第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《有關函數--綜合實踐題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．綜合與探究如圖，在中，，，長方形的邊在邊上，邊在邊上，點與點重合，，，長方形從點的位置出發，以每秒的速度沿著的方向作勻速直線運動，當點與點重合時停止運動．設長方形運動的時間為，長方形與重疊部分的面積為．(1)當時，判斷點是否在線段上？通過計算說明理由；(2)當點F運動到線段上時，求長方形的運動時間；(3)當時，求與之間的函數關系式及當，時的值．2．項目化學習項目主題：探究桶裝水在常溫下的最佳飲用時間．項目背景：桶裝水打開后空氣中的微生物、塵埃等污染物便開始悄悄進入水中，隨著時間的推移水中微生物的數量會逐漸增加，從而影響水質．某校綜合實踐小組以“探究桶裝水在常溫下的最佳飲用時間”為主題展開項目學習．驅動任務：探究桶裝水中菌落總數與時間的關系．研究步驟：（1）取一桶桶裝水，打開置于空氣中；（2）逐天測量并記錄桶裝水中的菌落總數；（3）數據分析，形成結論．試驗數據：試驗天數天01234菌落總數1520253035問題解決：請根據此項目實施的相關材料完成下列任務．(1)根據表中信息，求出菌落總數與試驗天數之間的函數關系式；(2)根據相關部門規定：桶裝水菌落總數超過時就要停止飲用，請你通過計算說明桶裝水打開后的最佳飲用時間是多少天？3．閱讀理解，自主探究：“一線三垂直”模型是“一線三等角”模型的特殊情況，即三個等角角度為，于是有三組邊相互垂直．所以稱為“一線三垂直模型”．當模型中有一組對應邊長相等時，則模型中必定存在全等三角形．(1)問題解決：如圖1，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，求證：；(2)問題探究：如圖2，在等腰直角中，，，過點C作直線，于D，于E，，，求的長；(3)拓展延伸：如圖3，在平面直角坐標系中，，，在平面平面直角坐標系中是否存在一點B，使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出B點坐標；若不存在，請說明理由．4．水龍頭關閉不嚴會造成滴水，為了調查漏水量與漏水時間的關系，某興趣小組進行以下試驗與探究：時間x/510152025…水量y/1732476277…試驗：在滴水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器量筒，每5記錄一次容器中的水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經有少量水，因而得到如表中的一組數據．(1)探究：根據圖表中的數據，請判斷和（，為常數）哪個解析式能準確的反映水量與時間的函數關系？請求出該解析式；(2)應用：成年人每天大約需飲水1600，請估算這個水龍頭一周（按7天計）的漏水量可供一位成年人飲用的天數．（精確到整數位）5．探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有的學習經驗，探究函數的圖象與性質．…………(1)列表，寫出表中和的值：________，________；描點、連線，在所給的平面直角坐標系中補全該函數的圖象．(2)觀察函數圖象，回答下列問題：①函數有最________值，是________；②當自變量的取值范圍是________時，函數的值隨自變量的增大而增大．(3)已知函數的圖象如圖所示，結合你所畫的函數圖象，不等式的解集是________．6．小明在學習一次函數后，對形如（其中k，m，n為常數，且）的一次函數圖象和性質進行了探究，過程如下：如圖所示，小明分別畫出了函數，，的圖象．【深入探究】（1）通過對上述幾個函數圖象的觀察、思考，你發現（k為常數，且）的圖象一定會經過的點的坐標是__________；【得到性質】（2）函數（其中k、m、n為常數，且）的圖象一定會經過的點的坐標是__________；【實踐運用】（3）已知一次函數（k為常數，且）的圖象一定過點N，且與y軸相交于點A，若的面積為5，求k的值．7．如圖，已知且交y軸于E點．(1)如圖1，若，求C點坐標；(2)如圖2，A，B兩點分別在x軸，y軸正半軸上，E為的中點，交x軸于G點，連，若，求G點的坐標；(3)如圖3，A在x軸的負半軸上，以為邊在的右側作等邊，連，當時，請探究線段之間的數量關系，并證明．8．某數學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究型拋物線圖象．發現：如圖1所示，該類型圖象上任意一點到定點的距離，始終等于它到定直線的距離（該結論不需要證明）．他們稱：定點為圖象的焦點，定直線為圖象的準線，叫做拋物線的準線方程．準線與軸的交點為．其中原點為的中點，．例如，拋物線，其焦點坐標為，準線方程為，其中，．(1)請分別直接寫出拋物線的焦點坐標和準線的方程：________，________；(2)如圖2，已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于點A，點，當時，求直線的解析式；(3)如圖3，已知拋物線的焦點為，準線方程為．直線交軸于點，拋物線上動點到軸的距離為，到直線的距離為，請直接寫出的最小值．9．如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，若點P是拋物線上一動點，設點P的橫坐標為t．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，當點P在直線上方的拋物線時，連接，求四邊形面積的最大值，并求出此時點P的坐標；(3)若點M為拋物線對稱軸上一點，請在圖2中探究拋物線上是否存在點P，使得以B，C，M，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖，在平面直角坐標系中，已知，且．(1)如圖1，若，且a、b滿足，直接寫出A、B、C點的坐標；(2)如圖2，移動等腰，使點C落在第一象限，點B的坐標為，且軸，D在y軸上，，連接并延長交于點E，請求出的長度；(3)如圖3，H在延長線上，過H作軸于G，若，探究線段之間的數量關系，并證明你的結論．11．在平面直角坐標系中，點為坐標原點，，，且滿足．(1)求點的坐標．(2)為軸上一動點，連接，過點在線段上方作，且．①如圖1，若點在軸正半軸上，點在第一象限，連接，過點作的平行線交軸于點，求點的坐標（用含的式子表示）．②如圖2，連接，探究當取最小值時，線段與的關系．12．在平面直角坐標系中，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上，∠ABC＝90°，且．(1)如圖（1），，，點C在第三象限，請直接寫出點C的坐標；(2)如圖（2），與x軸交于點D，與y軸交于點E，若點為的中點，求證：；(3)如圖（3），，M在延長線上，過點作軸于點，探究線段，，之間的關系，并證明你的結論．13．【問題背景】在平面直角坐標系中，若兩點分別為，則中點坐標為，如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點B，C在第一象限，四邊形是平行四邊形．【構建聯系】若點C在反比例函數的圖象上，點C的橫坐標為2，點B的縱坐標為3．（1）求反比例函數的表達式；（2）如圖2，點D是邊的中點，且在反比例函數圖象上，求平行四邊形的面積；【深入探究】（3）如圖3，將直線：向上平移6個單位得到直線，直線與函數圖象交于兩點，點P為的中點，過點作于點N，求的值．．14．如圖，拋物線經過的三個點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．（1）求拋物線的對稱軸；（2）寫出三點的坐標并求拋物線的解析式；（3）探究：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形？若存在，請在圖中畫出所有符合條件的P點，然后直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸負半軸交于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，點D是拋物線上第三象限內的一點，連接，能否為直角三角形，請簡要說明；(3)如圖2，經過定點作直線與拋物線交于M，N兩點，試探究是否為定值？若為定值請求出定值，若不為定值，請說明理由．參考答案1．(1)點在線段上，理由見解析(2)長方形運動的時間為6s(3)與之間的函數關系式為及，當時，；當時，【分析】本題考查了求動點問題的函數關系式，等腰三角形的判定與性質，注意分類討論．（1）由題意可得，再根據，即可得點在線段上；（2）當點F運動到線段上時，可得，從而求得，則可求得長方形的運動時間；（3）分兩種情況：當時，此時重疊部分圖形為梯形，過點作于點，求出梯形的上底和下底即可求得梯形面積；當時，此時重疊部分為三角形，由三角形面積公式易得，最后綜合即可；把x的值代入所求函數解析式中即可求得函數值．【詳解】（1）解：如圖1，長方形運動的速度為，且，．，，．，∴．，點在線段上．（2）解：如圖2，當點F運動到上時，，．，，．，，．點運動的速度為，點運動的時間，長方形運動的時間為6s．（3）解：分兩種情況：①當時，如圖3，設交于點G，過點作于點，．，．，，．，，，，當時，．②當時，如圖4，設與交于點G，．，，，當時，．綜上所述，與之間的函數關系式為及；當時，；當時，．2．(1)(2)桶裝水最佳飲用時間是7天【分析】題目主要考查一次函數的實際應用，理解題意，熟練掌握一次函數的基本性質是解題關鍵．（1）設，利用待定系數法代入求解即可；（2）當時，代入求解即可．【詳解】（1）解：設．當時，．，將代入得：．解得：，（2）解：當時，．解得：．桶裝水最佳飲用時間是7天．3．(1)見解析(2)(3)存在，點B的坐標為或或．【分析】（1）根據余角的性質得到，即可根據證明；（2）同（1）證明，得到，，求出即可；（3）分三種情況：①當時，；②當時，；③當時，；分別構造全等三角形，由全等三角形的性質即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：∵于D，于E，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）解：在平面平面直角坐標系中存在點B，使得為等腰直角三角形，理由如下：分三種情況：①當時，，如圖3，過點A作軸，過點C作于E，過點B作于F，同（1）得：，∴，，∵，，∴，，∴；②當時，，如圖4，過點C作軸，過點A作于E，過點B作于F，同（1）得：，∴，，∵，，∴，，∴；③當時，，如圖5，過點B作軸，交x軸于F，過點C作于E，同（1）得：，∴，，設，則，∵，，∴，，∴，解得：，∴；綜上，使為等腰直角三角形，點B的坐標為或或．【點睛】此題考查了全等三角形的性質，等腰直角三角形的性質，坐標與圖形性質，直角三角形的性質，平行線的性質以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，屬于中考常考題型．4．(1)能準確的反映水量與時間的函數關系，(2)天【分析】本題考查了反比例函數的應用，以及一次函數的應用，正確列出函數解析式是解答本題的關鍵．（1）根據表格中數據特點進行分析，即可得到水量與時間的函數關系，再利用待定系數法求解，即可解題；（2）先算出時間，再將時間代入（1）中與的函數關系式中求解得到一周的漏水量，進而求出飲用的天數，即可解題．【詳解】（1）解：，，，不能準確的反映水量與時間的函數關系，能準確的反映水量與時間的函數關系，根據表中數據有，解得，；（2）解：（），當時，，（天），答：這個水龍頭一周（按7天計）的漏水量可供一位成年人飲用天．5．(1)；；補全函數圖象見解析(2)①小；；②(3)或【分析】本題主要考查一次函數和二次函數的圖象和性質，函數與不等式，會用描點法畫出函數圖象，利用數形結合的思想得到函數的性質是解題的關鍵．（1）把對應的的值代入即可求出值，通過描點，用平滑的曲線連接，即可作出圖象；（2）觀察圖象即可判斷；（3）找出函數的圖象比函數的圖象低時對應的的范圍即可．【詳解】（1）解：當時，；，當時，，補全函數圖象，如圖所示；故答案為：；（2）①觀察圖象可知，當時，函數有最小值，最小值為；故答案為：小，；②觀察圖象可知，當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大；故答案為：；（3）不等式是指的圖象比函數的圖象低，因此觀察圖象，即可得到的解集為：或；故答案為：或6．（1）；（2）；（3）或．【分析】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的圖象和性質，三角形的面積，數形結合是解題的關鍵．（1）觀察圖象即可得到結論；（2）根據（2）的規律即可求得一定會經過的點的坐標；（3）求得定點坐標與y軸的交點A，然后利用三角形面積即可得到關于k的方程，解方程即可．【詳解】解：（1）通過對上述幾個函數圖象的觀察、思考，你發現（k為常數，且）的圖象一定會經過的點的坐標是；故答案為：；（2）函數（其中為常數，且）的圖象一定會經過的點的坐標是；故答案為：；（3）∵一次函數（為常數，且）的圖象一定過點，∴，∵與y軸相交于點A，∴，∴，∵的面積為5，∴，∴或．7．(1)(2)(3)【分析】（1）利用完全平方公式將等式變形為兩個數平方和的形式，即可求出，，如圖1中，過點C作軸于點H，證明，可得，，即可得到點C坐標．（2）根據（1）可得，，再由，E為的中點，可得點，，再利用面積法求出，即可解題；（3）過點C作軸于點H，在上取一點M，使得，證明是等邊三角形，進而證明，得，，再證明，得，即可得出．【詳解】（1）解：∵，∴，即，∴，，∴，如圖1中，過點C作軸于點H，

∵，∴，，∴，在和中，，∴（），∴，，∴∴點C坐標為；（2）如圖2，同理（1）可證明：，，∵，E為的中點，平行于，∴，，∴點，，，∵，即，∴，∴，∴點G坐標為；（3）結論：，如圖3，過點C作軸于點H，同理可得：，，在上取一點M，使得，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，，∴，∵軸，∴，∵，∴【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．8．(1)焦點坐標為，準線的方程為(2)或(3)【分析】（1）根據中，，得，得焦點坐標為，準線的方程；（2）設過點的直線解析式為，，聯立，得，則，設直線與x軸的交點為M，得，得，根據已知得，即，解得，即得或；（3）過點P作交于點E，作交于點G，設直線m交x軸于點H，可知，，當F，P，E三點共線時，，的值最小；由求出，得，，證明，得，結合，得，即得的最小值為．【詳解】（1）解：∵的焦點為，準線方程為，而中，，∴，∴的焦點坐標為，準線的方程；故答案為：，；（2）解：由（1）知，的焦點坐標為，設過點的直線解析式為，，聯立，∴，∴，∴，設直線與x軸的交點為M，令，解得，∴，∴∵，∴，∴，∴，解得，∴或（3）解：過點P作交于點E，作交于點G，設直線m交x軸于點H，由（1）結論可知，，如圖．若使得取最小值，即的值最小，故當F，P，E三點共線時，，即此刻的值最小；中，令，則；令，則，解得．∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∴的最小值為．【點睛】本題考查了新定義——拋物線的焦點與準線．熟練掌握焦點與準線性質，二次函數的圖象與性質，一次函數圖象和性質，一元二次方程根與系數關系，三角形面積公式，相似三角形判定和性質，是解題的關鍵．9．(1)；(2)四邊形的面積最大值為，點P的坐標為；(3)點的坐標為或或．【分析】（1）根據題意，利用待定系數法確定二次函數解析式；（2）設點的橫坐標為，因在這個二次函數的圖象上，則有，進而利用，用含的代數式表示，最后利用二次函數的頂點式求出面積的最大值；（3）設，利用平行四邊形的中心對稱性分、和分別是平行四邊形的對角線三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）解：連接，令，則，∴，∵，，∴，，，∵點在第一象限的拋物線上，且橫坐標為，∴，且，∴，∵，∴當時，四邊形的面積最大值為；此時點P的坐標為；（3）解：存在點P，使以B，C，P，M為頂點的四邊形是平行四邊形．設，∵拋物線上的對稱軸是直線，且點M在對稱軸上，∴，①當為對角線時，∵，∴，解得：，∴點的坐標為，②當為對角線時，∵，∴，解得：，∴點的坐標為，③當為對角線時，∵，∴，解得：，∴點的坐標為，綜上所述，符合條件的點的坐標為或或．【點睛】本題考查的是二次函數的綜合應用，涉及到平行四邊形的性質、圖形面積的計算，其中第（3）小問，要注意分類求解，避免遺漏．靈活運用所學知識是解本題的關鍵．10．(1)(2)(3)，證明見解析【分析】（1）非負性求出的值，進而得到的坐標，過點作軸于點，證明，得到，，進而求出點坐標即可；（2）過點作軸于點，同（1）可得：，進而得到，，推出，再證明，即可求出的長；（3）在上取一點，使得，連接并延長交延長線于點，證明，得到，，再利用直角和三角形內角和定理，得到，證明，得到，即可得到線段，，之間的數量關系．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴，過點作軸于點，，，，，，在和中，，，，，∴，∴（2）解：過點作軸于點，同（1）法可得：，∴，，∵，∴，∴，在和中，，，，∴，∵，∴；（3）解：，證明如下：如圖②，在上取一點，使得，連接并延長交延長線于點，∵，∴，在和中，，，，，，，，，，，，，，，在和中，，，，．【點睛】本題考查了坐標與圖形，非負性，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質等知識點，熟練掌握相關知識點，作輔助線構造全等三角形是解題關鍵．11．(1)(2)①②且【分析】（1）直接根據絕對值的非負性求出的值即可；（2）①先根據平行線的性質求出，再根據全等三角形的判定和性質求出，最后根據點在軸正半軸上作答即可；②過點作軸于，先根據全等三角形的判定和性質等量代換得到，求出，再根據等腰三角形的性質計算角的加減即可.【詳解】（1）∵滿足，∴；（2）①∵∴∴，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴在和中，，∴，∴；∵且點在軸正半軸上，∴②如圖3，過點作軸于，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴點在過點且與軸正半軸成夾角的直線上運動，如圖4，設直線與軸交于點，當時，最小．∵，∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，且，又∵，∴、均是等腰直角三角形，∴，∴且；【點睛】此題考查的是坐標與圖形，絕對值的非負性，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握角的有關計算．12．(1)；(2)證明見解析；(3)．證明見解析．【分析】（1）過C作軸于R，證明，得到，即可得到答案；（2）作平分交于F點，證明即可得到結論；（3）在上取一點H，使，證明，根據全等三角形的性質即可得出結論．【詳解】（1）解：過C作軸于R，如圖1所示：則，，，，，，，，，，，，；（2）解：證明：作平分交于F點，，，，，在和中，，，，點為的中點，，在和中，，，；（3）解：．證明：在上取一點H，使，如圖所示：，，軸于G，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，又，，，，．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，坐標與圖形性質，直角三角形的性質，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質，正確做出輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．13．（1）；（2）9；（3）【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，代入即可求反比例函數解析式；（2）設，根據平行四邊形的性質可得，利用中點坐標公式可得，再把點D代入反比例函數解析式求得，即可求解；（3）由一次函數平移規律可得直線，聯立方程組得，設、，即，利用中點坐標公式求得點P的橫坐標為4，即可得，再利用勾股定理求得，求得直線與x、y軸的交點、，利用勾股定理求得，可得，過點O作，由平行線間距離處處相等可得，利用銳角三角函數求得，即可求解．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點B的縱坐標為3．點C的橫坐標為2，∴，把代入，得，∴反比例函數的表達式為；（2）解：設，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵點D是邊的中點，∴，即，∵點D在反比例函數圖象上，把代入，得，解得，∴，∴；（3）解：∵將直線向上平移6個單位得到直線，直線與函數圖象交于兩點，∴聯立方程組得，，即，設、，∴，∵點P為的中點，∴點P的橫坐標為，把代入，得，∴，∴，把代入，得；把代入，得，解得，∴直線與x、y軸交于點、，∴，，∴，∴，過點O作于點G，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、中點坐標公式、一次函數的平移規律、一次函數與反比例函數的交點問題、銳角三角函數、一次函數與坐標軸的交點問題、勾股定理、一元二次方程的根與系數的關系、用待定系數法求反比例函數解析式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．14．解：（1）；（2）；（3）存在符合條件的點共有3個．.【分析】（1）根據拋物線的解析式，利用對稱軸公式，可直接求出其對稱軸．（2）令，可求出點坐標，由軸可知，關于拋物線的對稱軸對稱，可求出點坐標，根據可求出點坐標．（3）分三