四川省成都市經開區實驗中學2024-2025學年數學高二下期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．擲兩顆均勻的骰子，則點數之和為5的概率等于（）A． B． C． D．2．若,則下列結論正確的是()A． B． C． D．3．設集合，集合，則（）A． B． C． D．4．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積為，則的值為（）A． B． C． D．5．若，則“成等比數列”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知函數是定義在上的偶函數，其導函數為，若對任意的正實數，都有恒成立，且，則使成立的實數的集合為（）A． B．C． D．7．已知i為虛數單位，z，則復數z的虛部為（）A．﹣2i B．2i C．2 D．﹣28．若函數存在單調遞增區間，則實數的值可以為（）A． B． C． D．9．已知函數，則等于（）A．-1 B．0 C．1 D．10．已知函數存在零點,則實數的取值范圍是()A． B． C． D．11．把4個蘋果分給兩個人，每人至少一個，不同分法種數有()A．6 B．12 C．14 D．1612．若a=72-12，b=27A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于任意的實數,記為中的最小值.設函數，，函數,若在恰有一個零點,則實數的取值范圍是____________.14．設等差數列的前項和為，，，則取得最小值的值為________．15．參數方程（為參數，且）化為普通方程是_________；16．雙曲線的兩個焦點為，若為其右支上一點，且，則雙曲線離心率的取值范圍為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，R，矩陣的兩個特征向量，．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若，求．18．（12分）設.（1）當時，，求a的取值范圍；（2）若對任意，恒成立，求實數a的最小值.19．（12分）為了研究玉米品種對產量的，某農科院對一塊試驗田種植的一批玉米共10000株的生長情況進行研究，現采用分層抽樣方法抽取50株作為樣本，統計結果如下：高莖矮莖總計圓粒111930皺粒13720總計242650（1）現采用分層抽樣的方法，從該樣本所含的圓粒玉米中取出6株玉米，再從這6株玉米中隨機選出2株，求這2株之中既有高莖玉米又有矮莖玉米的概率；（2）根據玉米生長情況作出統計，是否有95%的把握認為玉米的圓粒與玉米的高莖有關？附：0.050.013.8416.63520．（12分）已知曲線的參數方程為，以原點為極點，以軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(1)寫出曲線的極坐標方程和直線的直角坐標方程；(2)若射線與曲線交于兩點，與直線交于點，射線與曲線交于兩點，求的面積.21．（12分）如圖，在中，D是邊BC上一點，，，．（1）求DC的長；（2）若，求的面積．22．（10分）如圖所示，三棱錐中，平面，，，為上一點，，，分別為，的中點.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

試題分析：擲兩顆均勻的骰子，共有36種基本事件，點數之和為5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）這四種，因此所求概率為，選B．考點：概率問題2、C【解析】

先用作為分段點，找到小于和大于的數.然后利用次方的方法比較大小.【詳解】易得，而，故，所以本小題選C.本小題主要考查指數式和對數式比較大小，考查指數函數和對數函數的性質，屬于基礎題.3、C【解析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集運算可得到解。詳解：解絕對值不等式，得；由對數函數的真數大于0，得根據集合的運算得所以選C點睛：本題考查了解絕對值不等式，對數函數的定義域，集合的基本運算，是基礎題。4、A【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數據求解幾何體的體積即可．【詳解】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖：是一個三棱錐和一個三棱柱的組合體，底面都是的等腰直角三角形，高為，所以體積為：，解得．故選A．本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，屬于簡單題．5、B【解析】分析：根據等比數列的定義和等比數列的性質，即可判定得到結論．詳解：由題意得，例如，此時構成等比數列，而不成立，反之當時，若，則，所以構成等比數列，所以當時，構成等比數列是構成的等比數列的必要不充分條件，故選B．點睛：本題主要考查了等比數列的定義和等比數列的性質，其中熟記等比數列的性質和等比數列的定義的應用是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力．6、B【解析】

抽象函數解不等式考慮用函數的單調性，構造函數，可得為偶函數，且在在上為增函數，將不等式化為，即可求解.【詳解】令，易知函數為偶函數，當時，，所以在上為增函數，所以，即，所以，解之得.故選:B.本題考查抽象函數不等式，利用函數的單調性將不等式等價轉換，解題的關鍵構造函數，構造函數通常從已知條件不等式或所求不等式結構特征入手，屬于中檔題.7、C【解析】

根據復數的運算法則，化簡得，即可得到復數的虛部，得到答案.【詳解】由題意，復數，所以復數的虛部為，故選C.本題主要考查了復數的概念，以及復數的除法運算，其中解答中熟記復數的運算法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、D【解析】

根據題意可知有解,再根據二次函數的性質分析即可.【詳解】由題,若函數存在單調遞增區間,則有解.當時顯然有解.當時,,解得.因為四個選項中僅.故選：D本題主要考查了利用導數分析函數單調區間的問題,需要判斷出導數大于0有解,利用二次函數的判別式進行求解.屬于中檔題.9、B【解析】

先求，再求.【詳解】由已知，得：所以故選：B本題考查了分段函數求值，屬于基礎題.10、D【解析】

函數的零點就是方程的根，根據存在零點與方程根的關系，轉化為兩個函數交點問題，數形結合得到不等式，解得即可．【詳解】函數存在零點，等價于方程有解，即有解，令，則，方程等價于與有交點，函數恒過定點（0,0），當時，與圖象恒有交點，排除A，B，C選項；又當時，恰好滿足時，，此時與圖象恒有交點，符合題意；故選：D.本題考查函數的零點與方程根的關系，此類問題通常將零點問題轉化成函數交點問題，利用數形結合思想、分類討論思想，求參數的范圍，屬于較難題.11、C【解析】

給兩個人命名為甲、乙，根據甲分的蘋果數進行分類即可求出．【詳解】按照分給甲的蘋果數，有種分法，故選C．本題主要考查分類加法計數原理的應用．12、D【解析】

利用指數函數對數函數的單調性，利用指數對數函數的運算比較得解.【詳解】因為27-1故選：D本題主要考查指數函數對數函數的單調性的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】分析：函數可以看做由函數向上或向下平移得到，在同一個坐標系中畫出和圖象即可分析出來詳解：如圖，設，所以函數可以看做由函數向上或向下平移得到其中在上當有最小值所以要使得,若在恰有一個零點,滿足或所以或點睛：函數問題是高考中的熱點，也是難點，函數零點問題在選擇題或者填空題中往往要數形結合分析比較容易，要能夠根據函數變化熟練畫出常見函數圖象，對于不常見簡單函數圖象要能夠利用導數分析出其圖象，數形結合分析.14、2【解析】

求出數列的首項和公差，求出的表達式，然后利用基本不等式求出的最小值并求出等號成立時的值，于此可得出答案．【詳解】設等等差數列的公差為，則，解得，所以，，所以，，等號成立，當且僅當時，等號成立，但，由雙勾函數的單調性可知，當或時，取最小值，當時，；當時，，，因此，當時，取最小值，故答案為．本題考查等差數列的求和公式，考查基本不等式與雙勾函數求最值，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”這三個條件，在等號不成立時，則應考查雙勾函數的單調性求解，考查分析能力與計算能力，屬于中等題．15、【解析】

利用消去參數可得普通方程。【詳解】由題意，即，又，∴所求普通方程為。故答案為：。本題考查參數方程化為普通方程，應用消元法可得，但要注意變量的取值范圍，否則會出錯。16、【解析】

設P點的橫坐標為x，根據|PF1|=2|PF2|，P在雙曲線右支（x≥a），利用雙曲線的第二定義，可得x關于e的表達式，進而根據x的范圍確定e的范圍．【詳解】∵,P在雙曲線右支(x?a)根據雙曲線的第二定義,可得，∴ex=3a∵x?a，∴ex?ea∴3a?ea，∴e?3∵e>1，∴1<e?3故答案為：.本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據圓錐曲線的統一定義求解．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由矩陣的特征向量求法，解方程可得，再由矩陣的逆矩陣可得所求；（2）求得，再由矩陣的多次變換，可得所求.【詳解】解：（1）設矩陣的特征向量對應的特征值為，特征向量對應的特征值為，則，則．（2）因，所以．本題考查矩陣的特征值和特征向量，考查矩陣的逆矩陣，以及矩陣的變換，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1），（2）的最小值為【解析】試題分析：（1）的取值范圍是；（2），當且僅當時取等號的最小值為.試題解析：（1），即依題意：由此得a的取值范圍是（2）當且僅當時取等號解不等式得.故實數a的最小值為.考點：不等式選講．19、（1）；（2）有的把握認為玉米的圓粒與玉米的高莖有關．【解析】

（1）采用分層抽樣的方式，從樣本中取出的6株玉米隨機選出2株中包含高桿的2株，矮桿的4株，故可求這2株之中既有高桿玉米又有矮桿玉米的概率；（2）帶入公式計算值，和臨界值表對比后即可得答案．【詳解】（1）依題意，取出的6株圓粒玉米中含高莖2株，記為，；矮莖4株，記為，，，；從中隨機選取2株的情況有如下15種：，，，，，，，，，，，，，，．其中滿足題意的共有，，，，，，，，共8種，則所求概率為．（2）根據已知列聯表：高莖矮莖合計圓粒111930皺粒13720合計242650得，又，有的把握認為玉米的圓粒與玉米的高莖有關．本題主要考查古典概型的概率和獨立性檢驗，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）；（2）【解析】

（1）首先根據曲線的參數方程先化為直角坐標方程，再把直接直角坐標方程化為極坐標方程．根據即可把直線化為直角坐標方程．（2）把射線帶入曲線和直線的極坐標方程得出點的坐標，把射線帶入曲線的極坐標得出點的坐標．根據即可求出面積．【詳解】（1）因為曲線的參數方程為所以所以曲線的極坐標方程為：又直線的極坐標方程為所以直線的直角坐標系方程為綜上所述：（2）由（1）知曲線的極坐標方程為所以聯立射線與曲線及直線的極坐標方程可得所以聯立射線與曲線的極坐標方程可得所以所以本題主要考查了參數方程、直角坐標方程、極坐標方程直接的互化，主要掌握．屬于基礎題．21、（1）3（2）【解析】

（1）在中，中分別使用正弦定理，結合，，即，即得解；（2）在中，中分別使用余弦定理，結合，可解得，分別計算，又可得解.【詳解】（1）在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．因為，所以，所以．從而有，即．又，所以．（2）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．由，得．因為，所以．故有．解得．又，所以，．；．故的面積．本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.22、(1)見解析；（2）見解析.【解析】分析：由PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN，我們不妨令PA=1，然后以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系．由此不難得到各點的坐標（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明即可，根據向量數量積的運算，我們不難證明；（2）要求平面與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出平面與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關系，易求出平面與平面CMN所成角的大小．詳解：設PA＝1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系(如圖)．則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又AN＝AB，M、S分別為PB、BC的中點，∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，(1)＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，∴·＝(