第8講正切函數圖像及其性質知識梳理1、正切函數的圖像：可選擇的區間作出它的圖像，通過單位圓和正切線，類比正、余弦函數圖像的畫法作出正切函數的圖像xyyxyy0x根據正切函數的周期性，把上述圖像向左、右擴展，得到正切函數，且的圖像，稱“正切曲線”.由正弦函數圖像可知：（1）定義域：，（2）值域：觀察：當從小于，時，當從大于，時，.周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函數（5）單調性：在開區間內，函數單調遞增.（6）中心對稱點：2、余切函數的圖象：即將的圖象，向左平移個單位，再以x軸為對稱軸上下翻折，即得的圖象由余弦函數圖像可知：（1）定義域：，（2）值域：（3）周期性：（4）奇偶性：，所以是奇函數（5）單調性：在開區間內，函數單調遞增.（6）中心對稱點：例題解析一、正切函數的圖像例1．（2020·全國高一課時練習）設函數.（1）求函數f(x)的最小正周期?對稱中心；（2）作出函數f(x)在一個周期內的簡圖.【答案】（1）最小正周期，對稱中心是；（2）答案見解析.【分析】（1）首先根據正切函數的周期公式即可得到函數的周期，再根據正切函數的對稱中心即可得到函數的對稱中心.（2）根據函數的解析式得到的圖象與軸的交點坐標為，圖象上的、兩點，再找到兩側相鄰的漸近線方程，畫出函數的圖象即可.【詳解】（1），，令，，解得，，故對稱中心為.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數的圖象與軸的一個交點坐標為，圖象上的點有、兩點，在這個周期內左右兩側相鄰的漸近線方程分別為和，從而得到函數在一個周期內的簡圖(如圖).【點睛】本題主要考查正切函數的周期和對稱中心，同時考查了正切函數的圖象，關鍵點是找出圖象上的點用描點法畫圖象，屬于中檔題.例2．（2020·全國高一課時練習）已知函數．（1）求函數的定義域；（2）用定義判斷函數的奇偶性；（3）在上作出函數的圖象．【答案】（1）；（2）奇函數,見解析；(3)見解析【分析】（1）根據,求解即可；（2）由（1）可知的定義域關于原點對稱,判定和的關系,從而判定奇偶性；（3）將寫為分段函數,畫出圖象即可【詳解】（1）由,得（）,所以函數的定義域是.（2）由（1）知函數的定義域關于原點對稱,因為,所以是奇函數.（3）,所以在上的圖象如圖所示,【點睛】本題考查函數定義域,考查奇偶性的判斷,考查函數圖象.例3.作函數的圖像.【難度】★★【答案】如圖【解析】等價于，圖像如圖所示．例4.求函數的定義域、周期、單調增區間，并畫草圖．【難度】★★★【答案】定義域：，周期：，單調增區間：例5.根據正切函數圖象，寫出滿足下列條件的的范圍.（1）（2）（3）（4）【難度】★【答案】（1）,（2）（3）,（4）例6.根據正切函數圖像，寫出使下列不等式成立的值的集合：（1）（2）【難度】★★【答案】（1）（2）例7.比較下列兩數的大小（1）與（2）與（3）與【難度】★【答案】（1）（2）（3）例8.函數與的圖像在上的交點有（）個個個個【難度】★★【答案】【鞏固訓練】1．作出函數的圖象.【難度】★★【答案】如圖2．利用圖像，不等式的解集為____________.【難度】★★【答案】3．比較與的大小【難度】★【答案】，，內單調遞增.4．若，試比較，并按從小到大的順序排列：_________.【難度】★★【答案】5.（2020·全國高一課時練習）設函數.（1）求函數f(x)的最小正周期，對稱中心；（2）作出函數在一個周期內的簡圖．【答案】（1），；（2）圖象見解析【分析】（1）首先根據正切函數的周期公式即可得到函數的周期，再根據正切函數的對稱中心即可得到函數的對稱中心.（2）首先根據函數的解析式得到數的圖象與軸的一個交點坐標為，在這個交點左右兩側相鄰的漸近線方程分別為和，再畫出函數的圖象即可.【詳解】（1），.令，，解得，，故對稱中心為.（2）令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數的圖象與軸的一個交點坐標為，在這個交點左右兩側相鄰的漸近線方程分別為和.故函數在一個周期內的函數圖象為：【點睛】本題主要考查正切函數的周期和對稱中心，同時考查了正切函數的圖象，屬于中檔題.二、正切函數的定義域及值域 1、正切函數的定義域例1.求下列函數的定義域（1）（2）（3）（4）【難度】★【答案】（1）（2）（3）（4）例2．（2019·寶山區·上海交大附中高一期末）下列四個函數中，與函數完全相同的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷函數的定義域是否相同，再通過化簡判斷對應關系是否相同，從而判斷出與相同的函數.【詳解】的定義域為，A.，因為，所以，定義域為或，與定義域不相同；B.，因為，所以，所以定義域為，與定義域不相同；C.，因為，所以定義域為，又因為，所以與相同；D.，因為，所以，定義域為，與定義域不相同.故選：C.【點睛】本題考查與三角函數有關的相同函數的判斷，難度一般.判斷相同函數時，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時再去判斷對應關系是否相同（函數化簡），結合定義域與對應關系即可判斷出是否是相同函數.例3．（2019·上海市大同中學高一期中）函數的定義域是________【答案】【分析】解不等式即得解.【詳解】由題得所以x∈.故函數的定義域為故答案為【點睛】本題主要考查函數定義域的求法，考查反三角函數和正切函數的定義域，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.例4．（2017·上海楊浦區·復旦附中高一期中）已知函數，則的定義域是____.【答案】【分析】由意義得出，解出該不等式組即可得出函數的定義域.【詳解】函數，，，，因此，函數的定義域為.故答案為：.【點睛】本題考查函數定義域的求解，同時也涉及了正切不等式的求解，考查運算求解能力，屬于中等題.例5.求函數的定義域．【難度】★★【答案】【解析】由此不等式組作圖：∴【鞏固訓練】1．函數的定義域為__________【難度】★【答案】2．與函數的圖象不相交的一條直線是（）【難度】★【答案】3．求下列函數的定義域(1)；(2)．【難度】★★★【答案】見解析解：等價轉化為求一個不等式組的解(1)(2)．注：轉化過程中要注意必須是等價轉換，才能保證結果既不擴大也不縮小．在求條件組的解時，常會求角集得交集，可以畫數軸，用單位圓或函數的圖像，應熟練掌握這種技能．2、正切函數的值域與最值例1．（2016·上海浦東新區·華師大二附中高一期中）設函數，關于的性質，下列說法正確的是_________.①定義域是；②值域是；③最小正周期是；④是奇函數；⑤在定義域上單調遞增.【答案】③④【分析】先求定義域，再化簡函數解析式，根據正切函數性質求值域、求周期、判斷單調性與奇偶性.【詳解】且，定義域是；所以；最小正周期是；是奇函數；在定義域上不具有單調性故答案為：③④【點睛】本題考查二倍角余弦公式以及函數綜合性質，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.例2．（2020·上海高一課時練習）求下列函數的值域：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由定義域可得，令則，所以，再根據冪函數的性質計算可得；（2）利用換元法將函數轉化為二次函數，根據二次函數的性質計算可得；【詳解】解：（1）因為，所以令則所以因為，所以，，，，即（2）因為所以令，所以所以在上單調遞增，在上單調遞減，，，所以即函數的值域為【點睛】本題考查正切函數的性質的應用，換元法求函數的值域，屬于中檔題.例3．（2020·上海高一課時練習）求下列函數的值域：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先令，得到，再根據的單調性即可得到函數的值域.（2）首先令，得到，再根據函數的單調性即可得到值域.（3）首先將函數化簡為，令，得到，再利用二次函數的性質即可求出函數的值域.【詳解】（1）令，因為，所以，又在上為增函數，所以所求函數值域為．（2）令，因為，所以．．因為為減函數，所以在為增函數，即：在上為增函數，所以，.所以函數的值域為．（3）．令，所以．．當時，，當時，.所以函數的值域為．【點睛】本題主要考查正切函數的值域問題，利用換元法求值域為解決本題的關鍵，屬于中檔題.例4.函數的值域為【難度】★【答案】例5.若，求函數的最值及相應的值；.【難度】★★【答案】時，；時，例6.已知，當時，函數，求實數的值.【難度】★【答案】例7.求函數的值域.【難度】★★【答案】【鞏固訓練】1．求函數的值域【難度】★★【答案】2．求函數的最大值，并求當函數取得最大值時，自變量的集合.【難度】★★【答案】，此時3．已知，求它的最小值【難度】★★【答案】當時，4．函數的值域為____________【難度】★【答案】【解析】令則轉化為的二次函數求最值。三、正切函數的性質 1、正余切函數的周期性例1．（2016·上海浦東新區·高一期末）下列四個函數中，以為最小正周期，且在區間上為減函數的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出四個選項中函數的周期，排除選項后，再通過函數的單調減區間找出正確選項即可.【詳解】由題意觀察選項，C的周期不是，所以C不正確；對于A，，函數的周期為，但在區間上為增函數，故A不正確；對于B，，函數的周期為，且在區間上為減函數，故B正確；對于D，，函數的周期為，但在區間上為增函數，故D不正確；故選：B【點睛】本題主要考查三角函數的性質，需熟記正弦、余弦、正切、余切的性質，屬于基礎題.例2．（2015·上海）下列函數中，以為周期的偶函數是（）A． B． C． D．【答案】D試題分析：由正余弦函數周期求解公式可知的周期為，的周期為，的周期為，的周期為，其中是偶函數考點：三角函數周期性與奇偶性例3．（2018·上海市青浦高級中學）函數的最小正周期為______________.【答案】【分析】利用函數y＝Atan（ωx+φ）的周期為，得出結論．【詳解】函數y＝3tan（3x）的最小正周期是，故答案為：．【點睛】本題主要考查函數y＝Atan（ωx+φ）的周期性，利用了函數y＝Atan（ωx+φ）的周期為．例4．（2019·上海市向明中學高一期中）函數的最小正周期為______.【答案】【分析】的周期.【詳解】.故答案為【點睛】本題考查三角函數的周期，屬于基礎題.例5．（2020·上海高一課時練習）求下列函數的最小正周期：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用周期公式計算得到答案.（2）化簡得到，得到周期.【詳解】（1），故.（2），，，故.【點睛】本題考查了三角函數的周期，意在考查學生的計算能力和應用能力.例6.求下列函數的周期:（1）（2）（3）（4）（5）【難度】★【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【鞏固訓練】1．函數的周期為_____________.【難度】★【答案】【解析】2．函數的最小正周期為_____________,【難度】★【答案】3．函數y＝的周期為【難度】★★【答案】2、正切函數的奇偶性與對稱性例1判斷下列函數的奇偶性【難度】★【答案】（1）偶函數（2）既不是奇函數又不是偶函數；（3）既不是奇函數又不是偶函數（4）偶函數；（5）定義域是不關于原點對稱，所以此函數是非奇非偶函數。例2.求函數的最小正周期，并判斷函數的奇偶性.【難度】★★【解析】，奇函數.例3．（2020·上海市南洋模范中學高一月考）函數的最小正周期為____________，對稱中心為____________.【答案】，.【分析】由題意利用正切函數的周期性以及圖象的對稱性，得出結論.【詳解】函數的最小正周期，令，求得，可得函數的圖象的對稱中心為，，故答案為：；，.【點睛】本題考查正切型函數的性質，屬于基礎題.例4.．（2015·上海）下列結論中：1）函數為奇函數2）函數的圖象關于點對稱3）函數的圖象的一條對稱軸為4）若，則其中正確的結論序號為____________________．【答案】1,3,4試題分析：1），因此函數是奇函數；2）代入函數不成立，因此該點不是對稱中心點；3）中當時函數取得最小值，因此對稱軸為；4）中考點：三角函數對稱性奇偶性等性質例5.求函數的對稱中心的坐標．【難度】★【答案】【解析】是奇函數，它的對稱中心有無窮多個，即．由得∴對稱中心坐標為例6.若圖象的一個對稱中心為，若，求的值.【難度】★【答案】【鞏固訓練】1．判斷下列函數的奇偶性（1）；（2）；.【難度】★【答案】（1）奇函數（2）偶函數2．判斷下列函數的奇偶性（1）（2）【難度】★【答案】（1）非奇非偶函數（2）非奇非偶函數3．函數的圖像關于點成中心對稱.【難度】★【答案】，.4．下列坐標所表式的點中，不是函數的圖象的對稱中心的是（）【難度】★【答案】3、正切函數的單調性例1．（2020·上海徐匯區·位育中學高一月考）下列函數中既是奇函數又在上單調遞增的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據三角函數的單調性和奇偶性逐一判斷選項即可.【詳解】A.是奇函數，上單調遞增，A選項錯誤.B.是偶函數，B選項錯誤.C.是奇函數，且定義域為，C選項錯誤.D.是奇函數，單調遞增區間為，D選項正確.故選：D【點睛】本題考查三角函數的定義域、單調性和奇偶性，屬于基礎題.例2．（2019·上海市宜川中學高一期中）函數的單調遞增區間是________.【答案】（，），k∈Z．【分析】根據正切函數y＝tanx的單調增區間，令kπ2xkπ，k∈Z；求出不等式組的解集即可．【詳解】函數令kπ2xkπ，k∈Z；解得x，k∈Z；所以函數的單調遞增區間是：（，），k∈Z．故答案為：（，），k∈Z．【點評】本題考查了正切函數的單調性以及整體代換的應用問題，是基礎題．例3．（2019·上海市向明中學高一期中）函數的單調遞增區間為______.【答案】【分析】的增區間是，由此可列式求解.【詳解】令，因為的增區間是，所以，所以.故答案為【點睛】本題考查三角函數單調區間的求法，屬于基礎題.例4.求下列函數的單調區間：（1）（2）【難度】★★【答案】（1）（2）【解析】（1）令，則是增函數，且的遞增區間為所以由知：是單調遞增區間是：（2）因為原函數可以化為：令，則單調遞增區間為：單調遞減區間為例5.求下列函數的單調區間：（1）（2）【難度】★★【答案】（1）遞增區間（2）遞減區間為遞增區間為例6.已知函數在內是減函數，則（）【難度】★★【答案】例7.已知函數是增函數，值域為，求的值。【難度】★★【答案】例8.求函數的定義域、值域并指出它的周期性、奇偶性、單調性.【難度】★★【解析】(1)定義域(2)值域：；(3)周期；(4)在上是減函數，在上是遞增函數；(5)是非奇非偶函數。例9．（2018·上海靜安區·高一期末）已知余切函數.（1）請寫出余切函數的奇偶性，最小正周期，單調區間；（不必證明）（2）求證：余切函數在區間上單調遞減.【答案】（1）奇函數；周期為，單調遞減速區間：【分析】（1）直接利用函數的性質寫出結果．（2）利用單調性的定義和三角函數關系式的變換求出結果．【詳解】（1）奇函數；周期為，單調遞減區間：（2）任取，，，有因為，所以，于是，，從而，.因此余切函數在區間上單調遞減.【點睛】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變變換，函數關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．例10.設足球場寬65米，球門寬7米，當足球運動員沿邊路帶球突破，距底線多遠處射球門，對球門所張的角最大.（保留兩位小數）【難度】★★【解析】米，由球場寬米，可知米，米，設足球運動員在邊線上的點處射球門，，顯然越大，越有利于射門，設點與底線的距離為米，則當且僅當，即時，取最大值，因為當時，為增函數，所以當9（米）時，取最大值【鞏固訓練】1．求函數的單調區間．【難度】★★【答案】【解析】是增函數．∴即函數的單調遞增區間是2．求下列函數的單調區間（1）（2）【難度】★★【答案】（1）單調遞增；（2）單調遞減3．下列函數中，周期為，且在上是單調遞增函數的是（）【難度】★【答案】3．下列命題中正確的是（）在第一象限單調遞增 在函數中，越大，也越大當時，總有的圖象關于原點對稱【難度】★【答案】4．下列命題中正確的是（）在第二象限是減函數在定義域內