全國高中數學競賽二試模

擬訓練題+數學競賽集合與函數試題訓練

加試模擬訓練題

1、已知圓。外一點X,由X向圓。引兩條切線，切點分別為過點X作直線,

與圓。交于兩點C,。，且滿足CA1B。，若C4I。交于點尸，CD,AB交于點G,BD

與GX的中垂線交于點〃，證明X,￡G,〃四點共圓。（05年口本）

2.設a,b,c是正實數,且滿足〃兒,=1,證明：a-1-1+白）<?-1+—j<1

3、設月是一個有幾個元素的集合，月的加個子集4，人,…,A,.兩兩互不包含,

m1m

試證：（1）Z刖41；（2）ZC^>,H2.

z=iC/ti=i

其中IAI表示A,所含元冢的個數，CT表示〃個不同元素取|A,|個的組合數.

4.設出〃,。是直角三角形的三邊長。如果是整數，求證：〃反可以被30整除。

證明：不妨設。是直角三帶形的斜邊長，則。2=/+/。

加試模擬訓練題（15）

1、已知圓。外一點X,由X向圓。引兩條切線，切點分別為48,過點X作直線,

與圓。交于兩點CO,且滿足CA18。，若C4,3。交于點/，CD,AB交于點G,BD

與GX的中垂線交于點”，證明X,EG,“四點共圓。（05年日本）

證明因為X,D,G,C是調和點列，且/。/。二90。，所以尸在關于點X,G的阿波

羅尼斯圓上。連FG,FX、有/GFD=NDFX,設AGW的外接圓與8/交于點”'，則

有GH—XH',即〃'在GX的中垂線上，從而有〃'=〃，因此X,F,G,”四點共圓。

2.設凡4c是正實數,且滿足abc=1，證明:

（a-1+-1+（jc-1+^＜1（第41屆國際數學奧林匹克試題）

分析與證明：令x==4及z=Vc.易知xyz=1.則

,13,13（xyz）2X.222\

4-1+—=x-1+—=x-xyz+z—=-（x~y-y~z+z~x）

by-yy

同埋有其它兩式，再令u=x2）\v=y2z,w=z2x.

則原不等式等價于齊次不等式：（u+v-vv）（v+w-u）（w+u-v）＜uvw.

因為（〃+U-卬）3+卬一〃）＜（-------------------J=V

同理有（V+W-〃）（W+U-V）＜W2；（W+U-V）（V+U-W）＜u2.

故［（W+V-VV）（V+IV-W）（VV+M-V）］2＜（WVW）2.

從而原不等式成立.

3、設月是一個有〃個元素的集合，月的〃?個子集…,AJ兩兩互不包含，試證：（1）

w1in

z焉”；（2）zcr1川?

i=l"i=|

其中IAI表示A所含元素的個數，CF表示〃個不同元素取141個的組合數.

（1993年，全國高中數學聯賽二試第二大題）

【證明】（1）據組合公式知，（1）式等價于f|4|!（"I4|）!W〃!.?對

J=l

于A的子集A={$,々，…，大］，我們取補集%=（%，為一,，）］|閨），并取4的元素在前，

4元素在后，作排列2,》2,…，百A」，）'1，）”一，九-網「②

這樣的排列共有IA15-141）!個.

顯然，②中每一個排列，也是A中的一個排列，若jw/?時，4對應的排列與4對慶的排

列互不相同，則A,4,….A”,所對應的排列總數便不會超過A中排列的總數見現假設A,中

/f，，，，

對應的某一排列為了2，…，X|八/，必，為，…，）'〃-內|?③

與4（，工，）中對應的某一排列②相同（指出現的元素及元素位置都相同），則當|A,兇4|

時，474：當|4|>141時，這都與4,A”兩兩互不包含，矛盾.

由于4,A?,…,4對應的排列對②互不相同，而力中〃個元素的全排列有〃！個，故

得

nni

Xl4l!（，~l4l）!<".即X刖<L

/=1/=!'

陽尚冽1m

（2）由上證及柯西不等式，有X。歲2（2前）（24后（21）2="72.

i=\；=l.=1C〃'i=l

【評述】本題取自著名的如e/力er定理：

設Z為〃元素，凡，…4為Z的子集，互不包含，則團的最大值為C7.

4.設〃是直角三角形的三邊長。如果，。是整數，求證：4兒可以被30整除。

證明：不妨設C是直角三角形的斜邊長，則。2=1+后。

若冰〃，咻/?,2*,則T=/+從三i+i三（）（mod2）,又因為T三i（mod2）矛盾！

所以21abc.

若3*/,3卡/?,3卡c,因為（3k±1了三l（mod3）,則。？+/三1+1三2（mod3）,又

c2=l（mod3）,矛盾!從而3|〃bc.

若5，v,5M,5。，因為（5R±1尸三l（mod5）,（5Z:±2）2=-l（mod5）,

所以/三±2或0（mod5）與/=±l（mod5）矛盾！

從而5|abc.

又⑵3,5）=1,所以30|Hc.

高一數學競賽集合與函數試題訓練

6.已知函數f（x）=d-2|x|+2的定義域為出,切（其中。<人），值域為［2。,2勿，

則符合條件的數組（。,份為（；,2+0）

8.已知關于x的方程|工-人|=5-4石在區間伙-1歡+1］上有兩個不相等的實根，則

實數〃的取值范圍是0<%41

2____

1.已知函數滿足/(----)=log2Jx\x\,則f(x)的解析式是(C)

x+\x\

A.2-xB.log2xC.—Iog2xD.x~2

2.已知/(x)=l-Jl(TWxWO),函數y=/(x+l)與y=/(3-x)的圖象關于宜.線/對稱，

則直線/的方程為(B)

A.x=2B.x=lC,x=—D.x=O

2

3.設/(x)是R上的奇函數，且在(0,+8)上遞增，若/(，)=0,川og4x)>0,那么x的

91

取值范圍是(A)

A.x>2或，Vx<lB.x>2C.—<x<lD.-<x<2

222

4.已知定義域為R的函數片/(x)在。4)上是減函數，又%/(x+4)是偶函數，則(A)

A./(5)</(2)</(7)B./(2)</(5)</(7)

C./(7)</(2)</(5)D./(7)</(5)<f(2)

5.若不等式2x2+ax+220對一切x￡。,］成立，則a的最小值為(C)

2

A.OB,-4C.-5D.-6

6.已知定義域為R的函數f(x)滿足/(-x)=-/(x+2),且當x>l時J(x)單調遞增.

如果X1+X2V2,且(X「1)MT)V0,則/(Xi)+f(X2)的值(B)

A.恒大于0B.恒小于0C.可能為0D.可正可負

7.若函數Hx)=25Tx+5|-4X5Tx+5l+m的圖象與x軸有交點，則實數m的取值范圍是(D)

A.fn>0B.mW4C.0VmW4D.0VmW3

8.對定義在區間。，b］上的函數/(x),若存在常數c,對于任意的XiW［a,團有唯一的刈后⑸b］f

使得&2±Z1^2=c成立，則稱函數段)在區間。,句上的“均值”為c.那么，

2

函數/(x)=lgx在［10,100］上的“均值”為(D)

log81x+logMy=4Vx=x2

12.已知方程組，

log81-log64=l的叫"J=)’2

xJv

則Iogl8(xiX2yiX2)=12

13.若關于x的方程4x+2'm+5=0至少有一個實根在區間［1,2］內，

則實數m的取值范圍是_____-275］__________________

4

14.設card(P)表示有限集合P的元素的個數.設a=card(A),b=card(B),c=card(AHB),

aba+bcc

且滿足aWb,(a+l)(b+l)=2006,2+2=2-+2,則max{a?b}的最小值是58

16.設函數/(x)的定義域是(0,+8),且對任意的正實數x,y都有/(xy)=/(x)+/M恒成立.

已知/(2)=1,且x>l時J(x)>0.

⑴求/(')的值；(2)判斷月(x)在(0,+8)上的單調性，并給出你的證明；

2

⑶解不等式Hx2)>/(8x-6)-1.

16.⑴令x=y=l,則可得/(1)=0,再令x=2,片《，得/(1)=/(2)+/(《)，故/(《)=-1

222

⑵設0<Xi<X2,則/(*)+/(X)=/(x2)即/2)-/(刈月(&),

占百

??.蘭》1,故/(土)>0,即/(X2)>/(Xi)故/(X)在(。,+8)上為增困數

芭X,

⑶由f(x2)>/(8x—6)-1得f(x2)>/(8x-6)+/(g月[g(8xg)L

故得X2>4X-3且8x-6>0,解得解集為{x[-<x<l或x>3}

4

17.己知函數/3=1。8。(以2儀+工)在[1,2]上恒為正數，求實數a的取值范圍.

2

17.題設條件等價于(1)當。>1時,ax2-x+->1對x￡[1,2]恒成立；(2)當0<a<l時,

2

0<ax2-x+—<1對xG[1,2]恒成立.

2

由⑴得a>—1+工=」(工+1K-,對x￡[1,2]恒成立，故得3.

2x2x2A-22

11八21

?<-(Z-+1)--

由(2)得1"2對x￡[l,2]恒成立，故得一VaV?.

1」「2128

a>——(——1)+—

2x2

因此，。的取值范圍是。3或ILVOVS2

228

15、設k為正整數，使得一200次也是一個正整數,求k的值。

1解)：15、解:令J犬一2004左=〃，得)=i002±J(2x3xl67j+x2,

令(2x3x167)2+〃2=加2(/〃>〃)

/.(m+n)(tn-n)=(2x3x167)2得(m+n)與(〃z-，7)均為偶數.

(1)若m,n均為偶數，令m=2叫,n=2n],則

2

(町+nA)(/??1-/?))=(3x167)

,/機>幾得>%，叫+n}>m}-nA,

叫+〃]=(3x167)2+〃1=3x167?m.+n.=167"m.+n.=3~x167

或，或<或，

-%=1見一〃1=3mA-/?!=3-1"%-/?!=167

由m=2%，得m=251002或m=83670或m=27898或m=1670.

這時,k=252004或84672或28900或2672。

(2)若〃均為奇數，令〃7=2〃+l,〃=2q+l(〃>q)則

(〃+〃+1)(〃-q)=(3x167)2

?.?(3x167)2為奇數，得(〃+4+1)與(〃一編均為奇數，矛盾！

這時無解.

綜上所述,k的值為252C04或84672或28900或2672。

12.如果自然數。的各位數字之和等于7,那么稱。為“吉祥數”.將所有“吉祥數”

從小到大排成一列G，。2，。3，…，若。〃=2005,則的產.

填52000.

解：一位的吉祥數有7,共1個；

二位的吉祥數有16,25,34,43,52,61,70,共7個；

三位的吉祥數為X1+M+X3=7的滿足刈21的非負整數解數，有C；=28個(也可枚舉計數).

一般的,A位的吉祥數為X1+X2+…+Xk=7的滿足X121的非負整數解數，令x/=Xi+l(j=2,

3,…，A),有X1+X24…+><=7+k—1.共有解組.

4位吉祥數中首位為1的有28個，2005是4位吉祥數中的第29個.故n=1+7+28+28+1

=65.5n=325.

C：+C%C；+C；+C*=l+7+28+84+210=330.即是5位吉祥數的倒數第6個：

5位吉祥數從大到小排列：70000,61000,60100,60010,60001,52000,….

3、對于函數y=/(X)Qw。)，若同時滿足下列條件：

⑴/*)在D內是單調函數：(2)存在區間［〃,0q。，使/⑴在［出可上的值域為心涉］,

那么y=/(x)叫做閉函數。

(1)判斷函數/*)=一/+24工￡［1,3］)是否為閉函數，并說明理由。

(2)求函數)，=—/符合條件的區間［凡同。

(3)若y=Z+JT萬為閉函數，求實數k的取值范圍。

3、(1)由/'(X)=一工2+2.X可知對稱軸為X=--—=1

2a

所以/⑴在［1,3］上為單調減函數，可求得/(x)?—3,l］,不符合閉函數定義。

<2)因為)，=7?在R上為減函數，從R中取要使ye［々問

f(ci)=-ay=b

?ia

即f(b)=-b=Q=｛，所以區間［a,。］為［-1,1］

b

b>a

(3)y=%+Jx+2D=[-2,-KDO),所以y在D上為單調增函數

f(a)=k+y/a+2=a

/￡［〃,司，要使丁￡［。,可，則，即方程k+y/x+2=X有兩個根

f(b)=k+"+2=b

9

兩邊平方有Jr7一（2A+1）/+?-2=0利用判別式可得k>—

4

.____9

又［。出仁卜2,長0），所以。之一2又k=。一，。+2?。,所以女工一2綜上可得一w<x?-2

高中數學競賽（預賽）訓練試題（三）

姓名：班級：分數：

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個答案中，只

有一項是符合題目要求的）

1.定義集合運算：A?，={Z|Z=Q，,X￡4,），€瓦.設A={2,（）},B={（）,8},則集合

435的所有元素之和為（）

A.16B.18C.20D.22

2.已知｛%｝是等比數列，a2=2,a5=-,則cow+〃2。3+…+%”〃+i(〃￡N*)的

取值范圍是()

A.[12J6)B.[8,16)C.8,京D.

3.5名志愿者隨進入3個不同的奧運場館參加接待工作，則每個場的至少有一名志愿者的概

率為（）

3150

A.-B.—D.—

515181

b±\ci-b）.條件N：對一切

4.已知7、B為非零的不共線的向量,設條件M:

xwR,不等式"xbN〃一0恒成立.則M是N的（）

A.必要而不充分條件B.充分而不必要條件

C.充分而且必要鳧件D.既不充分乂不必要條件

5.設函數定義在R上，給出下述三個命題：

①滿足條件/（x+2）+/（2-x）=4的函數圖象關于點（2,2）對稱；②滿足條件

/（x+2）=/（2一x）的函數圖象關于直線x=2對稱;③函數/（x一2）與f（-x+2）在同一

坐標系中，其圖象關于直線x=2對稱.其中，真命題的個數是

（）

A.OB.lC.2D.3

6.連結球面上兩點的線段稱為球的弦.半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于2行

和4g,M、N分別為A8、CO的中點，每兩條弦的兩端都在球面上運動，有下面四個

命題：

①弦A3、CO可能相交于點M②弦AB、CO可能相交于點N

③"N的最大值為5④MN的最小值為1

其中真命題為（）

A.①③④B.?（2）@C.①②④D.②③④

7.設。=sin（sir）2008°）,b=sin（cos2008°）,c=cos（sin2008°）,d=cos（cos2008°）z

則。，仇c,d的大小關系是（）

A.a<b<c<dB.b<G<d<c

C.c<d<b<aD.d<c<a<b

8.設函數/（工）=工3+3%2+6x+14,FIf（a）=1.f（b）=l9,則〃+〃=（）

A.2B.lC.OD.-2

二、填空題（本大題共6個小題，每小題8分，共48分.請將正確的答案填在橫線上.）

9.在平面直角坐標系中，定義點夕（當，）'|）、。（工2，y2）之間的“直角距離”為

d（P，2）=ki-耳+|%一刃?若C（x,y）到點A（l,3）、夙6,9）的“直角距離”相等，其

中實數x、y滿足0<“<10、0<y<10,則所有滿足條件的點。的軌跡的長度方和為

10.已知集合Q={（x,y）IX2+y2<2008},若點pj,），）、點P\x\y'）滿足x<xr

且yN），'，則稱點尸優于Pr.如果集合Q中的點。滿足:不存在。中的其它點優于Q,

則所有這樣的點Q構成的集合為.

11.多項式（l+X+X^+r-+P00）3的展開式在合并同類項后，X，50的系數為

_________________________.（用數字作答）

12.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面.已知該六棱柱的頂點都在同一球面

9

上，且該六棱柱的體積為乙，底面周長為3,則這個球的體積為

8------------

13.將一個4x4棋盤中的8個小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有兩個黑色方格，則有

不同的染法.（用數字作答）

14.某學校數學課外活動小組，在坐標紙上某沙漠設計植樹方案如下：第&棵樹種植在點

處，其中M=1J=1，當AN2時，

其中，[司表示實數a的整數部分,例如[2.6]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵樹種植

點的坐標為.

三、解答題（本大題共4小題，共62分.要求有必要的解答過程.）

15.（本小題滿分14分）設實數求證：+

abap

其中等號當且僅當。=a,b=（3或a=B、b=a成立，a,P為正實數.

16.（本小題滿分14分）甲、乙兩人進行乒乓球單打比賽，采用五局三勝制（即先勝三局

21

者獲冠軍）.對于每局比賽，甲獲勝的概率為一，乙獲勝的概率為一.如果將“乙獲得冠軍”

33

的事件稱為“爆出冷門”.試求此項賽事爆出冷門的概率.

17.（本小題滿分16分）已知函數/（幻=111。+_￥）一工在區間［0,“拉￡叱）上的最

小值為“〃，令。“=ln（l+〃）一切，pk=~—a~（ksN*）,

…心

求證：P\+P2H----+Pn<+1-1.

22

18.（本小題滿分18分）過直線/:5/一7），-70=0上的點P作橢圓二+”=1的切線

PM、PN,切點分別為M、N,聯結MN.

（1）當點。在直線/上運動時，證明：直線MN恒過定點。;

（2）當MN〃/時，定點。平分線段MN.

湖北省黃岡自學高中數學競賽（預賽）訓練試題（三）詳細解答

1.解：集合的元素：z,=2x0=0,z2=2x8=16,z3=0x0=0,

z4=0x8=0,故集合A區）3的所有元素之和為16.選A.

1

]

2.解：設｛/｝的公比為小則夕3=/=g=G，進而4=不.

ZoZ

1

所以，數列｛4?Q〃+J是以卬。2=8為首項，以4?

a為公比的等比數列.

32

顯然，S=aa<aa+aa+???+aa^

]2]223nr<—.選c.

3.解：5名志愿者隨進入3個不同的奧運場館的方法數為3$=243種.每個場館至少有一

名志愿者的情形可分兩類考慮：第1類，一個場館去3人，剩下兩場館各去1人，此類的

方法數為c；?C；=60種；第2類，一場館去1人，剩下兩場館各2人，此類的方

小g60+9050

法數為。3?。5?04=90種.故每個場館至少有一名志愿者的概率為戶n=—^一二嬴.

24381

選D.

4.解：設OA=。，OB=B,則x/?表示與°5共線的任一向量，”xb表

示點A到直線03上任一點C的距離AC,而〃一各表示點A到6的距離.當

刃_1卜一1)時，A3_L08由點與直線之間垂直距離最短知，ACNA3,即對一切xeH,

—>——>—>

不等式4一元/?>4一八恒成立.反之，如果ACNAB恒成立，則(4C)min2A3,

故A8必為點A到OB的垂直距離，OBJ.AC,即療」選c.

5.解：用冗―2代替/(工+2)+/(2-幻=4中的x,得/*)+/(4-外=4.如果點(x,y)

在y=/(/)的圖象上，則4一)，=/(4一幻，即點(乂)，)關于點(2,2)的對稱點(4-x,4-)，)

也在y=f(x)的圖象上.反之亦然，故①是真命題.用2代替/3+2)=f(2-x)中的

x,得/(x)=/'(4-戈).如果點(x,y)在y=/(x)的圖象上，則y=/(4-幻，即點(x,y)

關于點x=2的對稱點(4-x,y)也在y=/(x)的圖象上，故②是真命題.由②是真命題，不

難推知③也是真命題.故三個命題都是真命題.選D.

6.解：假設A3、CO相交于點N,則43、8共面，所以A、B、C、。四點共圓，

而過圓的弦C。的中點N的弦的長度顯然有4/NCD,所以②是錯的.容易證明，當

以A3為直徑的圓面與以CO為直徑的圓面平行且在球心兩側時，MN最大為5,故③對.當

以為直徑的圓面與以CD為直徑的圓面平行且在球心同側時，MN最小為1,故④對.

顯然是對的.①顯然是對的.故選A.

7?解.：因為2008°=5x360°+180°+28°,所以，

a=sin(-sir)28°)=-sin(sin28°)<0

b=sin(-cos28°)=-sin(cos28°)<0；

c=cos(-sin28°)=cos(sin28°)>0；

d=cos(cos28°)=cos(cos28°)>0.

又$畝28°<<：0528°,故人<。vc.故選B.

8.解:由/(%)=/+3/+6x+14=(x+1)3+3(x+1)+10,

令g(y)=y'+3y,則g(y)為奇函數且單調遞增.

而/?)=(4+1)3+3(〃+1)+10=1,/(〃)=(〃+1)3+30+1)+10=19,

所以g(a+1)=-9,g(>+1)=9,g(—b-l)=-9,

從而g(a+l)=g(-b-l),

即a+1=一〃-1,故a+b=-2.選D.

9.解：由條件得|x-l|+|y-3|=|x-6|+|y-9|①

當yN9時，①化為,一1|+6=卜一6|,無解；

當yW3時，①化為x—1=6+X—6|,無解；

當3<y<9時，①化為2y—12=|x—6|一大一1②

若則y=8.5,線段長度為1；若14x46,則x+y=9.5,線段

長度為5行；若X26,則y=3.5,線段長度為4.綜上可知，點C的軌跡的構成的線段

長度之和為1+5后+4=56巧+1).填5(、歷+1).

10.解:P優于pf,即「位于P'的左上方，“不存在C中的其它點優于Q”，即“點。

的左上方不存在。中的點”.故滿足條件的點的集合為

{(x,y)|x2+y2=2008,x<0且y>0).

填{(x,y)|x2+)，=2008,x<0且)，>o}.

11.解：由多項式乘法法則可知，可將問題轉化為求方程

s+f+r=150①

的不超過去100的自然數解的組數.顯然，方程①的自然數解的組數為^152?

下面求方程①的超過100自然數解的組數.因其和為150,故只能有一個數超過100,

不妨設S>100.將方程①化為

($—101)+，+尸=49

記s'=5—101,則方程$'+，+尸=49的自然數解的組數為C；1?

因此，的系數為G；2=7651.填7651.

3A/^

12.解：因為底面周長為3,所以底面邊長為,，底面面積為S=y-.

28

又因為體積為2,所以高為力.該球的直徑為/產+卜6丫=2,球的體積

8

4.44

V=-7rR3=—7T填7萬

33.原3

13.解：第一行染2個黑格有0：種染法.第一行染好后，有如下三種情況：

(1)第二行染的黑格均與第一行的黑格同列，這時其余行都只有一種染法:

(2)第二行染的黑格與第一行的黑格均不同列，這時第三行有C：種染法，第四行的

染法隨之確定；

(3)第二行染的黑格恰有一個與第一行的黑格同列，這樣的染法有4種，而在第一、

第二這兩行染好后，第三行染的黑格必然有1個與上面的黑格均不同列，這時第三行的染法

有2種，第四行的染法隨之確定.

因此，共有染法為6x(l+6+4x2)=90種.填90.

k-\k-2

14.解：令f(k)=---------,則

/U+5)3.…勺一+匕=匕一3f(k)

故/伏)是周期為5的函數.

計算可知：/(2)=0；/(3)=0;/(4)=0;〃5)=0；/(6)=1.

所以，

々008=/007+1-5/(2008)；x2007=x2006+1-5/(2(X)7)；…；

々3+1-5/(2).

以上各式疊加，得Woos=玉+2007-5[/(21+/(3)+…+/(2008)]

=再+2007-5{401[/(2)+八3)+…+/(6)]+/⑵+/(3)}

=2+2007-5x401=3；

同理可得>2008=402.

所以，第2008棵樹的種植點為（3,402）.填（3,402）.

a

15.證明：由對稱性，不妨設。工〃，令丁=乙則因a<可得

U

（3分）

pba

（a8\?

設/Q）=r+1<—,則對/求導，得/'（/）=1一f.........（6分）

ta）r

a?l（B~

易知，當‘6時，fXt）<0,/⑺單調遞減；當，￡1,一時，

VP）I。」

/''?）>0,/⑺單調遞增..........................................（9分）

故/⑺在，=9或處有最大值且/q]=區+2及/21=2+二兩者相等.

Pa'\P）Pa\a）ap

故/⑺的最大值為2+W，即/（，）=，+乂2+匕........??…（12分）

aptafi

由旦二/,得2十色《2+0,其中等號僅當〃二或〃=/7,O=a成立.

baba（3

.......................................................（14分）

16.解：如果某方以3:1或3:0獲勝，則將未比的一局補上，并不影響比賽結果.于

是，問題轉化為：求“乙在五局中至少贏三局的概率”.........（3分）

f1Y

乙勝五局的概率為匕：......................................（6分）

/1丫2

乙勝四局負一局的概率為。5-X-;.......................（9分）

3

"1丫⑶？

乙勝三局負二局的概率為C：-x--.....................（12分）

13/\37

17

以上結果相加，得乙在五局中至少贏三局的概率為（14分）

O1

17.解：（1）因為/（x）=ln（lIx）-x,所以函數的定義域為（一1,依），-（2分）

又八用二士小X

（5分）

I+X

當XE[O,〃]時，/(x)vO,即/(幻在[o,〃](〃￡N*)上是減函數，故

bn=f(n)=In(1+/?)-n.

分)

an=]n(l+n)—bn=ln(l+n)—ln(l+n)+n=n...................................(8

(2攵-1[24+1)4公_1

因為vl,所以

(2療4k2

135.?…(2Z_1)T_333?55?7(2攵-1)(2/+1)]]

2-4……(2k)J-^r，7r，-6F(2172Z+1<2:+1

（12分）

又容易證明J2/+]＜（2攵+1_J2Z_1,所以

()

PL"-t135??…21]<Y2k+1-y!lk-\(kwN*)

ci)Q4R2-4……(2攵)J2Z+1

....................................................(14分)

p(+p2H------1-pH<(x/3—1)+(-x/5—V3)H-----F[y/2n+1—-1)

=J2〃+1-1=J2a〃+1—1.

即分)

px+〃2+???+〃“VJ2a“+1-1............................(16

.證明：設戶(方,%)、、r則橢圓過點、

18(1)M(X[,y)A(x2,y2).MAm

切線方程分別為

5^2LZ-I中+空

+7（3分）

259*259".............................................

因為兩切線都過點P，則有

^021211"）?為九

+==1

259259

這表明M、N均在直線W"+"M=1①上.由兩點決定一條直線知，式①就

J。7

是直線MN的方程，其中（工（），n0卜防足直線/的方程.

（6分）

（1）當點P在直線/上運動時，可理解為/取遍一切實數，相應的尤為

5一、

y0=-xQ-io.

代入①消去凡得良

?^2Vi=o②

63.

對一切/恒成立.（9分）

也+1=0

變形可得”。底十

9)

“5)'n

---1---=U,

2563

對一切X。￡/?恒成立.故有’10y

--+1=0.

9

J2591

由此解得直線MN恒過定點。.（12分）

（1410；

x05X0-70

（2）當MN〃/時，由式②知號----空一-14375

*-----.解得X。=-----

5一/-70°533

533

代入②，得此時MN的方程為5/一7），一言=0

將此方程與橢圓方程聯立，消去），得

533X_533X_128068

2=()>（15分）

2571225

<259

由此可得，此時MN截橢圓所得弦的中點橫坐標恰好為點。—,—-的橫坐標，即

11410

二533

x=工-］-+-居-=---7-=—25

253314

02x---

25

（259、

代入③式可得弦中點縱坐標恰好為點Q―,的縱坐標，即

V1410）

525533