PAGEPAGE15第十一章算法、復數與推理證明第1講算法初步[考綱解讀]1.了解算法的含義及思想，駕馭程序框圖的三種基本邏輯結構：依次結構、條件結構、循環結構．(重點)2.了解幾種算法的基本語句，輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句的含義．[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講是每年高考的必考內容.預料2024年將會考查：①框圖的干脆計算；②依據框圖的輸出值添加滿意的條件.題型為客觀題，試題難度不大，屬中、低檔題型.1．算法的含義與程序框圖(1)算法：算法是指依據eq\o(□,\s\up4(01))肯定規則解決某一類問題的eq\o(□,\s\up4(02))明確和eq\o(□,\s\up4(03))有限的步驟．(2)程序框圖：程序框圖又稱eq\o(□,\s\up4(04))流程圖，是一種用eq\o(□,\s\up4(05))程序框、eq\o(□,\s\up4(06))流程線及eq\o(□,\s\up4(07))文字說明來表示算法的圖形．在程序框圖中，一個或n個程序框的組合表示算法中的一個步驟；帶有方向箭頭的流程線將程序框連接起來，表示算法步驟的執行依次．(3)算法框圖的圖形符號及其功能2．三種基本邏輯結構及相應語句 續表1．概念辨析(1)一個程序框圖肯定包含依次結構，也包含條件結構(選擇結構)和循環結構．()(2)當型循環是給定條件不成立時，執行循環體，反復進行，直到條件成立為止．()(3)在算法語句中，X＝X＋1是錯誤的．()(4)輸入語句可以同時給多個變量賦值．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)依據給出的程序框圖(如圖)，計算f(－1)＋f(2)＝()A．0B．1C．2D．4答案A解析f(－1)＝4×(－1)＝－4，f(2)＝22＝4，∴f(－1)＋f(2)＝－4＋4＝0.(2)計算機執行下面的程序段后，輸出的結果是()eq\x(\a\al(a＝1,b＝3,a＝a＋b,b＝a－b,PRINTa，b,END))A．1,3B．4,1C．0,0D．6,0答案B解析讀程序可知a＝1＋3＝4，b＝4－3＝1.(3)已知輸入實數x＝12，執行如圖所示的流程圖，則輸出的x是()A．25B．102C．103D．51答案C解析輸入x＝12，經過第一次循環得到x＝2×12＋1＝25，n＝2，經過其次循環得到x＝2×25＋1＝51，n＝3，經過第三次循環得到x＝2×51＋1＝103，n＝4，此時輸出x，故選C.(4)依據如圖的程序框圖執行，若輸出結果為15，則M處條件為()A．k≥16B．k＜8C．k＜16D．k≥8答案A解析程序運行過程中，各變量的值如下表所示：故退出循環的條件應為k≥16，故選A.題型eq\a\vs4\al(一)依次結構和條件結構1．閱讀如圖所示程序框圖．若輸入x為3，則輸出的y值為()A．24B．25C．30D．40答案D解析a＝32－1＝8，b＝8－3＝5，y＝8×5＝40.2．(2024·江蘇高考)下圖是一個算法流程圖．若輸入x的值為eq\f(1,16)，則輸出y的值是________．答案－2解析輸入x＝eq\f(1,16)，eq\f(1,16)≥1不成立，執行y＝2＋log2eq\f(1,16)＝2－4＝－2.輸出y的值為－2.條件探究將舉例說明2中“輸入x”改為“輸出y”，求輸入的x的值．解由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥1，,2＋log2x，x<1，))當x≥1時，2x≥2，所以若輸出y＝eq\f(1,16)，則必有x<1,2＋log2x＝eq\f(1,16)，解得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(31,16).應用依次結構與條件結構的留意點(1)依次結構：依次結構是最簡潔的算法結構，語句與語句之間、框與框之間是按從上到下的依次進行的．(2)條件結構：利用條件結構解決算法問題時，重點是推斷框，推斷框內的條件不同，對應的下一程序框中的內容和操作要相應地進行改變，故要重點分析推斷框內的條件是否滿意.定義運算a?b的結果為執行如圖所示的程序框圖輸出的S，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(5π,3)))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))的值為()A．4B．3C．2D．－1答案A解析由程序框圖可知，S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－b，a≥b，,ba＋1，a<b，))因為2coseq\f(5π,3)＝1,2taneq\f(5π,4)＝2,1<2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(5π,3)))?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2tan\f(5π,4)))＝2×(1＋1)＝4.題型eq\a\vs4\al(二)循環結構角度1由程序框圖求輸出(輸入)結果1．(2024·煙臺模擬)執行如圖所示的程序框圖，輸出的n值為()A．6B．7C．8D．12答案C解析由程序框圖可知，第一次循環：S＝eq\f(1,3)，n＝2；其次次循環：S＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2，n＝3；第三次循環：S＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3，n＝4；……第六次循環：S＝eq\f(1,3)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))6＝eq\f(1－\f(1,729),2)<eq\f(1008,2024)，n＝7；第七次循環：S＝eq\f(1,3)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))7＝eq\f(1－\f(1,2187),2)>eq\f(1008,2024)，n＝8.故終止循環，輸出n＝8.故選C.角度2完善程序框圖2．(2024·全國卷Ⅱ)為計算S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)，設計了下面的程序框圖，則在空白框中應填入()A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋4答案B解析由S＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,99)－eq\f(1,100)，知程序框圖先對奇數項累加，偶數項累加，最終再相減．因此在空白框中應填入i＝i＋2，選B.角度3逆向求解問題3．(2024·全國卷Ⅲ)執行如圖所示的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數N的最小值為()A．5B．4C．3D．2答案D解析假設N＝2，程序執行過程如下：t＝1，M＝100，S＝0，1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－eq\f(100,10)＝－10，t＝2，2≤2，S＝100－10＝90，M＝－eq\f(－10,10)＝1，t＝3，3＞2，輸出S＝90＜91.符合題意．∴N＝2成立．明顯2是最小值．故選D.1．循環結構程序框圖求輸出結果的方法解決此類問題最常用的方法是列舉法，即依次執行循環體中的每一步，直到循環終止，但在執行循環體的過程中：第一，要明確是當型循環結構還是直到型循環結構，依據各自特點執行循環體；其次，要明確框圖中的累加變量，明確每一次執行循環體前和執行循環體后，變量的值發生的改變；第三，要明確循環終止的條件是什么，什么時候要終止執行循環體．2．程序框圖補全問題的求解方法(1)先假設參數的推斷條件滿意或不滿意；(2)運行循環結構，始終到運行結果與題目要求的輸出結果相同為止；(3)依據此時各個變量的值，補全程序框圖.1．(2024·全國卷Ⅰ)如圖所示的程序框圖是為了求出滿意3n－2n>1000的最小偶數n，那么在和兩個空白框中，可以分別填入()A．A>1000？和n＝n＋1B．A>1000？和n＝n＋2C．A≤1000？和n＝n＋1D．A≤1000？和n＝n＋2答案D解析因為題目要求的是“滿意3n－2n＞1000的最小偶數n”，所以n的疊加值為2，所以內填入“n＝n＋2”．由程序框圖知，當內的條件不滿意時，輸出n，所以內填入“A≤1000？”．故選D.2．(2024·洛陽三模)定義[x]表示不超過x的最大整數，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3，下圖的程序框圖取材于中國古代數學著作《孫子算經》．執行該程序框圖，則輸出a＝()A．9B．16C．23D．30答案C解析由程序框圖得k＝1，a＝9，a－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝0≠2；k＝2，a＝16，a－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝1≠2；k＝3，a＝23，a－3·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝2，a－5·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,5)))＝3，退出循環體，所以輸出a＝23，故選C.3．(2024·東北三省四市模擬)莊子說：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”，這句話描述的是一個數列問題．現用程序框圖描述．如圖所示，若輸入某個正整數n后，輸出的S∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,16)，\f(63,64)))，則輸入的n的值為()A．7B．6C．5D．4答案C解析第一次循環得S＝eq\f(1,2)，k＝2；其次次循環得S＝eq\f(3,4)，k＝3；第三次循環得S＝eq\f(7,8)，k＝4；第四次循環得S＝eq\f(15,16)，k＝5；第五次循環得S＝eq\f(31,32)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,16)，\f(63,64)))，k＝6，此時滿意題意，退出循環，所以輸入的n值為5，故選C.題型eq\a\vs4\al(三)基本算法語句1．依據如圖算法語句，當輸入x為60時，輸出y的值為()A．25B．30C．31D．61答案C解析該語句表示分段函數y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.5x，x≤50，,25＋0.6×x－50，x>50，))當x＝60時，y＝25＋0.6×(60－50)＝31.故輸出y的值為31.2．如圖程序執行后輸出的結果是________．答案990解析程序反映出的算法過程為i＝11?S＝11×1，i＝10；i＝1