第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《反比例函數與三角形的綜合應用》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，．是反比例函數的圖像在第一象限內的一動點，當軸時，的面積為2．(1)求反比例函數的表達式；(2)如圖2，當點在射線上時，為軸正半軸上一點，若以，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標．2．在平面直角坐標系中，直線與反比例函數圖象交于，兩點，與軸交于點，點關于原點的對稱點為點．(1)求反比例函數表達式及點的坐標；(2)如圖1，連接交軸于點．點在軸上，若以點，，為頂點的三角形與相似，求點的坐標；(3)如圖2，點是線段上一點．連接，交反比例函數在第一象限的圖象于點，連接，，．記的面積為，的面積為．當的值最小時，求的值．3．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸、軸分別交于兩點，與反比例函數的圖象相交于兩點，點的橫坐標為，軸，垂足為點．(1)求出點，，的坐標；(2)若點是反比例函數圖象上的一個動點且位于點右側，連接，過點作軸，垂足為點．是否存在這樣的點，使得以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，請求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，直線與軸和軸分別交于點和點，與反比例函數的圖象在第一象限內交于點．(1)求直線和反比例函數的解析式；(2)將直線平移得到直線，若直線與兩坐標軸圍成的三角形面積是面積的倍，求直線的解析式；(3)對于點，我們定義：當點滿足時，稱點是點的等和點．試探究在反比例函數圖象上是否存在點，使點的等和點在直線上?若存在，請求出點的坐標；若不存在，說明理由．5．在直角坐標系中，已知，設函數與函數的圖象交于點和點．已知點的橫坐標是1，點的縱坐標是．(1)求，的值；(2)根據圖像，直接寫出當時自變量的取值范圍；(3)若直線與軸、軸分別交于、兩點，在軸上找一點，使得以、為頂點的三角形與相似，請直接寫出點坐標．6．如圖，一次函數與反比例函數相交于點兩點，點的坐標為，直線交軸于點，交軸于點，點是線段上一點，軸交反比例函數圖象于點，交軸于點，連接．(1)請直接寫出________，_____(2)當時，是_____三角形，并求點的坐標；(3)在第（2）問條件下，連接，問直線是否經過原點，請說明理由．7．如圖，直線與反比例函數在第一象限內的圖象交于點，與軸交于點，過雙曲線上的一點作軸的垂線，垂足為點，交直線于點，且．(1)求的值；(2)若將四邊形分成兩個面積相等的三角形，求點的坐標．8．如圖，正比例函數圖像與反比例函數圖像交于點，直線，交y軸于點B，x軸于點D，交雙曲線于點C，C點橫坐標為8，連接，．(1)求正比例函數，反比例函數解析式；(2)求的面積．(3)點P是y軸上一點，使得以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形；請直接寫出點P坐標．9．如圖，直線經過兩點，與雙曲線交于點．(1)求直線和雙曲線的解析式．(2)過點C作軸于點D，點P在x軸上，若以O，A，P為頂點的三角形與相似，直接寫出點P的坐標．10．如圖1，在平面直角坐標系中，已知點，．P是反比例函數的圖象在第一象限內的一動點，當軸時，的面積為．(1)求反比例函數的表達式；(2)如圖2，當點P在射線上時，Q為x軸正半軸上一點，若以P，O，Q為頂點的三角形與相似，求點Q的坐標；(3)若點P是使的面積取得最小值的點，將線段沿著x軸向右平移n個單位長度，平移后對應的線段為的垂直平分線恰好經過點P，求n的值．11．已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點；與x軸交于點C．(1)求一次函數和反比例函數的表達式；(2)若點P在y軸上，且滿足求點P的坐標；(3)我們將有一個內角為的三角形稱為“半直角三角形”，這個角所對的邊為“半直角邊”．反比例函數在第四象限的圖象上是否存在點Q，使得是不以為“半直角邊”的“半直角三角形”？若存在，請求出點`Q的坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，B兩點，已知點A坐標為，點B的坐標為．(1)求反比例函數的解析式和一次函數的解析式；(2)觀察圖象直接寫出滿足時的x的取值范圍；(3)P為x軸上一動點，當三角形為等腰三角形時，求點P的坐標．13．如圖，一次函數與反比例函數的圖象交于點，與軸交于點．

(1)點的坐標為_______；(2)連接并延長，與反比例函數的圖象交于點，點在軸上，若以為頂點的三角形與相似，求點的坐標．14．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于，兩點，與軸、軸分別交于點，已知點的坐標為，點的坐標為．(1)求一次函數和反比例函數的解析式；(2)若點在軸上，以、、為頂點的三角形與相似時，求點的坐標；(3)點是直線下方反比例函數圖象上一點，當的面積為時，求點的坐標．15．已知一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于A，兩點，一次函數的圖象交y軸于點B．(1)求點C的坐標和反比例函數的表達式；(2)如圖，直線交反比例函數圖象一象限分支于點F，連接，作射線軸．求證：射線平分；(3)目前，數學家探究出三角形的“幾何心”有四萬余個，某校興趣小組研究后定義：三角形內有一點，將三角形的某兩個頂點分別與該點連接產生兩條線段，若兩條線段相互垂直且其中有一條線段平分一個內角，則稱該點為該三角形的“蓉心”．點D、E分別是反比例函數一、三象限分支上的點，連接、、，若點B是的“蓉心”，求點D的坐標．參考答案1．(1)(2)或【分析】本題考查待定系數法求反比例解析式，相似三角形判定及性質等．（1）設點，繼而得到，根據面積列式得，求出，再代入反比例解析式即可求出；（2）先求出，后分兩種情況討論，①當時和②當與不平行時，分別利用相似三角形判定及性質即可作答．【詳解】（1）解：軸，，設點，，的面積為，，解得，，點在反比例函數圖像上，，反比例函數表達式為：；（2）解：點，直線表達式為，點是射線與反比例函數交點，，∴，①當時，，，即，，，②當與不平行時，，，即，，，綜上，符合條件的點坐標為或．2．(1)，(2)點N的坐標為或(3)【分析】（1）先由一次函數表達式求出A坐標，進而得到k值，再聯立兩個函數表達式求B點坐標即可；（2）先求出D點坐標和直線解析式，進而求得M坐標，可知，所以只需討論是以為腰的等腰三角形即可得解；（3）過作軸，交延長線于點M，過Q作軸交于點N，則，進而求出最大值即可得解．【詳解】（1）解：由題可知點A在上，∴，∴，把代入，∴，即反比例函數表達式為；依題意，得，則，整理得解得或，經檢驗：或是原分式方程的解，∵，∴把代入，得∴；（2）解：∵點B和點D關于點O對稱，且，∴，依題意，設直線表達式為，將，代入得，，解得，∴直線表達式為，令得，解得，∵連接交軸于點∴，∵直線與軸交于點，∴令，則，解得，∴，∵，則，，∴；∵以點，，為頂點的三角形與相似，∴①若時，則，設∵，則，解得或（舍去）；∴，②時，此時，設，則，∴，解得，∴，綜上，點N的坐標為或（3）解：如圖，過D作軸，交延長線于點M，過Q作軸交于點N，∵過D作軸，交延長線于點M，且∴，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴，則，∴，∴要使的值最小，則求最大即可，設則，∴，∵∴∴則，當且僅當時取等，∴當（負值舍去）時，最大，∵，此時，∴∴，∵O是的中點，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了反比例函數綜合，涉及相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、勾股定理等內容，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．3．(1)，，；(2)或．【分析】本題考查了一次函數與反比例函數的綜合應用，一次函數與坐標軸的交點坐標，相似三角形的性質，一元二次方程的解法，掌握知識點的應用及分類討論是解題的關鍵．（）由一次函數可得當，，，分別求解對應的，，從而可得點的坐標；（）代入的坐標可得反比例函數解析式，證明，由在的右側，分兩種情況：當時，設；當時，再利用相似三角形的性質建立方程求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象與軸、軸分別交于兩點，∴當時，；當時，；當時，；∴，，；（2）解：∵在反比例函數的圖象上，∴，∴反比例函數解析式為，∵，∴，當時，設，∴，解得：，（不符合題意，舍去），∴，當時，∴，解得：，（不符合題意，舍去），∴，∴，綜上：或．4．(1)，；(2)或；(3)存在，點的坐標為或．【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函數的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函數的解析式；將直線沿軸方向向上平行移動時，根據平移的性質可得，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得，的長度就是直線中的；將直線沿軸方向向下平行移動時，根據平移的性質可得，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得：，其中的長度是直線中的的相反數；根據等和點的關系和點、點所在的解析式，設點，點，根據等和點的坐標之間的關系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函數解析式，即可求出符合要求的點的坐標．【詳解】（1）解：把代入，可得：，，反比例函數的解析式為，把代入，可得：，，直線的解析式為；（2）解：，點的坐標是，，如下圖所示，將直線沿軸方向向上平行移動時，設直線與，軸分別交于點，，則，，，，，直線與直線平行，，直線的解析式為；將直線沿軸方向向下平行移動時，設直線與，軸分別交于點，，則，，，，，直線與直線平行，，直線的解析式為；綜上所述，直線的解析式為或；（3）解：點的坐標為或，點在圖象上，點在直線上，設點，點，點是點的等和點，，，，，，經檢驗，，均是原分式方程的根，當時，，此時點的坐標為，當時，，此時點的坐標為，綜上所述，在的圖象上存在點，使點的等和點在直線上，點的坐標為或．【點睛】本題主要考查了一次函數與反比例函數的綜合性、求一次函數的解析式、求反比例函數的解析式、相似三角形的判定與性質、函數圖象的平移，解決本題的關鍵是根據函數的圖象與性質找到相應的點的坐標，再根據坐標求出解析式．5．(1)，(2)或(3)或【分析】本題考查了反比例函數，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：（1）由待定系數法求出函數解析式，即可求解；（2）觀察函數圖象即可求解；（3）分兩種情況：或討論，然后根據相似三角形的判定與性質求解即可．【詳解】（1）解：對于，當時，，∴，代入，得，∴，∴，當時，，解得，∴代入，得，解得；（2）解：觀察函數圖象知：當時，自變量x的取值范圍為或；（3）解：由（1）知：，當時，，∴，當時，，解得，∴，∴，，∴，∵，∴當時，如圖，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；當時，如圖，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴；綜上，點P的坐標為或．6．(1)；(2)等腰直角，(3)是，理由見解析【分析】（1）點分別代入和，求出結果即可；（2）過點作的垂線，垂足為，求出直線與y軸和x軸的交點為，得出，根據平行線的性質得出，證明是等腰直角三角形，設點，則，得出，根據點F在反比例函數圖象上，得出，求出a的值即可；（3）先求出點的坐標為，根據點，得出B、F關于原點對稱，得出經過原點．【詳解】（1）解：將點分別代入和中得：，，解得：；（2）解：過點作的垂線，垂足為，如圖所示：直線與軸，軸分別交于點，，是等腰直角三角形，即，垂直軸，軸，，，是等腰直角三角形，設點，則，，，點在反比例函數圖象上，，，（舍去）；（3）解：∵點是直線與雙曲線的交點，，，（舍去），點的坐標為，由（2）可知點，∵點與點的橫縱坐標互為相反數，∴關于原點對稱，直線會經過原點．【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，等腰三角形的判定和性質，關于原點對稱點的特點，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法．7．(1)，(2)【分析】本題主要考查反比例函數的圖形和性質，一次函數的圖象和性質，熟練掌握一次函數和反比例函數的圖象和性質及待定系數法求函數解析式是解題的關鍵．（1）根據解析式求出點的坐標，根據點的坐標和點的坐標得出三角形的面積，根據面積比求出三角形的面積，設出點的坐標，根據面積求出的值，再用待定系數法求出即可；（2）根據點的坐標得出點的坐標，再根據面積相等列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵直線與y軸交點為，∴，即，∵點的橫坐標為，，，，設，，解得，∵點在雙曲線上，把點代入得，；（2）解：∵將四邊形分成兩個面積相等的三角形，解得或(不符合題意，舍去)，∴點的坐標為．8．(1)正比例函數的解析式為，反比例函數的解析式為(2)18(3)點P的坐標為或，，【分析】本題考查待定系數法求解析式，直線圍成的圖形的面積，等腰三角形的定義及性質，掌握數形結合思想，分類討論思想是解題的關鍵．（1）根據待定系數法求解即可；（2）根據點C在反比例函數的圖像上，求出點C的坐標為，設直線的解析式為，把點C坐標代入求得直線的解析式為．過點作軸，交于點E，求出，得到，根據即可求解；（3）分三種情況分別討論：①，②，③進行求解即可．【詳解】（1）解：∵正比例函數圖像過點，∴，解得，∴正比例函數的解析式為．∵反比例函數圖像過點，∴，解得，∴反比例函數的解析式為．（2）解：∵點C的橫坐標為8，且點C在反比例函數的圖像上，∴當時，，∴點C的坐標為，∵，且的解析式為，∴設直線的解析式為，∵直線過點，∴，解得，∴直線的解析式為．過點作軸，交于點E，∴點E的橫坐標為4，把代入函數中，得，∴，∴，∴．（3）解：把代入函數，得，∴，∵把代入函數，得，解得，∴，∴．若以點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形，分三種情況討論：①如圖，若，∵軸，∴點B與點P關于x軸對稱，∴．②如圖，若，∵，∴或．③如圖，若，則設點P的坐標為，∵，，∴，，∵，∴，即，∴，解得，∴．綜上所述，點P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為或，，．9．(1)直線解析式為，雙曲線解析式為(2)點P坐標為或或或【分析】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用，相似三角形的性質：（1）待定系數法求出一次函數的解析式，進而求出點的坐標，再利用待定系數法求出反比例函數的解析式即可；（2）分和，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：直線經過兩點，∴，解得：，∴，當時，，解得：，∴，∴，∴；（2）∵，，∴，，當以O，A，P為頂點的三角形與相似時，分兩種情況進行討論：①當，則：，∴，∴，∴或；②當，則：，∴，∴，∴或；綜上：點P坐標為或或或．10．(1)(2)或(3)【分析】（1）設點，根據的面積為，列出方程，解得，求出反比例函數解析式即可；（2）先求出點坐標及長，分兩種情況①當時，，②當與不平行時，討論求出點坐標即可；（3）先求出當面積最小時點坐標，再求出線段的垂直平分線解析式為：，根據平移法則得到，代入點坐標求出值即可．【詳解】（1）解：設點，軸，，的面積為，，解得，，，點在反比例函數圖象上，，反比例函數解析式為：；（2）解：點，直線解析式為，點是射線與反比例函數交點，，，，①當時，，，即，，，；②當與不平行時，，，即，，，．綜上分析，符合條件的點坐標為或；（3）解：設直線解析式為，把點，代入得，解得，直線解析式為，設直線向上平移個單位與雙曲線相切，則有，整理得：，，解得或（舍去），當時，，解得，即點是使的面積取得最小值的點坐標為，此時軸，點，，線段的中點坐標為，線段的垂直平分線解析式為：，將線段沿著軸向右平移個單位長度，即將線段的垂直平分線向右平移個單位長度，平移后線段的垂直平分線解析式為：，此時解析式過點，，解得：．【點睛】本題考查了反比例函數的綜合應用，垂直平分線的性質，待定系數法解一次函數，相切的性質，一元二次方程的判別式，相似三角形判定的判定與性質，熟練掌握相似三角形判定及函數平移法則是關鍵．11．(1)，(2)或(3)或【分析】（1）待定系數法進行求解即可；（2）設，根據，結合，列出方程進行求解即可；（3）分和兩種情況，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點；∴，∴，∴，，∴，解得：，∴；（2）設直線交軸與點，∵，∴當時，，時，，∴，∴，設，∴，∵，∴，∴，∴或，∴或；（3）存在；①當時，將繞點旋轉90度得到，連接，交的延長線于點，如圖，則：，，，∵，∴，∴，∴，設的解析式為：，則：，∴，∴，聯立，解得：或（舍去）；∴；②當時，將繞點旋轉90度得到，連接交于點，則，，∴，∴，同法可得：的解析式為：，聯立，解得：或，∴；綜上：或．【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用，待定系數法求函數解析式，分割法求面積，旋轉的性質，綜合性強，難度大，計算量大，熟練掌握相關知識點，利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．12．(1)，(2)或；(3)或或或．【分析】（1）利用待定系數法求兩函數的解析式；（2）直接由圖象一次函數在反比例函數上邊時對應的取值；（3）存在三種情況：，，，根據點的坐標綜合圖形可得點的坐標．【詳解】（1）解：點坐標為，把點的坐標代入得：，反比例函數的解析式是；把點的坐標為代入得：，解得：，；把、兩點的坐標代入中得：，解得：，一次函數的解析式為：；（2）如圖，由圖象得：時的取值范圍是：或；（3）當是等腰三角形時，存在以下三種情況：當時，如圖，，，或；當時，如圖，

設，∴，解得：或（不符合題意舍去），；當時，如圖，過作軸于，

設，則，，，，，；綜上，的坐標為或或或．【點睛】本題屬于反比例函數與一次函數的綜合題，主要考查了利用待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理的應用，反比例函數與一次函數圖像與性質，反比例函數與一次函數交點問題，本題難度適中，運用分類討論思想是解答本題的關鍵．13．(1)；(2)，．【分析】（）將點的坐標代入關系式，求出的值，令即可得出答案；（）先求出，，，再確定點的位置，然后分兩種情況和，再根據相似三角形的對應邊成比例求出答案即可；此題考查了待定系數法求關系式，相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是根據相似三角形的性質進行分類討論．【詳解】（1）∵一次函數圖象過點A，∴，解得：，∴一次函數解析式為，當時，，∴點，故答案為：；（2）當點落在軸的正半軸上，則，∴與不可能相似．當點落在軸的負半軸上，若，∵，，∴，若，則，∵，∴，∴，綜上所述：點的坐標為．14．(1)(2)點的坐標為、(3)點的坐標為、【分析】本題是反比例函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定和性質，三角形的面積，正確地求出函數的解析式是解題的關鍵．（1）把點代入得到反比例函數的解析式為；把代入得到點的坐標為，解方程組得到一次函數的解析式為；（2）設，解方程得到，，根據相似三角形的性質即可得到結論；（3）設點的坐標為，當點在第四象限時，當點在第二象限時，根據三