上海金山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某市委積極響應(yīng)十九大報(bào)告提出的“到2020年全面建成小康社會”的目標(biāo)，鼓勵各縣積極脫貧，計(jì)劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個(gè)貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現(xiàn)突出，B縣有3人表現(xiàn)突出，現(xiàn)分別從A，B兩個(gè)縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是（）A． B． C． D．2．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學(xué)生分別擔(dān)任班長、副班長、團(tuán)支部書記和體育班委.男生當(dāng)選的人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．3．設(shè)集合，，則A． B． C． D．4．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則()A．-1 B． C． D．15．已知函數(shù)f（x）對任意的實(shí)數(shù)x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．36．動點(diǎn)在圓上移動時(shí)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A． B．C． D．7．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．8．拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上任意一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．對33000分解質(zhì)因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．72 C．64 D．9611．在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線12．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出與銷售額（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表，由此得到與的線性回歸方程為，由此可得：當(dāng)廣告支出5萬元時(shí)，隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為（）245683040605070A．-10 B．0 C．10 D．20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.14．的展開式中的系數(shù)為______.15．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中能被5整除的數(shù)共有______個(gè)．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，若，，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一條隧道的橫斷面由拋物線弧及一個(gè)矩形的三邊圍成，尺寸如圖所示單位：，一輛卡車空車時(shí)能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高，此車是否能通過隧道？并說明理由．18．（12分）（1）已知，都是正數(shù)，并且，求證：；（2）若，都是正實(shí)數(shù)，且，求證：與中至少有一個(gè)成立.19．（12分）一個(gè)盒子里裝有個(gè)均勻的紅球和個(gè)均勻的白球，每個(gè)球被取到的概率相等，已知從盒子里一次隨機(jī)取出1個(gè)球，取到的球是紅球的概率為，從盒子里一次隨機(jī)取出2個(gè)球，取到的球至少有1個(gè)是白球的概率為.（1）求，的值；（2）若一次從盒子里隨機(jī)取出3個(gè)球，求取到的白球個(gè)數(shù)不小于紅球個(gè)數(shù)的概率.20．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，對于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求f（0）；（2）證明f（x）是奇函數(shù)；（3）解不等式12f（x2）—f（x）＞121．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的最小值為8，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）＝|f（x）|+f（x）﹣16有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由古典概型及其概率計(jì)算公式得：有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是，得解．【詳解】由已知有分別從，兩個(gè)縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現(xiàn)突出，且縣選取的人表現(xiàn)不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選：B．本題考查條件概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意與古典概率模型的聯(lián)系.2、C【解析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學(xué)期望.詳解：由題得所以故答案為：C點(diǎn)睛：（1）本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望3、C【解析】由，得：∴；∵，∴∴故選C4、B【解析】分析：求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得，即可得到答案.詳解：的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，有，解得.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，求切線的斜率，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.5、B【解析】

分析可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此可得，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)均有，即，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，故選B．本題主要考查了函數(shù)的周期的判定及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件，求得函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

設(shè)連線的中點(diǎn)為,再表示出動點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓化簡即可.【詳解】設(shè)連線的中點(diǎn)為,則因?yàn)閯狱c(diǎn)與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為,故,又在圓上,故,即即故選：B本題主要考查了軌跡方程的一般方法,屬于基礎(chǔ)題型.7、B【解析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積計(jì)算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．先由得出向量的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角．【詳解】因?yàn)椋?0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．對向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為．8、B【解析】

分析：設(shè)，則，由利用韋達(dá)定理求解即可.詳解：設(shè)，的焦點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線為，，，，，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式、平面向量的運(yùn)算、直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化與劃歸思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.9、C【解析】當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，無解，不符合題意，故排除兩個(gè)選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，畫圖函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，或，解得不符合題意，故排除選項(xiàng)，選.點(diǎn)睛：本題主要考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查復(fù)合函數(shù)的研究方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查零點(diǎn)問題題.題目所給的分段函數(shù)當(dāng)時(shí)，圖像是確定的，當(dāng)時(shí)，圖像是含有參數(shù)的，所以要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.在分類討論的過程中，圍繞的解的個(gè)數(shù)來進(jìn)行.10、A【解析】分析：分的因數(shù)由若干個(gè)、若干個(gè)、若干個(gè)、若干個(gè)相乘得到，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可得所有因數(shù)個(gè)數(shù)，減去不含的因數(shù)個(gè)數(shù)即可得結(jié)果.詳解：的因數(shù)由若干個(gè)（共有四種情況），若干個(gè)（共有兩種情況），若干個(gè)（共有四種情況），若干個(gè)（共有兩種情況），由分步計(jì)數(shù)乘法原理可得的因數(shù)共有，不含的共有，正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)，即的正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理合的應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.11、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B本題考查利用空間向量研究兩條直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.12、C【解析】

由已知求得的值，得到，求得線性回歸方程，令求得的值，由此可求解結(jié)論.【詳解】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，所以，所以，取，得，所以隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為，故選C.本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及殘差的求法，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由雙曲線可知a>0，且焦點(diǎn)在x軸上，根據(jù)題意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故實(shí)數(shù)a＝1.點(diǎn)睛：如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解)．14、56【解析】

利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可容易求得結(jié)果.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.令，解得，故其系數(shù)為.故答案為：.本題考查利用二項(xiàng)式通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.15、216【解析】

分個(gè)位是0或者5兩種情況利用排列知識討論得解.【詳解】當(dāng)個(gè)位是0時(shí)，前面四位有種排法，此時(shí)共有120個(gè)五位數(shù)滿足題意；當(dāng)個(gè)位是5時(shí)，首位不能是0，所以首位有4種排法，中間三位有種排法，所以此時(shí)共有個(gè)五位數(shù)滿足題意.所以滿足題意的五位數(shù)共有個(gè).故答案為：216本題主要考查排列組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.16、-14【解析】分析：由，即利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即可得出結(jié)論．詳解：由由，即．

∴數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為-5，公差為1．可得：，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．

已知，

則最小值為即答案為-14.點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】

建立直角坐標(biāo)系，得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)拋物線方程為，并求得其方程，依題意，集裝箱上表面距拋物線型隧道拱頂，從而設(shè)拋物線上點(diǎn)D的坐標(biāo)為，計(jì)算即可判斷．【詳解】以拋物線的上頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，則，．設(shè)拋物線方程為，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，．拋物線方程為．車與箱共高集裝箱上表面距拋物線型隧道拱頂．設(shè)拋物線上點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則，，，故此車不能通過隧道．本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，求得拋物線方程是關(guān)鍵，考查分析推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用綜合法，將兩式做差，化簡整理，即可證明（2）利用反證法，先假設(shè)原命題不成立，再推理證明，得出矛盾，即得原命題成立。【詳解】（1）因?yàn)椋际钦龜?shù)，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假設(shè)和都不成立，即和同時(shí)成立.且，，.兩式相加得，即.此與已知條件相矛盾，和中至少有一個(gè)成立.本題主要考查綜合法和反證法證明，其中用反證法證明時(shí)，要從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，得出矛盾，即假設(shè)不成立，原命題成立，進(jìn)而得證。19、（1），（2）【解析】

（1）設(shè)該盒子里有紅球個(gè)，白球個(gè)，利用古典概型、對立事件概率計(jì)算公式列出方程組，能求出，．（2）“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)不少于紅球個(gè)數(shù)”分為“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)為3個(gè)”和“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)為2個(gè)，紅球數(shù)為1個(gè)”，由此能求出取到的白球個(gè)數(shù)不小于紅球個(gè)數(shù)的概率．【詳解】解：（1）設(shè)該盒子里有紅球個(gè)，白球個(gè).根據(jù)題意得，解方程組得，，故紅球有4個(gè)，白球有8個(gè).（2）設(shè)“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)不少于紅球個(gè)數(shù)”為事件.設(shè)“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)為3個(gè)”為事件，則設(shè)“一次從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)為2個(gè)，紅球個(gè)數(shù)為1個(gè)”為事件，則，故.因此，從盒子里任取3個(gè)球，取到的白球個(gè)數(shù)不少于紅球個(gè)數(shù)的概率為.本題考查實(shí)數(shù)值、概率的求法，考查古典概型、對立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查理解能力、運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．20、（1）0；（2）見解析；（3）{x|x<0或x>5}【解析】

試題分析：（1）利用已知條件通過x=y=0，直接求f（0）；（2）通過函數(shù)的奇偶性的定義，直接證明f（x）是奇函數(shù)；（3）利用已知條件轉(zhuǎn)化不等式．通過函數(shù)的單調(diào)性直接求解不等12試題解析：（1）令x=y=0，得f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱y=-x，得f(x)+f(-x)=f(0)=0，∴f(-x)=f(x)∴f(x)是奇函數(shù)12f(即f又由已知得：f(2x)=2f由函數(shù)f（x∴不等式的解集{x|x<0或x>5}．考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的判斷；其他不等式的解法．【方法點(diǎn)睛】解決抽象函數(shù)問題常用方法：1．換元法：換元法包括顯性換元法和隱性換元法，它是解答抽象函數(shù)問題的基本方法；2．方程組法：運(yùn)用方程組通過消參、消元的途徑也可以解決有關(guān)抽象函數(shù)的問題；3．待定系數(shù)法：如果抽象函數(shù)的類型是確定的，則可用待定系數(shù)法來解答有關(guān)抽象函數(shù)的問題；4．賦值法：有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的，可通過賦特殊值法使問題得以解決；5．轉(zhuǎn)化法：通過變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系，為問題的解決帶來極大的方便；6．遞推法：對于定義在正整數(shù)集N*上的抽象函數(shù)，用遞推法來探究，如果給出的關(guān)系式具有遞推性，也常用遞推法來求解；7．模型法：模型法是指通過對題目的特征進(jìn)行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導(dǎo)我們解決抽象函數(shù)問題的方法；應(yīng)掌握下面常見的特殊模型：21、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)進(jìn)行分類討論求解；（Ⅱ）先求的零點(diǎn)，結(jié)合二次方程根的分布情況可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）函數(shù)，令，易知t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），則h（t）＝t2﹣2