第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《新定義函數(shù)綜合題》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．新定義：A是函數(shù)y的圖象上一點(diǎn)，過(guò)A做一條直線l，如果函數(shù)y的圖象沿直線l翻折，直線l兩旁的函數(shù)圖象能夠完全重合，那么點(diǎn)A叫做這個(gè)函數(shù)的“和諧點(diǎn)”，直線l叫做這個(gè)函數(shù)的“和諧線”，一個(gè)函數(shù)可以有多個(gè)“和諧點(diǎn)”和多條“和諧線”．

(1)①若一次函數(shù)的一個(gè)“和諧點(diǎn)”是，則過(guò)A的“和諧線”是直線；②反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn)，“和諧線”是直線；③二次函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn)；(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)B，C均在坐標(biāo)軸上，，對(duì)角線，相交于點(diǎn)D，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，函數(shù)的“和諧點(diǎn)”在矩形的邊上，若函數(shù)的圖象與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，且，求a的取值范圍．2．新定義：如果實(shí)數(shù)m，n滿足時(shí)，則稱為“基礎(chǔ)點(diǎn)”，稱為“創(chuàng)新點(diǎn)”．例如，是“基礎(chǔ)點(diǎn)”，是“創(chuàng)新點(diǎn)”．(1)求正比例函數(shù)圖象上“創(chuàng)新點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上唯一的“基礎(chǔ)點(diǎn)”，點(diǎn)B，C是反比例函數(shù)函數(shù)圖象上的“創(chuàng)新點(diǎn)”，點(diǎn)M是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)．求當(dāng)面積與的面積相等時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)是拋物線上的“創(chuàng)新點(diǎn)”，若，且，求的取值范圍．3．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，作該函數(shù)自變量大于的部分關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”．例如：圖①是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖像如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為，也可以寫成．

(1)在圖③中畫出函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”的圖象；(2)函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出的值．4．我們定義【，，】為函數(shù)的“特征數(shù)”，如：函數(shù)的“特征數(shù)”是，函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，1，2】，函數(shù)的“特征數(shù)”是．(1)若二次函數(shù)，將此函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______．(2)將“特征數(shù)”是的函數(shù)圖象向上平移2個(gè)單位，得到一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)新函數(shù)的解析式是______．(3)在（2）中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖象分別與軸交于、兩點(diǎn)，與直線分別交于、兩點(diǎn)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，直接寫出以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)．5．新定義：如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么稱此二次函數(shù)的圖象為“定點(diǎn)拋物線”．(1)試判斷二次函數(shù)的圖象是否為“定點(diǎn)拋物線”；(2)若定點(diǎn)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；(3)若一次函數(shù)的圖象與定點(diǎn)拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，且，求的取值范圍．6．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)、和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)將拋物線平移，點(diǎn)平移到點(diǎn)．①定義：如果有一個(gè)點(diǎn)既在平移前的拋物線上又在平移后的拋物線上，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“平衡點(diǎn)”．如果平移所得新拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且點(diǎn)是“平衡點(diǎn)”，求的長(zhǎng)；②如果平移所得新拋物線的頂點(diǎn)在軸正半軸上，與軸交于點(diǎn)，且與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．7．新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過(guò)x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6a時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．8．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與某函數(shù)圖象交點(diǎn)記為點(diǎn)P，作該函數(shù)圖象中，點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形，與原函數(shù)圖象上的點(diǎn)P及點(diǎn)P右側(cè)部分共同構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)的圖象，稱這個(gè)新函數(shù)為原函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”．例如：圖1是函數(shù)的圖象，則它關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數(shù)”的解析式為．

(1)寫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的解析式為_________．(2)若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)，則_________．(3)以如正方形的頂點(diǎn)分別為：，其中．①若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，則______；②若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為______．9．如圖，拋物線上的點(diǎn)，，，分別關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，如下表：…………

（1）①補(bǔ)全表格；②在下圖中，描出表格中的點(diǎn)，，，，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)得到的圖象記為；描出表格中的點(diǎn)，，，，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成新定義：直線與軸交于點(diǎn)，我們把拋物線關(guān)于直線的對(duì)稱拋物線，叫作拋物線的“共線拋物線”；把拋物線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的拋物線，叫作拋物線的“共點(diǎn)拋物線”．問(wèn)題探究（2）①若拋物線與它的“共點(diǎn)拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，求的取值范圍；②若直線與拋物線、“共線拋物線”，“共點(diǎn)拋物線”有且只有四個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．③已知拋物線：的“共線拋物線”的解析式為．請(qǐng)寫出拋物線的“共點(diǎn)拋物線”的解析式．10．定義：對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0），若b2＝ac，則稱該拋物線為黃金拋物線．例如：y＝x2﹣x+1是黃金拋物線（1）請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)與上例不同的黃金拋物線的解析式；（2）將黃金拋物線y＝x2﹣x+1沿對(duì)稱軸向下平移3個(gè)單位①直接寫出平移后的新拋物線的解析式；②新拋物線如圖所示，與x軸交于A、B（A在B的左側(cè)），與y軸交于C，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③當(dāng)直線BC下方的拋物線上動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OBPC的面積最大并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形OBPC的最大面積．11．新定義：對(duì)于關(guān)于的函數(shù)，我們稱函數(shù)為函數(shù)y的m分函數(shù)（其中m為常數(shù)）.例如：對(duì)于關(guān)于x一次函數(shù)的分函數(shù)為（1）若點(diǎn)在關(guān)于x的一次函數(shù)的分函數(shù)上，求的值；（2）寫出反比例函數(shù)的分函數(shù)的圖象上y隨x的增大而減小的x的取值范圍：；（3）若是二次函數(shù)關(guān)于x的分函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，求y′的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍為；③若點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段MN有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍.12．新定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，如：y=-x2+2x+3的“圖象數(shù)”為[-1，2，3]（1）二次函數(shù)y=x2-x-1的“圖象數(shù)”為．（2）若圖象數(shù)”是[m，m+1，m+1]的二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．13．在平面直角坐標(biāo)系中，我們給出如下定義：對(duì)于兩點(diǎn)、，平面直角坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)，使得，則稱為線段的“奇妙點(diǎn)”．例如：如圖1，，為線段的“奇妙點(diǎn)”．

(1)已知點(diǎn)，點(diǎn)．下列是線段的“奇妙點(diǎn)”的有；①；②；③；④(2)如圖2，已知直線上有兩點(diǎn)、，若x軸上存在線段的“奇妙點(diǎn)”，求m的取值范圍；(3)如圖3，二次函數(shù)與x軸交于、B兩點(diǎn)，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，連接，已知點(diǎn)為直線上方一點(diǎn)，點(diǎn)為線段的“奇妙點(diǎn)”，連接，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)且，連接，求的最大值．14．已知，二次函數(shù)．(1)如圖，該二次函數(shù)圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)．①求該二次函數(shù)表達(dá)式；②當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為“三倍點(diǎn)”．在的范圍內(nèi)，若該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，且圖象上有且只有1個(gè)“三倍點(diǎn)”，直接寫出的取值范圍．15．若拋物線與頂點(diǎn)不同，且都經(jīng)過(guò)對(duì)方頂點(diǎn)，則稱與是一對(duì)“孿生拋物線”，它們頂點(diǎn)的連線稱為它們的“紐帶線”．例如：拋物線與拋物線是一對(duì)“孿生拋物線”，它們的“紐帶線”是直線l：．請(qǐng)根據(jù)上述定義解答下列問(wèn)題：(1)已知拋物線，下列是它的“孿生拋物線”的是________；（填寫序號(hào)即可）①；②；③(2)若一對(duì)“孿生拋物線”與的頂點(diǎn)分別為，，如圖，它們的“紐帶線”與拋物線交于，兩點(diǎn)．與雙曲線交于，兩點(diǎn)．已知，是線段的三等分點(diǎn)．求，的值；(3)已知拋物線：與拋物線：是一對(duì)“孿生拋物線”，將它們的“紐帶線”與軸、軸圍成的三角形面積記作，請(qǐng)求出的取值范圍．參考答案1．(1)①；②和；；③(2)a的取值范圍為且．【分析】（1）①求出“和諧線”與軸的交點(diǎn)，再用待定系數(shù)法求“和諧線”解析式即可；②根據(jù)題意得，反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是其圖象與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，“和諧線”是與其圖象有交點(diǎn)的對(duì)稱軸，得到“和諧線”是直線，再聯(lián)立函數(shù)即可求出“和諧點(diǎn)”；③根據(jù)題意得，二次函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是其圖象的頂點(diǎn)，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可解答；（2）根據(jù)函數(shù)的“和諧點(diǎn)”在矩形的邊上，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，可得，聯(lián)立和直線解析式，得到方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到，再結(jié)合求解a的取值范圍即可．【詳解】（1）解：①畫出一次函數(shù)及其“和諧線”，

設(shè)與軸交于點(diǎn)，“和諧線”與軸交于點(diǎn)，對(duì)于，令，則，解得：，，，，，，由題意得，，即，，，解得：，，設(shè)直線的解析式為，代入和得，，解得：，直線的解析式為，即過(guò)A的“和諧線”是直線；②根據(jù)題意得，反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是其圖象與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，“和諧線”是與其圖象有交點(diǎn)的對(duì)稱軸，“和諧線”是直線，聯(lián)立，解得：或，反比例函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn)和；③根據(jù)題意得，二次函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是其圖象的頂點(diǎn)，，二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，即二次函數(shù)的“和諧點(diǎn)”是點(diǎn)．故答案為：①；②和；；③．（2）矩形對(duì)角線，相交于點(diǎn)D，，即點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，，函數(shù)的“和諧點(diǎn)”在矩形的邊上，函數(shù)的頂點(diǎn)在邊上，，，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，代入到得，，，函數(shù)，設(shè)直線的解析式為，將代入得，，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立，消去整理得：，函數(shù)的圖象與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)E，方程的兩根為點(diǎn)A和點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，記為、，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，又，，，，且點(diǎn)A、E、D共線，，，解得：，又，，解得：，綜上所述，a的取值范圍為且．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，閱讀與理解能力，求兩函數(shù)的交點(diǎn)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)算量較大，理解題意中的概念將“和諧點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為其圖象與對(duì)稱軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)或或(3)【分析】（1）設(shè)正比例函數(shù)圖象上“創(chuàng)新點(diǎn)”的坐標(biāo)為，得到，據(jù)此計(jì)算即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得，由題意，解得，得到反比例函數(shù)的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的“創(chuàng)新點(diǎn)”，求得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為，，由面積與的面積相等，得到，分兩種情況討論即可求解；（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系求得，根據(jù)題意求得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)正比例函數(shù)圖象上“創(chuàng)新點(diǎn)”的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得，解得，則，∴正比例函數(shù)圖象上“創(chuàng)新點(diǎn)”的坐標(biāo)為；（2）解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，根據(jù)題意得，整理得，∵點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上唯一的“基礎(chǔ)點(diǎn)”，∴，解得，∴反比例函數(shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的“創(chuàng)新點(diǎn)”，根據(jù)題意得，消去并整理得，解得，，∴，，∴點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為，，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∵面積與的面積相等，∴，可設(shè)直線的解析式為，將代入得，∴直線的解析式為，聯(lián)立得，解得或，∴，在中，令，則，將直線向下平移4個(gè)單位的直線，直線與雙曲線的交點(diǎn)為，此時(shí)也滿足面積與的面積相等，聯(lián)立得，解得或，將或分別代入，得或，∴或，綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或；（3）解：∵點(diǎn)是拋物線上的“創(chuàng)新點(diǎn)”，則即，則即，∴是方程的兩個(gè)根，∴，∴，，∴，∵，且，∴，，，由，得；由，得；∴，設(shè)函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值隨自變量的增大而減少，當(dāng)，；當(dāng)，；∴，∴．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、新定義問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．3．(1)見(jiàn)解析(2)n的值為或．【分析】（1）根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫出函數(shù)的“鏡面函數(shù)”的圖像即可；（2）分直線過(guò)“鏡面函數(shù)”圖像與直線的交點(diǎn)和與原拋物線相切兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為函數(shù)的“鏡面函數(shù)”的圖像．

（2）解：如圖，

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；此時(shí)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”與直線有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線與原拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則有：，整理得，，此時(shí)，，解得，綜上，n的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義“鏡面函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．4．(1)【2，4，6】(2)(3)，14【分析】（1）根據(jù)“左加右減，上加下減”，得出，再結(jié)合“特征數(shù)”的定義，即可作答．（2）因?yàn)楹瘮?shù)的“特征數(shù)”是，所以這個(gè)函數(shù)是，再結(jié)合圖象向上平移2個(gè)單位，所以，即可作答．（3）依題意，分別求出，；因?yàn)樽C明四邊形是平行四邊形，運(yùn)用勾股定理列式，即可作答．【詳解】（1）解：∵先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，∴，結(jié)合定義：得出對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是【2，4，6】，故答案為：【2，4，6】；（2）解：∵函數(shù)的“特征數(shù)”是，∴這個(gè)函數(shù)是，∵圖象向上平移2個(gè)單位，∴，∴這個(gè)新函數(shù)的解析式是，故答案為：；（3）解：依題意，如圖所示：∴把分別代入，得，，則；∴把分別代入，得，，則；則∴四邊形是平行四邊形則∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的周長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)，新定義，難度適中，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．5．(1)是“定點(diǎn)拋物線”(2)(3)【分析】（1）把點(diǎn)代入計(jì)算，再根據(jù)“定點(diǎn)拋物線”的定義判定即可求解；（2）根據(jù)“定點(diǎn)拋物線”的定義可得當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)拋物線與直線交點(diǎn)的計(jì)算，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到，得到，由此即可求解；（3）一次函數(shù)的圖象與定點(diǎn)拋物線有交點(diǎn)，聯(lián)立方程可得∴，即，根據(jù)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)得到或，根據(jù)，得到，由此即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴是“定點(diǎn)拋物線”；（2）解：∵拋物線是定點(diǎn)拋物線，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∵定點(diǎn)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，∴，∴，把代入得，，∴，解得，；（3）解：根據(jù)題意，，整理得，，∴，即，∴或，∴交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或，∵，∴，解得，，∴的取值范圍為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)，一次函數(shù)圖形的性質(zhì)，交點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，求不等式的解集，掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)聯(lián)立方程求解，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)；(2)①；【分析】（1）待定系數(shù)法求得解析式，然后將代入，即可得出的坐標(biāo)；（2）①根據(jù)（1）的表達(dá)式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)平移后的解析式為，根據(jù)點(diǎn)是“平衡點(diǎn)”代入得出得出拋物線的平移方式是向上平移個(gè)單位，向右平移個(gè)單位，根據(jù)勾股定理，即可求解；②根據(jù)的坐標(biāo)，可得，分或，求得點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)，且，則平移后的拋物線解析式為，則即，進(jìn)而求得的值，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，拋物線（）經(jīng)過(guò)點(diǎn)、∴，解得：，∴拋物線表達(dá)式為，∵點(diǎn)在拋物線上∴∴；（2）解：①依題意，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵平移不改變開口方向，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴設(shè)平移后的解析式為∵點(diǎn)是“平衡點(diǎn)”∴解得：∴平移后的拋物線解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的平移方式是向上平移個(gè)單位，向右平移個(gè)單位；即點(diǎn)∴②∵與軸交于點(diǎn)當(dāng)時(shí)，∴∵∴∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵、∴∵，∴的解析式為：，，∴∴∵與相似∴有或

設(shè)點(diǎn)，且，則平移后的拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，∴，解得：；∴，解得：（負(fù)值舍去）當(dāng)時(shí)，∴解得：；∴，解得：（負(fù)值舍去）綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的平移，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)(2)(3)①或，②或【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式，之后得到函數(shù)的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，進(jìn)而得到，，，于是根據(jù)即可得到結(jié)論；（3）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可表達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長(zhǎng)，列出方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)得出的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出的值．【詳解】（1）解：∵C1與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為E（0，-1），∴，解得．∴C1的解析式為；（2）解：根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為，∵，∴的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為易得點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．

∴，，，∵，∴，即．解得，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）解：①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，解得或，∴或；②∵的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：Ⅰ．當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，∴，解得（舍）或（舍）；Ⅲ．當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去．綜上，a的值為或【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問(wèn)題，涉及等腰三角形以及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．(1)(2)或．(3)①或，②或或．【分析】（1）根據(jù)“迭代函數(shù)”的定義可知“迭代函數(shù)”的圖象是關(guān)于的對(duì)稱，故求出圖象上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”是關(guān)于對(duì)稱，求出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求出“迭代函數(shù)”的解析式即可；（2）先求出原拋物線當(dāng)時(shí)兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)“迭代函數(shù)”的對(duì)稱性可知與其中一點(diǎn)對(duì)稱，分兩種情況求解即可；（3）①先畫出函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象．根據(jù)三個(gè)公共點(diǎn)的不同情況分兩種情況求解即可；②根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對(duì)稱性可知．四個(gè)公共點(diǎn)的分別是第一象限兩個(gè)、第三象限或第二象限兩個(gè)，分別結(jié)合圖象進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴則點(diǎn)、關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，，設(shè)直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，則，解得，∴直線為，∴函數(shù)關(guān)于直線的”迭代函數(shù)”的解析式為；故答案為：（2），∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，解得：，，即與軸交點(diǎn)為、若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)，當(dāng)與是關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，，當(dāng)與是關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”圖象經(jīng)過(guò)，則或，故答案為：或．（3）①函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象如圖所示：

∴函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有3個(gè)公共點(diǎn)，有兩種情況：當(dāng)?shù)谝幌笙抻袃蓚€(gè)公共點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)交點(diǎn)在第三象限，當(dāng)圖象上的點(diǎn)，，此時(shí)，當(dāng)?shù)谌笙抻袃蓚€(gè)公共點(diǎn)時(shí)，第三個(gè)公共點(diǎn)在第一象限，函數(shù)圖象正好經(jīng)過(guò)正方形的頂點(diǎn)，，，此時(shí)，綜上所述：若函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，則或．②如圖：

若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，則第一象限一點(diǎn)一定有兩個(gè)交點(diǎn)它們是、；根據(jù)正方形和“迭代函數(shù)”的圖象對(duì)稱性，I．當(dāng)時(shí)，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形最多有3個(gè)公共點(diǎn)，II．當(dāng)時(shí)，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，III．當(dāng)，若第三象限由兩個(gè)公共點(diǎn)，則第二象限無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在正方形外，即：，解得：，此時(shí)點(diǎn)在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，即：時(shí)，“迭代函數(shù)”的圖象與正方形在第三象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，第二象限無(wú)公共點(diǎn)，Ⅳ．當(dāng)，若第二象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，則第三象限無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)在正方形內(nèi)，即：，解得：，此時(shí)點(diǎn)不在函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象，即：，∴．當(dāng)，若第二象限有兩個(gè)公共點(diǎn)，則第三象限無(wú)公共點(diǎn)，綜上所述：若，函數(shù)關(guān)于直線的“迭代函數(shù)”的圖象與正方形有4個(gè)公共點(diǎn)，n的取值范圍為或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運(yùn)用新定義”迭代函數(shù)”，能夠?qū)D象的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，借助圖象解題是關(guān)鍵．9．（1）①，；②見(jiàn)解析；（2）①；②且；③【分析】（1）①根據(jù)題意，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的坐標(biāo)即可；②通過(guò)描點(diǎn)連線，畫出和的圖象即可；（2）①觀察圖象，即可得到答案；②先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后分四種情況討論即可；③根據(jù)拋物線中保持不變，利用拋物線的解析式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式，得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)，求出，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線解析式中的值與拋物線中的值相同，即可求出拋物線的解析式．【詳解】解：（1）①由題意可知，和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，，，，，故答案為：，；②通過(guò)描點(diǎn)連接，和的圖象如下：

（2）①由圖象可知，當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)值隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，拋物線的函數(shù)值隨著的增大而減小，若拋物線與它的“共點(diǎn)拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，的取值范圍為；②拋物線，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖1，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線、“共線拋物線”，“共點(diǎn)拋物線”沒(méi)有交點(diǎn)，

如圖2，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線、“共線拋物線”，“共點(diǎn)拋物線”有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

如圖3，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線、“共線拋物線”，“共點(diǎn)拋物線”有且只有四個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，直線與拋物線L、“共線拋物線”，“共點(diǎn)拋物線”有且只有三個(gè)交點(diǎn)，

若直線與拋物線、“共線拋物線”，“共點(diǎn)拋物線”有且只有四個(gè)交點(diǎn)，的值為且；③由題意可知，拋物線中保持不變，的解析式為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的解析式中的，將代入拋物線：，得：，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，拋物線的頂點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線解析式中的值與拋物線中的值相同，拋物線的解析式為．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，中心對(duì)稱的點(diǎn)的特征，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，屬于閱讀型題目，理解題干中的新定義并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．10．（1）y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣1）；當(dāng)x＝1時(shí)，最大值是3，P（1，﹣2）【分析】（1）直接根據(jù)黃金拋物線的定義寫一個(gè)解析式即可；（2）①根據(jù)平移的知識(shí)直接寫出新拋物線的解析式；②設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E，若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO，連結(jié)PP′則PE⊥CO于E，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，進(jìn)而解方程求出x的值；③過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），先求出BC的直線解析式，進(jìn)而設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣2），根據(jù)S四邊形OBPC=S△OBC+S△BPQ+S△CPQ列出x的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)以及面積最大值．【詳解】解：（1）不唯一，例如：y＝x2+x+1；（2）①：y＝x2﹣x﹣2；②存在點(diǎn)P，如圖1，使四邊形POP′C為菱形．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣x﹣2），PP′交CO于E若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO．連結(jié)PP′則PE⊥CO于E，∴OE＝EC＝1，∴y＝﹣1，∴x2﹣x﹣2＝﹣1解得x1＝，x2＝（不合題意，舍去）∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣1）；③過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，如圖2設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），易得，直線BC的解析式：y＝x﹣2則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣2）．S四邊形OBPC＝S△OBC+S△BPQ+S△CPQ＝OB?OC+QP?OF+QP?FB＝＝﹣（x﹣1）2+3，當(dāng)x＝1時(shí)，四邊形OBPC的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，﹣2），四邊形OBPC的面積最大值是3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，此題涉及黃金拋物線新定義、菱形的判定與性質(zhì)、四邊形面積的求法等知識(shí)，解答此題要掌握黃金拋物線的定義，解答（2）問(wèn)需要掌握菱形的性質(zhì)以及分割法求四邊形的面積，此題難度不大．11．（1）n=3；（2）或；（3）①或；②；③m＜或≤m＜或≤m.【分析】（1）首先寫出一次函數(shù)的分函數(shù)，然后將點(diǎn)P代入即可求出n；（2）首先寫出反比例函數(shù)的分函數(shù)，然后根據(jù)反比例函數(shù)的增減性進(jìn)行判定；（3）①首先寫出二次函數(shù)的分函數(shù)，然后根據(jù)x的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分別求出對(duì)應(yīng)的y的取值范圍即可；②首先求出當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，當(dāng)時(shí)，，然后根據(jù)可知，求出時(shí)的值在-3和-4之間（包含-3和-4）對(duì)應(yīng)的x的取值范圍即可；③畫出和的函數(shù)圖像，求出兩函數(shù)圖象與y=1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后結(jié)合函數(shù)圖象分類討論，分別求出在不同的范圍內(nèi)與線段MN的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到符合題意的m的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意得：，∵，∴把代入得，∴；（2）由題意得：，根據(jù)函數(shù)解析式可知，當(dāng)或時(shí)，y隨x的增大而減小；（3）①由題意得：，當(dāng)時(shí)，的圖象y隨x的增大而減小，把代入，可得，把代入，可得；當(dāng)時(shí)，的圖象y隨x的增大而減小，把代入，可得，把代入，可得，綜上，的取值范圍為或；②∵把代入，可得，把代入，可得；∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，由①知，當(dāng)時(shí)，，把y＝－3代入，解得：（負(fù)值已舍去），把y＝－4代入，解得：（負(fù)值已舍去），∴的取值范圍為；③如圖為和的函數(shù)圖像，A、B、C、D分別是兩函數(shù)圖象與y=1的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得：，∴A點(diǎn)橫坐標(biāo)為，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為，聯(lián)立，解得：，∴B點(diǎn)橫坐標(biāo)為，C點(diǎn)橫坐標(biāo)為，結(jié)合函數(shù)圖象，分類討論：①當(dāng)m＜時(shí)，關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段MN有兩個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)≤m＜時(shí)，關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段MN有三個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)≤m＜時(shí)，關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段MN有兩個(gè)交點(diǎn)；④≤m＜時(shí)，關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段MN有一個(gè)交點(diǎn)；⑤當(dāng)≤m時(shí)，關(guān)于的二次函數(shù)的分函數(shù)，與線段MN有兩個(gè)交點(diǎn)；綜上所述：m的取值范圍是m＜或≤m＜或≤m.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解“m分函數(shù)”的定義，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程組確定函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．12．（1）[，?1，?1]；（2）m1＝?1，m2＝.【分析】（1）利用“圖象數(shù)”的定義求解；（2）根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，然后根據(jù)判別式的意義得到△＝（m＋1）2?4m（m＋1）＝0，從而解m的方程即可．【詳解】解：（1）二次函數(shù)y=x2-x-1的“圖象數(shù)”為[，?1，?1]；故答案為[，?1，?1]；（2）二次函數(shù)的解析式為y＝mx2＋（m＋1）x＋m＋1，根據(jù)題意得：△＝（m＋1）2?4m（m＋1）＝0，解得：m1＝?1，m2＝．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義及拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，把求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程是解題關(guān)鍵．13．(1)①④；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)“奇妙點(diǎn)”的定義求解即可；（2）方法一：如圖，首先得出、，設(shè)軸上存在點(diǎn)，根據(jù)題意得到，然后代入得到，然后利用判別式求解即可；方法一：如圖，首先求出，由軸上存在線段的“奇妙點(diǎn)”，設(shè)為點(diǎn)，得到在為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)，然后根據(jù)切線的性質(zhì)求解即可；（3）首先求出拋物線為，直線為，求出，，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，在軸上作點(diǎn)，連接，得到，推出當(dāng)、、共線時(shí)，最長(zhǎng)，，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）如圖所示，①；②；③；④由圖可得，，，，∴是線段的“奇妙點(diǎn)”的有①④；（2）方法一：如圖，∵直線上有兩點(diǎn)、，∴、，設(shè)軸上存在點(diǎn)，∵為線段的“奇妙點(diǎn)”，∴，∴，∴，整理得，∴，∴；方法二：∵、，∴，∵軸上存在線段的“奇妙點(diǎn)”，設(shè)為點(diǎn)，∴在為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)，如圖，①當(dāng)在軸下方且與軸相切時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)；②當(dāng)在軸上方且與軸相切時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，∴；（3）把代入得：，把代入得：，∴，即，∴拋物線為，直線為，∴，∴，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵為線段的“奇妙點(diǎn)”，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓弧上，在軸上作點(diǎn)，連接