項正確．故選C．本題考查分段函數的奇偶性與單調性的判定，解題時要理解題中函數的定義，考查判斷這些基本性質時，可以從定義出發來理解，也可以借助圖象來理解，考查分析問題的能力，屬于難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】解法一：由題意可得：.解法二：14、（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解析】

先表示出，結合{an}單調遞增可求首項a1的范圍.【詳解】因為，所以，解得或，則有或由于，所以或解得或，故答案為：.本題主要考查數列的單調性，數列的單調性一般通過相鄰兩項差的符號來確定，側重考查邏輯推理和數學運算的核心素養.15、【解析】

根據甲乙丙丁的數量之比，利用分層抽樣的定義即可得到結論．【詳解】解：甲、乙、丙、丁4類產品共計3000件，已知甲、乙、丙、丁4類產品的數量之比為1：2：4：8，用分層抽樣的方法從中抽取150件，則乙類產品抽取的件數為，故答案為：1．本題主要考查分層抽樣的定義和應用，熟練掌握分層抽樣的定義是解決問題的關鍵．16、0.3108【解析】分析：設“勇士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出勇士隊以比分4：1獲勝的概率．設“騎士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出騎士隊以比分4：1獲勝的概率．則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為.詳解：設“勇士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出勇士隊以比分4：1獲勝的概率．則設“騎士以比分4：1獲勝”為事件，“第場比賽取勝”記作事件，由能求出騎士隊以比分4：1獲勝的概率．則則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為即答案為0.3108.點睛：本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發生次的概率，同時考查了分析問題的能力和計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（Ⅱ）是可靠的，詳見解析【解析】

（I）根據表格中的數據，利用公式求得的值，即可求得回歸直線的方程.（Ⅱ）由（I）中的回歸直線的方程，分別代入和進行驗證，即可得到結論.【詳解】（I）由表中的數據，可得（10+9+9.5+10.5+11）＝10，（78+76+77+79+80）＝78，又由5，2.5，則，78﹣2×10＝1．所以y關于x的線性回歸方程為；（Ⅱ）當時，，滿足|74﹣73|＝1＜2，當時，，滿足|75﹣75|＝0＜2，所以是可靠的．本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸分析的應用，其中解答中認真審題，利用公式準確求解回歸直線方程是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)建立空間直角坐標系,設,從而確定與的坐標,通過求二者的數量積證明.(2)結合第一問,計算出直線的方向向量和平面的法向量,結合線面角余弦值和誘導公式即可求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:在底面內作,以點為坐標原點,、、的方向分別為、、軸建立空間直角坐標系,不妨設則,,,由可求得的坐標為利用中點坐標公式可求出,即(2)解:由第一問可知:.設平面的法向量為則,不妨設則,此時設直線與平面所成角為,則即直線與平面所成角的正弦值為.本題考查了空間幾何中的線線垂直的判定,考查了線面角的求解問題.解答此類問題時,一般情況下根據題意建立適當的空間坐標系,根據已知的垂直、平行、數量關系等條件,求出點的坐標,進而求出方向向量、法向量的坐標.易錯點在于對于直線和平面所成角的問題中,不少同學錯把求得的直線方向向量和平面法向量的夾角認為是所求角.19、（1）；（2）.【解析】

試題分析：（1）當時，，從而，再根據函數為偶函數可得在上的解析式，進而可得在上的解析式．（2）將問題轉化為處理．由于為偶函數，故只可求出當時的最小值即可，可得．又，由，得，即為所求．試題解析：（1）設，則，∴，∵定義在偶函數，∴∴．（2）由題意得“對任意，都有成立”等價于“”．又因為是定義在上的偶函數.所以在區間和區間上的值域相同.當時，.設，則令，則當時，函數取得最小值，所以．又由，解得，因此實數的取值范圍為.點睛：（1）利用偶函數的性質可求函數的解析式，對于偶函數的值域根據其對稱性只需求在y軸一側的值域即可，體現了轉化的思想在解題中的應用．（2）本題中，將“對任意，都有成立”轉化為“”來處理，是數學中常用的解題方法，這一點要好好體會和運用．（3）形如的函數的值域問題，可根據換元法轉化為二次函數的值域問題求解．20、（1）的單調遞減區間為；的單調遞增區間為；（2）；（3）見解析．【解析】【試題分析】（1）直接對函數求導得，借助導函數值的符號與函數單調性之間的關系求出其單調區間；（2）先將不等式中參數分離分離出來可得：，再構造函數，，求導得，借助，推得，從而在上單調遞減，，進而求得；（3）先將不等式等價轉化為，再構造函數，求導可得，由（2）知時，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調遞增，所以，因此時，有：解：（1））當時，則，令得，所以有即時，的單調遞減區間為；的單調遞增區間為.（2）由，分離參數可得：，設，，∴，又∵，∴，則在上單調遞減，∴，∴即的取值范圍為.（3）證明：等價于設，∴，由（2）知時，恒成立，所以，∴恒成立∴在上單調遞增，∴，因此時，有.點睛：解答本題的第一問時，先對函數求導得，借助導函數值的符號與函數單調性之間的關系求出其單調區間；求解第二問時，先將不等式中參數分離出來可得，再構造函數，，求導得，借助，推得，從而在上單調遞減，，進而求得；第三問的證明過程中，先將不等式等價轉化為，再構造函數，求導可得，由（2）知時，恒成立，所以，即恒成立，故在上單調遞增，所以，因此證得當時，不等式成立。21、（1）；（2）矩陣A的特征值為，3，分別對應的一個特征值為，；（3）【解析】

（1）直接利用矩陣的乘法運算即可；（2）利用特征多項式計算即可；（3）先計算出，再利用計算即可得到答案.【詳解】（1）由題意知，，則，解得.（2）由（1）知，矩陣A的特征多項式，令，得到A的特征值為，.將代入方程組，解得，所以矩陣A的屬于特征值的一個特征向量為.再將