天津市靜海區獨流中學四校聯考2024-2025學年數學高二下期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙、丙3位同學選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有（）A．36種 B．48種 C．96種 D．192種2．定義在上的函數滿足為自然對數的底數），其中為的導函數，若，則的解集為（）A． B． C． D．3．下列關于獨立性檢驗的敘述：①常用等高條形圖展示列聯表數據的頻率特征；②獨立性檢驗依據小概率原理；③樣本不同，獨立性檢驗的結論可能有差異；④對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，與有關系的把握程度就越大.其中正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有（）A．72種 B．48種 C．24種 D．12種5．已知,是離心率為的雙曲線上關于原點對稱的兩點，是雙曲線上的動點，且直線的斜率分別為，，，則的取值范圍為（）A． B．C． D．)6．設，則的大小關系是A． B． C． D．7．若，則（）A． B．1 C．0 D．8．已知10個產品中有3個次品，現從其中抽出若干個產品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應抽出的產品個數為（）A．7 B．8 C．9 D．109．在數列中，若，，則（）A．108 B．54 C．36 D．1810．對于實數，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如.如圖程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的《中國剩余定理》.執行該程序框圖，則輸出的等于()A．4 B．8 C．16 D．3212．已知函數（為自然對數的底數），，若對于任意的，總存在，使得成立，則實數的取值范圍為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數的虛部是______.14．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸建立極坐標系，若曲線的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程為___.15．的展開式中，的系數是___．（用數字填寫答案）16．已知函數fx=x?lnx，且0<x1<x2，給出下列命題：①fx1-f三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列的前n項和，．（1）求數列的通項公式；（2）設，，求數列的前n項和．18．（12分）近年來，空氣質量成為人們越來越關注的話題，空氣質量指數（，簡稱）是定量描述空氣質量狀況的指數.環保部門記錄了某地區7天的空氣質量指數，其中，有4天空氣質量為優，有2天空氣質量為良，有1天空氣質量為輕度污染.現工作人員從這7天中隨機抽取3天進行某項研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空氣質量為良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空氣質量為優的天數，求隨機變量的分布列和數學期望.19．（12分）某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：，，，，，，后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數的值；（2）若該校高一年級共有學生1000人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數．（3）若從樣本中數學成績在，與，兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，試用列舉法求這2名學生的數學成績之差的絕對值大于10的槪率．20．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB//CD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點.（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）若a=2，求二面角P-AC-E的余弦值.21．（12分）某種兒童型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半球和一個圓柱組成，（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區域是矩形，其外周長為毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體積和一個半球體積之和.假設的長為毫米.（注：，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求容器中防蚊液的體積關于的函數關系式；（2）如何設計與的長度，使得最大？22．（10分）已知函數.（1）設是的極值點，求的單調區間；（2）當時，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：設4門課程分別為1，2，3，4，甲選修2門，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6種情況，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4種情況，∴不同的選修方案共有6×4×4=96種，故選C．考點：分步計數原理點評：本題需注意方案不分次序，即a，b和b，a是同一種方案，用列舉法找到相應的組合即可．2、C【解析】

由，以及，聯想到構造函數，所以等價為，通過導數求的單調性，由單調性定義即可得出結果?！驹斀狻吭O，等價為，，故在上單調遞減，所以，解得，故選C。本題主要考查利用導數研究函數的單調性的問題，利用單調性定義解不等式，如何構造函數是解題關鍵，意在考查學生數學建模能力。3、C【解析】分析：根據獨立性檢驗的定義及思想，可得結論．詳解：①常用等高條形圖展示列聯表數據的頻率特征；正確；②獨立性檢驗依據小概率原理；正確；③樣本不同，獨立性檢驗的結論可能有差異；正確；④對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越大，與有關系的把握程度就越大.故④錯誤.故選C.點睛：本題考查了獨立性檢驗的原理，考查了推理能力，屬于基礎題．4、A【解析】試題分析：先涂A的話，有4種選擇，若選擇了一種，則B有3種，而為了讓C與AB都不一樣，則C有2種，再涂D的話，只要與C涂不一樣的就可以，也就是D有3種，所以一共有4x3x2x3=72種，故選A．考點：本題主要考查分步計數原理的應用．點評：從某一區域涂起，按要求“要求相鄰的矩形涂色不同”，分步完成．5、B【解析】

因為M,N關于原點對稱，所以設其坐標，然后再設P坐標，將表示出來.做差得，即有，最后得到關于的函數，求得值域.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以有，故雙曲線方程即為.設M,N,P的坐標分別是,則，并且做差得，即有，于是有因為的取值范圍是全體實數集，所以或，即的取值范圍是，故選B.本題考查雙曲線的性質，有一定的綜合性和難度.6、A【解析】試題分析：，，即，，．考點：函數的比較大小．7、D【解析】分析：根據題意求各項系數和，直接賦值法令x=-1代入即可得到.詳解：已知，根據二項式展開式的通項得到第r+1項是，故當r為奇數時，該項系數為負，故原式令x=-1代入即可得到.故答案為D.點睛：這個題目考查了二項式中系數和的問題，二項式主要考查兩種題型，一是考查系數和問題；二是考查特定項系數問題；在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數還是系數，還要注意在求系數和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等.8、C【解析】

根據題意，設至少應抽出個產品，由題設條件建立不等式，由此能求出結果.【詳解】解：要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，設至少抽出個產品，則基本事件總數為，要使這3個次品全部被抽出的基本事件個數為，由題設知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因為求的最小值，所以.故選：C.本題考查概率的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理的進行等價轉化.9、B【解析】

通過，可以知道數列是公比為3的等比數列，根據等比數列的通項公式可以求出的值.【詳解】因為，所以數列是公比為的等比數列，因此，故本題選B.本題考查了等比數列的概念、以及求等比數列某項的問題，考查了數學運算能力.10、A【解析】

先判斷和成立的條件，然后根據充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【詳解】成立時，需要；成立時，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對數的真數大于零這個知識點是解題的關鍵.11、C【解析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不滿足模3余2.i=4,n=17,滿足模3余2,不滿足模5余1.i=8,n=25,不滿足模3余2,i=16,n=41,滿足模3余2,滿足模5余1.輸出i=16.選C．12、A【解析】，在區間上為增函數，在區間上為減函數.，，又，則函數在區間上的值域為.當時，函數在區間上的值域為.依題意有，則有，得.當時，函數在區間上的值域為，不符合題意.當時，函數在區間上的值域為.依題意有，則有，得.綜合有實數的取值范圍為.選A.點睛：利用導數研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用錯位相消法可以化簡式子,最后求出它的虛部.【詳解】令,,得,,.故答案為：本題考查了錯位相消法,考查了等比數列的前項和公式,考查了乘方運算的性質,考查了數學運算能力.14、【解析】

轉化為，由于，即可得解.【詳解】又由于即故答案為：本題考查了極坐標和直角坐標的互化，考查了學生概念理解，轉化劃歸的能力，屬于基礎題.15、28【解析】分析：由題意知本題要求二項式定理展開式的一個項的系數，先寫出二項式的通項，使得變量x的指數等于5，解出r的值，把r的值代入通項得到這一項的系數．詳解：要求x5的系數，

∴8-=5，

∴r=2，

∴x5的系數是（-1）2C82=28，

故答案為28點睛：本題是一個典型的二項式問題，主要考查二項式的通項，注意二項式系數和項的系數之間的關系，這是容易出錯的地方，本題考查展開式的通項式，這是解題的關鍵．16、②③【解析】

根據每一個問題構造相應的函數，利用導數研究函數的單調性，進而判斷命題正誤.【詳解】∵f當0<x<1e時，f'(x)<0，當x>1e時，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，則g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)單調遞增，當x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③當lnx>-1時，則x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，則∴x∈(0,1e2)時，h'設x1,x2∈(0,∴x證明函數不等式問題，經常與函數性質中的單調性有關.解決問題的關鍵在于構造什么樣函數？三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）將代入可求得.根據通項公式與前項和的關系,可得數列為等比數列,由等比數列的通項公式即可求得數列的通項公式.（2）由（1）可得數列的通項公式,代入中,結合裂項法求和即可得前n項和.【詳解】（1）當時,由得；當時,由得是首項為3,公比為3的等比數列當,滿足此式所以（2）由（1）可知,本題考查了通項公式與前項和的關系,裂項法求和的應用,屬于基礎題.18、（I）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）可先計算對立事件“抽取的3天空氣質量都不為良”的概率，再利用相關公式即得答案；（Ⅱ）找出隨機變量的所有可能取值，分別計算相關概率，從而列出分布列計算數學期望.【詳解】（Ⅰ）解：設事件為“抽取的3天中至少有一天空氣質量為良”，事件的對立事件為“抽取的3天空氣質量都不為良”，從7天中隨機抽取3天共有種不同的選法，抽取的3天空氣質量都不為良共有種不同的選法，則,所以，事件發生的概率為.（Ⅱ）解：隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3.，所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數學期望.本題主要考查對立事件的相關概念與計算，超幾何分布的分布列與數學期望，意在考查學生的分析能力，邏輯推理能力和計算能力.19、（1）a=0.1．（2）850（人）．（3）．【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖的性質能求出的值；（2）先求出數學成績不低于分的概率，由此能求出數學成績不低于分的人數；（3）數學成績在的學生為分，數學成績在的學生人數為人，由此利用列舉法能求出這名學生的數學成績之差的絕對值大于的概率．試題解析：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.1.（2）數學成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數學成績不低于60分的人數為：1000×0.85=850（人）．（3）數學成績在[40，50）的學生為40×0.05=2（人），數學成績在[90，100]的學生人數為40×0.1=4（人），設數學成績在[40，50）的學生為A，B，數學成績在[90，100]的學生為a，b，c，d，從樣本中數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學生的數學成績之差的絕對值大于10的情況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學生的數學成績之差的絕對值大于10的槪率為．考點：頻率分布直方圖；古典概型及其概率的求解．20、(1)證明見解析.（2）63【解析】試題分析：（1）在直角梯形ABCD中利用勾股定理證明AC⊥BC，而PC⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC；（2）取AB中點F，以C為原點，CF,CD,CP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用平面PAC,EAC的法向量，求解得二面角的余弦值為63試題解析：（1）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=4,∴BC=22+(4-2)2=22EAC,∴平面EAC⊥平面PBC.（2）取AB中點