專題10：列方程解應用題（小升初復習講義）2024年小升初數學復習專題：第四章式與方程（高頻考點梳理＋重難點講解＋同步練習＋答案）1、列方程解應用題就是用字母表示應用題中的未知數，根據等量關系列出方程，再解所列方程，得到答案。2、列方程解應用題的一般步驟：（1）弄清題意，找出未知數并用字母表示；（2）找出應用題中的等量關系，列出方程；（3）解方程，求出未知數的值；（4）檢驗并寫出答語3、分析等量關系的方法（1）根據常見的數量關系找等量關系。如：時間、速度、路程；單價、數量、總價等之間的關系。（2）根據周長、面積、體積等計算公式找等量關系。如：三角形的面積＝底×高÷2；長方形的周長＝（長+寬）×2等。（3）根據題中的重點敘述句，從整體上確定基本數量關系。（4）對于較難理解的應用題，利用線段圖、列表等方法分析題意找出等量關系。【方法點撥】解決這類問題的一般方法是：以題目中的數量關系作為等量關系列方程解應用題。尋找等量關系是其中的關鍵點。以“總量”作為等量關系【例1】某工廠生產一批零件，原計劃每天生產320個，15天完成任務。實際生產時，通過提高效率，平均每天生產400個，那么可以比原計劃提前幾天完成任務？（列方程解答)【解析】設實際可以比原計劃提前x天完成任務。根據工作總量＝工作時間×工作效率，可得原計劃的工作總量為：320×15＝4800（米），實際的工作總量為：400×（15－x）。因為工作總量是相同的，所以可列方程：320×15＝400×（15－x），解方程即可。【解答】解：設實際可以比原計劃提前x天完成任務。320×15＝400×（15－x）4800＝400×15－400x4800＝6000－400x400x＝6000－4800400x＝1200x＝1200÷400x＝3答：實際可以比原計劃提前3天完成任務。以“差量”作為等量關系【例2】樂樂和嘉嘉買同樣的筆記本，樂樂買5本，嘉嘉買3本，樂樂比嘉嘉多花了8元，每本筆記本多少元？（列方程解答）【解析】設每本筆記本的價格為x元。根據總價＝單價×數量，分別得到樂樂花的錢數和嘉嘉花的錢數；再由樂樂花的錢數－嘉嘉花的錢數＝多花的錢數，則可列出方程。【解答】解：設每本筆記本的價格為x元。5x－3x＝82x＝8x＝4答：每本筆記本4元。以“剩余量”作為等量關系【例3】修一條長410米的路，每天修70米，修了若干天后，還剩60米，已經修了多少天？（列方程解答）【解析】數量關系式：已修的長度＋剩下的長度＝總長度。設已修了x天，則已修的長度為70x米，根據數量關系式可列方程：【解答】解：設已修了x天。70x＋60＝41070x＝410－6070x＝350x＝350÷70x＝5答：已經修了5天。【練習1】霖霖買了6本練習本和18支圓珠筆，買圓珠筆比買練習本多用去12元，已知每本練習本2.5元，每支圓珠筆多少元？【練習2】每箱原味牛奶35元，每箱巧克力味牛奶30元。這個星期賣掉了20箱牛奶，一共賣了660元，則原味牛奶和巧克力味牛奶各賣出了多少箱？【練習3】某市自來水公司規定：居民用水高峰期收費為每立方米2.5元，低谷期收費為每立方米1.5元。某戶在4月份共用水80立方米，繳納水費180元。則該用戶高峰期的用水量是多少立方米？（列方程解答）【方法點撥】以倍數作為等量關系來列方程時，通常都是設小不設大。注意等量關系中常見的用詞：如：“比……多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“和”、“差”、“倍”、“一樣多”等等。“倍數”問題【例4】有兩袋面粉，甲袋面粉的重量是乙袋面粉的4倍，如果從甲袋面粉中取出15千克放入乙袋面粉，兩袋面粉就一樣重，原來兩袋面粉各有多少千克？（列方程解答）【解析】設乙袋面粉的重量為x千克，則甲袋面粉的重量為4x千克。數量關系式：甲袋面粉的重量－15千克＝乙袋面粉的重量＋15千克。根據數量關系式可列出方程，求解即可。【解答】解：設乙袋面粉的重量為x千克。4x－15＝x＋154x－x＝15＋153x＝30x＝10則甲袋面粉的重量為：4x＝4×10＝40（千克）答：乙袋面粉原來有10千克，甲袋面粉原來有40千克。“幾倍少幾”的問題【例5】閱文書店購進800本故事書，比科普書的3倍少10本。閱文書店購進多少本科普書？（列方程解答）【解題分析】設科普書的數量為x本。數量關系式為：科普書的數量×3－10＝故事書的數量，根據數量關系式可列出方程求解即可。【解答】解：設科普書的數量為x本。3x－10＝8003x＝800＋103x＝810x＝810÷3x＝270答：閱文書店購進270本科普書。“幾倍多幾”的問題【例6】南京長江大橋全長約6.8千米，比武漢長江大橋的1.3倍還多0.5千米，武漢長江大橋全長多少千米？（得數保留一位小數）【解析】設武漢長江大橋的長度為x千米。數量關系式：武漢長江大橋的長度×1.3＋0.5＝南京長江大橋的長度，根據數量關系式可列出方程求解即可。【解答】解：設武漢長江大橋的長度為x千米。1.3x＋0.5＝6.81.3x＝6.3x＝6.3÷1.3x≈4.8答：武漢長江大橋全長約4.8千米。“和倍”問題【例7】某公司有員工240人，其中男員工是女員工的3倍，求這個公司男、女員工各有多少人？（列方程解答）【解析】設女員工人數為x人，則男員工人數為3x人。數量關系式：男員工人數＋女員工人數＝總員工人數，根據數量關系式可列出方程求解即可。【解答】解：設女員工人數為x人，則男員工人數為3x人。x＋3x＝2404x＝240x＝240÷4x＝60男職工：60×3＝180（人）答：這個公司男員工有180人，女員工有60人。“差倍”問題【例8】公園新栽種了一批花木，桃樹的棵樹是山茶樹的2.6倍，桃樹比山茶樹多40棵。桃樹和山茶樹各有多少棵？（列方程解答）【解析】設山茶樹的棵數為x棵，則桃樹的棵數為3x棵。數量關系式：數量關系式：桃樹的棵數－山茶樹的棵數＝多的棵數，根據數量關系式可列出方程求解即可。【解答】解：設山茶樹的棵數為x棵，則桃樹的棵數為3x棵。2.6x－x＝401.6x＝40x＝40÷1.6x＝252.6×25＝65（棵）答：山茶樹有25棵，桃樹有65棵。“和差”問題【例9】一個筆袋里共有12支筆，水性筆比鉛筆多6支。水性筆和鉛筆各有多少支？（列方程解答）【解析】設鉛筆數量為x支，則水性筆數量為（x＋6）支。數量關系式：數量關系式：鉛筆數量＋鋼筆數量＝筆的總支數，根據數量關系式可列出方程求解即可。【解答】解：設鉛筆數量為x支，則水性筆數量為（x＋6）支。x＋（x＋6）＝122x＋6＝122x＝6x＝3x＋6＝3＋6＝9答：鉛筆有3支，水性筆有9支。【練習1】工廠里有兩條生產線，甲生產線生產的產品數量是乙生產線的1.5倍。如果再給乙生產線增加100個產品，兩條生產線生產的產品就一樣多。原來甲乙兩條生產線各生產多少個產品？【練習2】某工廠男職工的人數比女職工人數的3倍少15人，已知男職工有465人，女職工有多少人？【練習3】學校舉辦一場大型舞蹈表演活動，參加表演的男生有190人，比女生人數的3倍多10人。參加表演的女生有多少人？【練習4】周末，端端和爸爸一起去參觀科技館，買門票一共花了135元，爸爸的門票價格是端端的2倍。請問端端和爸爸的門票價格分別是多少元？（列方程解答）【練習5】今年爸爸的年齡是鳴鳴年齡的5倍，父子兩人的年齡和是36歲。鳴鳴和爸爸今年各多少歲？【方法點撥】圖形幾何問題，通常是借助公式法完成。長方形周長＝（長＋寬）×2長方形面積＝長×寬正方形周長＝邊長×4正方形面積＝邊長×邊長三角形的面積＝底×高÷2平行四邊形的周長＝（相鄰兩條邊長度之和）×2【例10】張叔叔有一塊平行四邊形的土地，周長是128米，其中一條邊是另一條邊的3倍，求這塊土地較短邊的長度是多少米？（列方程解答）【解析】設這塊平行四邊形土地的較短邊的長度為x米，則較長邊的長度為3x米。根據平行四邊形的周長＝（相鄰兩條邊長度之和）×2，可列出方程，求解即可。【解答】解：設這塊平行四邊形土地的較短邊的長度為x米，則較長邊的長度為3x米。（x＋3x）×2＝1284x×2＝1288x＝128x＝128÷8x＝16答：這塊土地較短邊的長度是16米。【例11】用一根長36分米的鐵絲圍成一個長方形，且長比寬多2分米。這個長方形的面積是多少？（列方程解答）【解析】設這個長方形的寬為x分米，則長為x＋2分米。根據長方形的周長＝（長＋寬）×2，列方程求解即可求出長方形的長和寬。再代入長方形的面積＝長×寬求出面積即可。【解答】解：設這個長方形的寬為x分米，則長為x＋2分米。（x＋x＋2）×2＝36（2x＋2）×2＝364x＋4＝364x＝36－44x＝32x＝32÷4x＝8則長為：8＋2＝10（分米）面積為：8×10＝80（平方分米）答：這個長方形的面積是80平方分米。【練習1】用一根長48分米的鐵絲圍成一個長方形，已知長是寬的2倍。這個長方形的面積是多少？（列方程解答）【練習2】一個三角形的面積是18平方厘米，已知三角形的底是高的4倍，求三角形的底和高分別是多少厘米？(列方程解答）【方法點撥】行程問題中的三個基本量及其關系：路程＝速度×時間。【例12】一艘輪船從A港開往B港，兩港之間的距離是616千米，甲、乙兩艘輪船同時從兩港相對開出。已知甲船的速度是乙船的1.2倍，8小時后兩船相遇。甲、乙兩艘輪船的速度分別是多少？（用方程解）（列方程解答）【解析】設乙船的速度為x千米/小時，則甲船的速度為1.2x千米/小時。數量關系式：A、B兩城市之間的距離＝甲船速度×相遇時間＋乙船速度×相遇時間，據此列方程解答。【解答】解：設乙船的速度為x千米/小時，則甲船的速度為1.2x千米/小時。8×1.2x＋8x＝6169.6x＋8x＝61617.6x＝616x＝616÷17.6x＝35則甲船的速度為：1.2x＝1.2×35＝42（千米/小時）答：甲船的速度是35千米/小時，乙船的速度是42千米/小時。【例13】甲、乙兩人同時從學校步行到地鐵站，經過5分鐘，乙到達地鐵站，甲距地鐵站還有150米。已知甲、乙兩人步行的平均速度比為3：4，學校與地鐵站相距多遠？（列方程解答）【解析】根據題意，甲、乙兩人步行的平均速度比為3：4，經過5分鐘，乙到達地鐵站，甲距地鐵站還有150米。可以找出等量關系是：甲的速度×時間＋150＝乙的速度×時間。據此解答即可。【解答】解：設甲速度為3x米/分鐘，乙的速度為4x米/分鐘。3x×5＋150＝4x×515x＋150＝20x5x＝150x＝150÷5x＝30乙的速度為：4x＝4×30＝120（米/分鐘）學校與地鐵站相距：120×5＝600（米）答：學校與地鐵站相距600米。【練習1】甲乙兩地相距480千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，3小時后相遇。已知一輛汽車每小時行75千米，另一輛汽車每小時行駛多少千米？（列方程解答）【練習2】一輛汽車和一輛貨車同時從甲、乙兩地相向開出，3小時相遇，相遇時，汽車和貨車所行的路程比是5∶3，已知汽車每小時行駛90千米，甲、乙兩地相距多少千米？（列方程解答）【方法點撥】工程問題中的三個基本量及其關系：工作效率×工作時間＝工作總量。【例14】劉叔叔要加工480個零件，加工6天后，還剩60個沒有加工完，劉叔叔平均每天加工多少個零件？（列方程解答）【解析】設劉叔叔平均每天加工x個零件，根據數量關系式：已加工的零件數＋未加工的零件數＝總零件數，列方程解答即可。【解答】解：設劉叔叔平均每天加工x個零件，則他加工6天的零件數為6x個。6x＋60＝4806x＋60＝4806x＝420x＝70答：劉叔叔平均每天加工70個零件。【例15】一條長1800米的道路，甲、乙兩個工程隊同時從兩端開始施工，20天修完。甲隊每天修25米，乙隊平均每天修多少米？（列方程解答）【解析】設乙隊平均每天修x米，則乙隊20天修了20x米。甲隊每天修25米，20天修了25×20＝500米。根據數量關系式：甲隊修的長度＋乙隊修的長度＝總長度，列方程解答即可。【解答】解：乙隊平均每天修x米。25×20＋20x＝1800500＋20x＝180020x＝1300x＝65答：乙隊平均每天修65米。【練習1】公路隊修一條800米長的公路。先由甲公路隊修，每天修60米，修了200米后，甲公路隊因事離開，剩下的由乙公路隊用了5天單獨完成。乙公路隊每天修多少米？（列方程解答）【練習2】有一條長1800米的水渠需要整修，甲、乙兩個工程隊合作整修完這條水渠需要15天。已知甲工程隊每天能整修50米，那么乙工程隊平均每天整修多少米？【方法點撥】1、盈虧問題指的是在分配一定數量的物品給固定數量的人時，由于分配方式的不同，導致某些人分配到的物品過多，而另一些人分配到的物品過少的情況。分配不足時，稱之為“虧”；分配有余，稱之為“盈”。2、盈虧問題的解題關鍵是弄清盈、虧與兩次分得差的關系。3、盈虧問題的解題思路：先將兩種分配方案進行比較，求出兩次分配中分配者每份所得物品數量的差，再根據這個關系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出分配物體的總量。【例16】老師給同學們分餅干，若每人分4塊，則多12塊；若每人分6塊，則多2塊。問：同學的人數和餅干數量？【解析】設同學的人數為x人。根據數量關系式：餅干的總數量＝每人分的數量×人數＋剩余的數量，列方程解答即可。【解答】解：設同學的人數為x人。6x＋2＝4x＋126x－4x＝12－22x＝10x＝54x＋12＝4×5＋12＝32（塊）答：同學的人數為5人，餅干的數量為32塊。【例17】有一些少先隊員到山上去種一批樹。如果每人種12棵，還有2人沒種；如果每人種10棵，正好種完。有多少名少先隊員，多少棵樹？【解析】設少先隊員的人數為x名。如果每人種12棵，還有2人沒種，則樹的總數量為（x－2)×12；如果每人種10棵，正好種完，則樹的總數量為10x。因為樹的總數量是不變的，根據數量關系式：少先隊員的人數×每人種樹的數量＝樹的總數量，列方程解答即可。【解答】解：設少先隊員的人數為x名。（x－2）×12＝10x12x－24＝10x12x－10x＝242x＝24x＝12則樹的數量為：10x＝10×12＝120（棵）答：有12名少先隊員，有120棵樹。【練習1】英語老師將一些筆獎給優秀學生，如果每人8支，還少15支；如果每人5支，就少6支。優秀學生有多少人？筆有多少支？(列方程解答）【練習2】楊老師將一些巧克力分給小班的小朋友。如果每人分7顆，還多5顆；如果每人分8顆則正好分完。請算一算，小班有幾個小朋友？這些巧克力一共有多少顆？【方法點撥】（1）解法1：（兔的腳數×總只數－總腳數）÷（兔的腳數－雞的腳數）＝雞的只數總只數－雞的只數＝兔的只數（2）解法2：（總腳數－雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數－雞的腳數）＝兔的只數總只數－兔的只數＝雞的只數（3）解法3：總腳數÷2－總頭數＝兔的只數總只數－兔的只數＝雞的只數【例18】停車場有3輪摩托車和4輪轎車共12輛，共52個車輪。停車場里有多少輛4輪轎車和3輪摩托車？【解析】設4輪轎車有x輛，則3輪摩托車有（12－x)輛。3輪摩托車有4x個車輪，3輪轎車有3×（12－x)個車輪，根據數量關系式：3輪摩托車的車輪數量＋4輪轎車的車輪數量＝車輪總數量，列方程解答即可。【解答】解：設4輪轎車有x輛，則3輪摩托車有（12－x）輛。4x＋3×（12－x）＝524x＋3×16－3x＝52x＋48＝52x＝52－48x＝412－4＝8（輛）答：4輪轎車有4輛，則3輪摩托車有8輛。【例19】有36名學生去劃船，一共租了8只船，正好全部坐滿。已知每只大船坐5人，每只小船坐3人。大船有多少只，小船有多少只？【解析】設大船有x只，則小船有（8－x）只。根據數量關系式：大船的數量×大船每只坐的人數＋小船的數量×小船每只坐的人數＝總人數，列方程解答即可。【解答】解：設大船有x只，則小船有（8－x）只5x＋3×（8－x）＝365x＋24－3x＝362x＋24＝362x＝36－242x＝12x＝68－6＝2（只）答：大船有6只，小船有2只。【練習1】某次知識競賽共30道題，評分標準是：每做對一題得4分，每做錯或不做一題扣2分。樂樂參加了這次競賽，得了90分。樂樂做對了多少道題？【練習2】12張乒乓球桌上一共有46個同學在比賽，其中單打的有多少張桌，雙打的有多少張桌？【練習1】【解析】設每支圓珠筆x元。根據總價＝單價×數量，分別得到圓珠筆的總價和練習本的總價；再由圓珠筆的總價－練習本的總價＝多花的錢數，則可列出方程。【解答】解：設每支圓珠筆x元。18x－2.5×6＝1218x－15＝1218x＝12＋1518x＝27x＝27÷18x＝1.5答：每支圓珠筆1.5元。【練習2】【解析】設原味牛奶賣了x箱，則巧克力味牛奶賣了（20－x）箱。數量關系式：原味牛奶的單價×數量＋巧克力味牛奶單價×數量＝總價。根據數量關系式可列方求解。【解答】解：設原味牛奶賣了x箱，則巧克力味牛奶賣了（20－x）箱。35x＋（20－x）×30＝66035x＋600－30x＝6605x＋600＝6605x＝660－6005x＝60x＝60÷5x＝1220－x＝20－12＝8（箱）答：原味牛奶賣了12箱，則巧克力味牛奶賣了8箱。【練習3】【解析】數量關系式：高峰期水費＋低谷期水費＝總水費。設該用戶高峰期的用水量為x立方米，則低谷期的用水量為（80－x）立方米，根據數量關系式可列方程求解。【解答】解：設該用戶高峰期的用水量為x立方米，則低谷期的用水量為（80－x）立方米。2.5x＋1.5×（80－x）＝1802.5x＋120－1.5x＝180x＝180－120x＝60答：該用戶高峰期的用水量是60立方米。【練習1】【解析】根據數量關系式：甲生產線生產的產品數量＝乙生產線生產的產品數量×1.5；甲生產線生產的產品數量－乙生產線生產的產品數量＝100，列出方程求解即可。【解答】解：設乙生產線生產的產品數量為x個，則甲生產線生產的產品數量為1.5x個。1.5x－x＝1000.5x＝100x＝200則甲生產線生產的產品數量為：1.5x＝1.5×200＝300（個）答：乙生產線生產200個產品，甲生產線生產300個產品。【練習2】【解析】設女職工有x人。根據數量關系式：女職工人數的3倍－15人＝男職工人數，列出方程求解即可。【解答】解：設女職工有x人。3x－15＝4653x＝465＋153x＝480x＝480÷3x＝160答：女職工有160人。【練習3】【解析】設參加表演的女生有x人。根據已知參加表演的男生有190人，比女生人數的3倍多10人，則可得到數量關系式：女生人數×3＋10＝男生人數，列出方程求解即可。【解答】解：設參加表演的女生有x人。3x＋10＝1903x＝190－103x＝180x＝180÷3x＝60答：參加表演的女生有60人。【練習4】【解析】設端端的門票價格為x元，則爸爸的門票價格為2x元。數量關系式：端端的門票價格＋爸爸的門票價格＝總門票價格，根據數量關系式可列出方程求解即可。【解答】解：設端端的門票價格為x元，則爸爸的門票價格為2x元。x＋2x＝1353x＝135x＝135÷3x＝45爸爸的門票價格：45×2＝90（元）答：端端的門票價格為45元，則爸爸的門票價格為90元。【練習5】【解析】設今年鳴鳴年齡為x歲，則爸爸的年齡為5x歲。數量關系式：爸爸的年齡＋鳴鳴的年齡＝兩人年齡和，根據數量關系式可列出方程求解即可。【解答】解：設今年鳴鳴年齡為x歲，則爸爸的年齡為5x歲。x＋5x＝366x＝36x＝36÷6x＝65×6＝30（歲）答：今年鳴鳴年齡為6歲，則爸爸的年齡為30歲。【練習1】【解析】設這個長方形的寬為x分米，則長為2x分米。根據長方形的周長＝（長+寬）×2，列方程求解即可求出長方形的長和寬。再代入長方形的面積＝長×寬求出面積即可。【解答】解：設這個長方形的寬為x分米，則長為2x分米。（2x＋x）×2＝483x×2＝486x＝48x＝48÷6x＝8則長為：2x＝2×8＝16（分米）面積為：8×16＝128（平方分米）答：這個長方形的面積是128平方分米。【練習2】【解析】設這個設三角形的高為x厘米，則底為4x厘米。根據三角形的面積＝底×高÷2，列方程求解即可求出三角形的底和高。【解答】解：設這個設三角形的高為x厘米，則底為4x厘米。4x×x÷2＝184x2＝18×24x2＝36x2＝36÷4x2＝9x＝3則底為：4x＝4×3＝12（厘米）答：三角形的底是12厘米，高是3厘米。【練習1】【解析】設另一輛汽車每小時行駛x千米。數量關系式：A、B兩城市之間的距離＝速度和×相遇時間，據此列方程解答。【解答】解：設另一輛汽車每小時行駛x千米。（75＋x）×3＝48075＋x＝480÷375＋x＝160x＝160－75x＝85答：另一輛汽車每小時行駛85千米。【練習2】【解析】設甲、乙兩地相距x千米。由題意可知，汽車行駛的路程是55+3x千米。時間是3小時，根據路程÷速度＝時間【解答】解：設甲、乙兩地相距x千米。55+3x÷958x58xx＝270