第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《二次函數中線段定值的存在性問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，拋物線交軸于點和點，交軸于點，拋物線的頂點為點，點在拋物線上．(1)求該拋物線的函數表達式；(2)如圖1，求的面積；(3)如圖1，在軸下方的拋物線上找一點，使，求點的坐標；(4)如圖2，對稱軸垂直于軸于點，點是線段上的動點（除、外），過點作軸的垂線交拋物線于點，連接．直線分別與拋物線的對稱軸交于兩點．試問：是否為定值？如果是，請直接寫出這個定值；如果不是，請說明理由．2．已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，對稱軸為直線，直線交拋物線于點，連接．(1)求拋物線對應的函數表達式；(2)如圖1所示，點在線段上運動，過點作的平行線，交于點，連接，求面積的最大值；(3)如圖2所示，直線上有一個動點，點在第一象限內，過點作任意一條直線交拋物線于，兩點，，所在的直線，分別交軸與，兩點，則是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．3．如圖，已知二次函數的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．(1)求出點A，B，C的坐標；(2)以為直徑作，交y軸正半軸于點E，直線平分，交y軸于點F，與關于直線對稱．求證：點B，I，F三點共線．(3)點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，點R是線段上的動點（除B，D外），過點R作x軸的垂線交拋物線于點K，直線分別與拋物線對稱軸交于M，N兩點．試問：是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，說明理由．4．如圖，拋物線與軸交于A，兩點，與軸交于點，頂點為．其中，．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖（1），在第三象限內拋物線上是否存在點，使，若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖（2），過拋物線對稱軸上點的直線交拋物線于，兩點，線段的中點是，過點作軸的平行線交拋物線于點．若是一個定值，求點的坐標．5．如圖1，拋物線與軸交于、兩點（點在點左側），與軸負半軸交于點，若且．

(1)求該拋物線的函數解析式；(2)如圖1，點在第四象限內的拋物線上且平分，求點的坐標；(3)如圖2，直線與線段交于點，與拋物線交于點，動點在B、G兩點之間的拋物線上，直線、與直線分別交于、兩點，若恒為定值，求的值．6．如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=900，AC=BC,點A、C在x軸上，點B坐標為(3，m)（m>0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的拋物線過點B、D．（1）求點A的坐標（用m表示）；（2）求拋物線的解析式；（3）設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連結PQ并延長交BC于點E，連結BQ并延長交AC于點F，試證明：FC(AC+BC)為定值．7．如圖，拋物線y＝＋bx＋c的頂點為C（0，－），與x軸交于點A、B，連接AC、BC，得等邊△ABC．T點從B點出發，以每秒1個單位的速度向點A運動，同時點S從點C出發，以每秒個單位的速度向y軸負方向運動，TS交射線BC于點D，當點T到達A點時，點S停止運動.設運動時間為t秒.（1）求二次函數的解析式；（2）設△TSC的面積為S，求S關于t的函數解析式；（3）以點T為圓心，TB為半徑的圓與射線BC交于點E，試說明：在點T運動的過程中，線段ED的長是一定值，并求出該定值.8．拋物線交軸于，兩點（在的左邊）．（1）的頂點在軸的正半軸上，頂點在軸右側的拋物線上．①如圖（1），若點的坐標是，點的橫坐標是，直接寫出點，的坐標；②如圖（2），若點在拋物線上，且的面積是12，求點的坐標；（2）如圖（3），是原點關于拋物線頂點的對稱點，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點）于，兩點，若直線與拋物線只有一個公共點，求證的值是定值．9．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數（）的圖象經過點和點，與軸交于點，連接，，現有兩動點，分別從，兩點同時出發，點以每秒4個單位的速度沿向終點移動，點以每秒1個單位的速度沿向點移動點停止運動時，點也同時停止運動，線段，相交于點，過點作，交于點，射線交軸于點，設動點、移動的時間為（單位：秒）．（1）求經過，，三點的二次函數解析式；（2）點、點在運動過程中，的面積是否總為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．（3）當為何值時，為等腰三角形？請寫出解答過程．10．如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．連接AC，BC，點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m．（1）求此拋物線的表達式；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N，請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？（3）若拋物線上有且僅有三個點M1、M2、M3，使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面積均為定值S，求出滿足條件的定值S．11．如圖1，二次函數經過點，，且與y軸交于點．(1)求二次函數的解析式；(2)如圖2，直線過點，與二次函數交于點、，若，求的面積；(3)如圖3，直線、過點，與二次函數分別交于點、與、，線段交y軸于，線段交y軸于，①求的值；②線段與線段的長度的積是否為定值?若是，請求出定值；若不是，請說明理由．12．如圖，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點，是第一象限內拋物線上的一點且橫坐標為．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，連接，交線段于點，若，求的值．(3)如圖2，已知拋物線的對稱軸交軸于點，與直線，分別交于、兩點．試問是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．13．已知拋物線：與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，為等腰直角三角形，且．(1)求拋物線的解析式；(2)將向上平移一個單位得到，點M、N為拋物線上的兩個動點，O為坐標原點，且，連接點M、N，過點O作于點E，求點E到y軸距離的最大值；(3)如圖，若點F的坐標為，直線l分別交線段，（不含端點）于G、H兩點．若直線l與拋物線有且只有一個公共點，設點G的橫坐標為b，點H的橫坐標為a，則是定值嗎？若是，求出定值，若不是，請說明理由．14．拋物線與軸交于點A和點B（點A在原點的左側），與軸交于點C，．(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，過線段上一點E作軸，在第一象限交拋物線于點P，軸交于點F，當的面積為時，求點P的橫坐標；(3)如圖2，D為對稱軸右邊拋物線上的任意一點，連接，分別交于M、N兩點，試證明為定值．15．如圖1，拋物線，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，其中點A坐標為，點B坐標為，F為拋物線頂點，直線垂直于x軸于點E．(1)求拋物線的表達式：(2)點P是線段BE上的動點（除B、E外），過點P作x軸的垂線交拋物線于點D．①當點P的橫坐標為2時，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點．試問，是否為定值？如果是：請求出這個定值；如果不是，請說明理由．參考答案1．(1)(2)1(3)(4)是定值，定值為8【分析】（1）運用待定系數法求解即可；（2）根據題意得到頂點，，由即可求解；（3）如圖所示：過點作軸，垂足為，則，則，可得直線為：，聯立，即可求解；（4）設，由的坐標得，直線的表達式為：，當時，，即，由點的坐標得，直線的表達式為：，當時，，由此即可求解．【詳解】（1）解：拋物線經過點，，，解得，該拋物線的函數表達式為：；（2）解：，∴頂點，，又∵，∴軸，，；（3）解：如圖所示：過點作軸，垂足為，則，，，設直線與軸相交于點，∵，，∴∴，設直線的解析式為，∴點代入得：，解得，∴直線為：，聯立，解得；（4）解：設，由的坐標運用待定系數法得，直線的表達式為：，當時，，即，由點的坐標運用待定系數法得，直線的表達式為：，當時，，則是為定值，定值為8．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，二次函數幾何圖形面積的計算，解直角三角形的計算，二次函數與線段長度的計算，掌握二次函數圖象的性質是關鍵．2．(1)(2)6(3)為定值，該定值為4【分析】（1）將將代入，可求得，再根據對稱軸為直線，求得即可得拋物線對應的函數表達式；（2）先求得，，則，再求得，設，則，，，由，可知，得，則，再根據，即可求解；（3）設點，設直線的解析式為，，，則，，得，則，為方程的解，可得，，如圖，作軸于點，作軸于點，則，可知，求得，同理，，則，進而可得為定值，該定值為4．【詳解】（1）解：將代入，得：，∵對稱軸為直線，即，∴，∴拋物線對應的函數表達式為；（2）當時，，解得：，，∴，，則，當時，，即，設，則，，，∵，∴，∴，則，∴，∴當時，的面積有最大值6；（3）為定值，該定值為4，理由如下：設點，設直線的解析式為，，，則，，∴，即設直線的解析式為，則，為方程的解，整理得，∴，，如圖，作軸于點，作軸于點，則，∴，即，∴，同理，，則，∴，即：為定值，該定值為4．【點睛】本題是二次函數綜合題，考查二次函數的性質，用待定系數法求函數的解析式，相似三角形的判定和性質，根和系數的關系等．解決（3）問的關鍵的是通過相似三角形用坐標表示出線段，的長．3．(1)(2)見解析(3)是定值，．理由見解析【分析】本題主要考查了解直角三角形、二次函數的圖像及性質、求一次函數、軸對稱的性質等知識點，熟練掌握解直角三角形、二次函數的圖像及性質是解題的關鍵．（1）令，得，解得：，令，得，即可完成解答；（2）利用待定系數法得直線的解析式為，再證點F在上即可解答；（3）設，先求得直線的解析式為，直線的解析式為，進而得、，從而完成解答．【詳解】（1）解：令，得，解得，令，得，∴．（2）證明：由（1）可知，∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵直線平分，∴，∴，∴，∵與關于直線對稱，直線平分，∴點與點B重合，，∴，過點I作軸于H，如圖1，∵，∴，∴，∴，設直線的解析式為，把，代入得：，解得，∴直線的解析式為，當時，，∴點在直線上，∴點B，L，F三點共線．（3）解：是定值，．理由如下：如圖2，設，設直線的解析式為，則有：，解得：，∴直線的解析式為，同理可得直線的解析式為．令得，∴，∴是定值．4．(1)(2)(3)【分析】本題主要考查二次函數的圖象和性質、求函數解析式、正切函數、二次函數與幾何的綜合等知識點，用參數表示一次函數的解析式和線段長是解題的關鍵．（1）直接運用待定系數法求解即可；（2）如圖：過點E作軸于F，過點D作軸于G，設點，由得，然后得到關于m的方程求解即可；（3）設，直線的解析式為：，表示出，，結合是一個定值，求出t的值即可．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于A，兩點，與軸交于點，頂點為．其中，，將A，D兩點坐標代入可得：∴，解得．∴該拋物線的解析式為；（2）解：如圖（1），過點E作軸于F，過點D作軸于G，則，∵，，∴，，把代入得，∴，∴，設點，則，，∴，∵，∴，∴，即，解得或（不合，舍去），∴．（3）解：如圖2：過拋物線對稱軸上點P的直線交拋物線于F，G兩點，線段的中點是M，過點M作y軸的平行線交拋物線于點D．

設，設直線的解析式為：，∴，即，∴直線的解析式為：，設，，由，得：，∴，∴，，∴，，∵線段的中點是M，∴，，∴，∴，∴，∴當時，即時，是定值，∴．5．(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次函數綜合，涉及二次函數的圖象的性質，待定系數法求二次函數解析式，一次函數與二次函數的交點問題，待定系數法求一次函數解析式，全等三角形的判定與性質，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．（1）利用二次函數的對稱性及對稱軸求出、的坐標，再求出的坐標，待定系數法求解析式即可；（2）利用角平分線及構造全等三角形，求出點坐標，即可求出直線解析式，聯立二次函數即可求解；（3）設，求出直線和直線的解析式，當時，求出和，表示出，利用恒為定值即可求解．【詳解】（1）解：如圖，設拋物線對稱軸與軸交于點，

∵的對稱軸為直線，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，，，將，代入拋物線解析式，得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：如圖，過點作軸，交延長線于點，

∵，，∴，∴，∵平分，∴，在與中，，∴，∴，∴，設直線的解析式為，代入，，得：，解得：，∴直線的解析式為，聯立與，得，解得：，，當時，，則；（3）解：設，由，，設直線解析式為：，則，解得：，∴直線解析式為：，設直線解析式為：，則，解得：，直線解析式為：，當時，，，∴，∵恒為定值，∴．6．（1）（）；（2）；（3）見解析.【詳解】試題分析：（1）AO=AC-OC=m-3，用線段的長度表示點A的坐標；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD也是等腰直角三角形，∴OD=OA，∴D（0，m-3），又P（1，0）為拋物線頂點，可設頂點式，求解析式；（3）設Q（x，x2-2x+1），過Q點分別作x軸，y軸的垂線，運用相似比求出FC、EC的長，而AC=m，代入即可．試題解析：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC為等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m-3，∴點A的坐標是（3-m，0）．（2）∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3，則點D的坐標是（0，m-3）．又拋物線頂點為P（1，0），且過點B、D，所以可設拋物線的解析式為：y=a（x-1）2，得：解得∴拋物線的解析式為y=x2-2x+1；（3）證明：過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，設點Q的坐標是（x，x2-2x+1），則QM=CN=（x-1）2，MC=QN=3-x．∵QM∥CE∴△PQM∽△PEC∴即，得EC=2（x-1）∵QN∥FC∴△BQN∽△BFC∴，即，得FC=又∵AC=4∴FC（AC+EC）=[4+2（x-1）]=（2x+2）=×2×（x+1）=8即FC（AC+EC）為定值8．點睛：本題是二次函數綜合題，考查了點的坐標、拋物線的解析式的求法、綜合運用相似三角形的比求線段的長度，本題頁可以先求出直線PE、PF的解析式，利用解析式求FC、EC的長.7．（1）y=x2﹣；（2）S=；（3）1．【詳解】（1）∵y=ax2+bx+c的頂點是（0，-），∴拋物線的對稱軸是y軸，∴b=0，故可設拋物線的解析式是：y=ax2-,1分又∵三角形ABC是等邊三角形，且有CO⊥AB，CO=∴AO=1，∴A（-1,0）2分把點A代入y=ax2-，得a=∴拋物線的解析式是y=x2-.3分（2）當0＜t＜1，SΔTCS=；4分當1＜t＜2，SΔTCS=，5分（3）當0＜t＜1，（如圖1）過D作DH⊥y軸，顯然有TB=TE，又∠B=60度，∴三角形TBE為等邊三角形，∴BE=TB=t，∵ΔSDH∽ΔSTO，設DH=a，則有，即，∴a=，∴DC=1-t，7分∴DE="CB-EB-DC=2-t-(1-t)=1."8分當1＜t＜2，（如圖2）同理，ΔSDH∽ΔSTO，即有，a=，DC=t-1，∴DE="DC+CE=t-1+(2-t)=1."10分圖1

圖2（1）利用頂點坐標和等邊三角形，求出拋物線的解析式（2）當0＜t＜1時，當1＜t＜2兩種情況表示（3）如圖1、2，根據相似三角形的性質求證8．（1）①，；②點的坐標是．（2）見解析【分析】（1）①根據函數圖象與x軸的交點，令y=0，求出，點E在拋物線上，求出縱坐標為，再根據平行四邊形的性質，求出；②連，過點作軸垂線，垂足為，過點作，垂足為，設點坐標為，點坐標為，根據平行四邊形的性質，與點在拋物線上，得到，再由則，列出方程求解；（2）方法一：先求出G、H兩點的橫坐標，再利用求解即可；方法二：先用待定系數法求出直線與直線l的表達式，根據直線l與拋物線有唯一的交點，求出點坐標為，點坐標為，再求出結果．【詳解】（1）解：①∵拋物線交軸于，兩點（在的左邊），∴令=0，解得：，，∴，∵點E在拋物線上，點的橫坐標是，∴，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴∴；②設點坐標為，點坐標為．∵四邊形是平行四邊形，∴將沿平移可與重合，點坐標為．∵點在拋物線上，∴．解得，，所以．連，過點作軸垂線，垂足為，過點作，垂足為．則，∵，，∴．∴，解得，（不合題意，舍去）．∴點的坐標是．（2）方法一：證明：依題意，得，，∴設直線解析式為，則，解得．∴直線的解析式為．同理，直線的解析式為．設直線的解析式為．聯立，消去得．∵直線與拋物線只有一個公共點，∴，．聯立，且，解得，，同理，得．∵，兩點關于軸對稱，∴．∴．∴的值為．方法二：證明：同方法一得直線的解析式為．設直線的解析式為，與拋物線唯一公共點為．聯立，消去得，∴．解得．∴直線的解析式為．聯立，且，解得．∴點坐標為．同理，點坐標為．∵，∴．∴的值為．【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查二次函數、一次函數、三角形面積、方程組等知識點，解題的關鍵是學會利用參數，學會用方程組求兩個函數圖象的交點坐標，學會把問題轉化為方程解決，屬于壓軸題．9．（1）；（2）的面積總為定值為90；（3）當時，為等腰三角形，過程見解析【分析】（1）將，代入中，列方程組求出參數值即可．（2）根據，分析得出相關數值，再根據，代入求值即可．（3）為等腰三角形時，分三種情況討論，同時根據兩點之間距離公式列相關等量關系求解即可．【詳解】解：（1）將，代入中，得：解得：∴函數解析式為．（2）設點運動了秒，則，，且，說明點在線段上，且不與點，重合，∵，∴，同理：，∴，即，∴．∴，∴，∴的面積總為定值為90．（3）設點運動了秒，則，，，且，∴，，，①，則，解得，（不合題意，舍去），②若，則，解得（不合題意，舍去），③若，則，解得（均不合題意，舍去），綜上所述，當時，為等腰三角形．【點睛】本題考查的二次函數綜合，涉及到兩點之間距離公式運算，待定系數法求二次函數解析式，以及三角形面積的含參計算等，平行線分線段成比例等相關知識，能夠數形結合找見相關的等量是解題關鍵．10．（1）；（2）PN=（m2）2；當m＝2時，PN的最大值為；（3）【分析】（1）利用交點式解答；（2）設點P（m，m2+m＋4），求得直線BC的解析式為y＝﹣x＋4，則點Q（m，m＋4），利用OB＝OC，得到∠PQN＝45°，求出PN（m2）2,利用函數的最值解答；（3）設與直線BC平行的直線的解析式為：y＝x＋n．聯立得：，當直線與拋物線只有一個公共點時，拋物線上有且只有三個點使三個三角形面積相等，此時△＝164（3b12）＝0，解得b求得交點M1（2，），將直線y＝x＋4向下平移個單位可得直線y＝x+，直線與拋物線交點即為M2，M3，連結OM1，利用S＝求出答案．【詳解】解：（1）由二次函數交點式表達式得：y＝a（x＋3）（x4）＝a（x2x12）＝ax2ax12a，即：12a＝4，解得：a，

則拋物線的表達式為；

（2）設點P（m，m2+m＋4），設直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），把B（4，0），C（0，4）代入，得．解得．∴y＝﹣x＋4，則點Q（m，m＋4），

∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，PN＝PQsin∠PQN（m2）2，

∵0，∴PN有最大值，當m＝2時，PN的最大值為．

（3）設與直線BC平行的直線的解析式為：y＝x＋n．聯立得：．消去y得：x24x＋3b12＝0，當直線與拋物線只有一個公共點時，拋物線上有且只有三個點使三個三角形面積相等．此時，△＝164（3b12）＝0，解得b．即：y＝x+．此時交點M1（2，）．

直線y＝x+是由直線y＝x＋4向上平移個單位得到．同理，將直線y＝x+4向下平移個單位可得直線y＝x+．直線與拋物線交點即為M2，M3，連結OM1，則S＝＝．

．【點睛】此題考查二次函數的綜合知識，待定系數法求函數解析式，直線平移的規律，拋物線的最值問題，銳角三角函數，綜合掌握各知識點是解題的關鍵．11．(1)(2)(3)①；②定值，理由見解析【分析】（1）待定系數法求函數解析式即可；（2）設：，聯立方程得出，根據，得出，進而得出，再得出，根據即可得出答案；（3）①根據即可得出答案；②同理得出，設：，聯立方程得出，進而得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：設，∴，，∴；（2）解：設：，聯立得：，∴，∴，，，∴，∴，∴∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：①；②是定值，理由：由①同理得出，設：，，∴，∴同理，∴，∴，∴．【點睛】本題考查二次函數的綜合，待定系數法求二次函數解析式，正確理解題意是解題的關鍵．12．(1)(2)或2(3)為定值，【分析】（1）利用待定系數法，將兩點坐標代入解析式求解即可；（2）構造相似三角形和，利用直線的解析式求出點坐標以及點關于的代數式，利用相似三角形的性質列方程求解即可；（3）通過輔助線構造直角三角形并用含有的代數式表示出和，再分別用兩個三角函數表示，代入中，最后化簡即可．【詳解】（1）拋物線與軸交于，兩點∴，解得：∴拋物線的表達式為：．（2）如圖1，過點作軸，交的延長線于點，過點作軸交于點．則，∴令，則，∴∵直線過點和設直線：∴直線的解析式為：．∵，軸∴當時，，∴設，則∴∵∴，解得，．∴當或2時，．（3）為定值，理由如下：如圖2，過點作軸交軸于點．∵，，對稱軸是∴設則，，在中，，∴，在中，，∴∴【點睛】本題主要考查二次函數，相似三角形的判定及性質以及三角函數，熟練掌握待定系數法求解析式，相似三角形的判定和性質以及運用三角函數解直角邊是解決本題的關鍵．13．(1)(2)(3)是定值，，理由見解析【分析】（1）根據已知條件得到點，，，根據待定系數法即可求解；（2）將向上平移一個單位得到，設的直線解析式為，設點坐標為，，，，聯立方程組，整理得，由根與系數的關系可得，過點作軸交于，過點作軸交于點，證明，可得，能夠確定直線經過定點，則點在以為圓心，直徑為1的圓上運動，所以點到軸距離的最大值為；（3）分別求出直線的表達式為①，直線的表達式為②，設直線的表達式為，聯立方程組，由，可得，則直線的表達式為③，聯立①③并解得，聯立②③可得，，可求．【詳解】（1）解：，點，拋物線，對稱軸為，，為等腰直角三角形，為頂點，，，，將代入得，，，拋物線；（2）解：將向上平移一個單位得到，