華師大版

九年級數學上冊教案全冊

第二十二章二次根式

22.1.二次根式(1)

教學內容

二次根式的概念及其運用

教學目標

1、知識與能力：理解二次根式的概念，并利用G(a>0)的意義解答具體題目.

2、過程與方法：提出問題，根據問題給出概念，應用概念解;夬實際問題.

3、情感態度與價值觀：培養學生類比思想。

教學重難點關鍵

I.重點：形如右(a20)的式子叫做二次根式的概念，

2.難點與關犍：利用“JZ(a20)”解決具體問題.

教學過程

一、回顧

當a是正數時，礪表示a的算術平方根，即正數a的正的平方根.

當a是零時，布等于0,它表示零的平方根，也叫做零的算術平方根.

當a是負數時，沒有意義.

概括

8(a>0)表示非負數a的算術平方根，也就是說，&(a^O)是一個非負數，它的平方等于a.即有:

(1)4a^0(a20)；(2)(Va)2=a(a20).

形如、5(a>0)的式子叫做二次根式.

注意

在二次根式及中，字母a必須滿足a20,即被開方數必須是非負數.

例x是怎樣的實數時，二次根式乂二T有意義？

分析要使二次根式有意義，必須且只須被開方數是非負數.

解被開方數x-120,即x2l.

所以，當x21時，二次根式GT有意義.

思考而等于什么？

我們不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分別計算對應的a2的值，看看有什么規律:

概括:當a20時，=a；當a<0時，=-a.

這是二次根式的又一重要性質.如果二次根式的被開方數是一個完全平方，運用這個性質，可以將它“開方”

出來，從而達到化簡的目的.例如：

彳=&2x）2=2x（xNO）：y[x^-7U2)2-，?

練習

1.x取什么實數時，下列各式可意義.

（J）A/3—4x.（2）y/3x-2,（3）“（”一③）；（4）J3A：_4+J4_3X

拓展

例當x是多少時，J2X+3+-L在實數范圍內有意義?

x+1

分析：要使，2『+3+」一在實數范圍內有意義,必須同時滿足，2工+3中的20和」一中的x+1K0.

X+lX+1

2x+3>0

解：依題意，得《

x+I。0

3

日①得：x2--

2

由②得：xW-1

41

當X2--且xW-l時，以+3+——在實數范圍內有意義.

2x+\

例⑴已知丫=萬7+>/7=1+5,求土的值.（答案:2）

y

⑵若而T+V^T=O,求aZ^+b?00’的值.（答案:|）

小結（學生活動，老師點評）

本節課要掌握：

1.形如右（a>0）的式子叫做二次根式，“J-”稱為二次根號.

2.要使二次根式在實數范圍內有意義，必須滿足被開方數是非負數.

作業

教學反思：理解符號右的意義是研究二次根式的關鍵.、石表示非負數a的算術平方根，即有:

（I）4a20（a20）；

（2）（-\Ztz）2=a（a20）.

要注意二次根式中字母的取值范圍：被開方數必須是非負數.

22.1二次根式（2）

教學目標

1、知識與能力：理解右（a>0）是一個非負數和（右）2=a（a^O）,并利用它們進行計算和化簡.

2、過程秘與方法：通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出八（a^O）是一個非負數，用具體

數據結合算術平方根的意義導出（&）2=a（a^O）；

3、情感態度與價值觀：運用結論嚴謹解題.

教學重難點關鍵

1.重點：4a（aNO）是一個非負數；（G）2=a（a>0）及其運用.

2.難點，關鍵：用分類思想的方法導出JZ（a>0）是一個非負數；用探究的方法導出（C）2=a（a>0）.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）口答

1.什么叫二次根式？

2.當a20時，&叫什么？當a<0時，右有意義嗎？[老師點評（略）.]

二、探究新知

議一議：（學生分組討論，提問解答）

4a（a20）是一個什么數呢？

老師點評：根據學生討論和上面的練習，我們可以得出

6（a20）是一個非負數.

做一做：根據算術平方根的意義填空：

2

（V4）2=；（V2）2=；（V9）2=（G）=

老師點評："是4的算術平方根，根據算術平方根的意義,

“是一個平方等于4的非負數，因此有（"）2=4.

22

同理可得：（后了=2,（79）=9,（百了=3,（J-）=~J-)2=-,(Vo)2=0,所以

V33V22

(\[a)2=a(a0)

例1計算

1.*)22.(3舟23.*)24(.)

分析：我們可以直接利用(五)2=a(a20)的結論解題.

解?：(J-)2=-,(375)2=32-(V5)2=32-5=45,

V22

(口壟，(蟲)2=卒二

V662224

三、鞏固練習

計算下列各式的值：

(VI8)2*)24)2(Vo)2(4^1)2(3⑹2_(5拘2

四、應用拓展

例2計算

I.(J.+1)2(x2())2.(\ci")23.(+24+1)24.(J4K"-12x+9)"

分析：(1)因為x20,所以x+l>0；(2)a2>0；(3)a2+2a+l=(a+l)20；

(4)4x2-12x+9=(2x)2-2?2x-3+32=(2x-3)2>0.

所以上面的4題都可以運用(JZ)2=a(a20)的重要結論解題.

例3在實數范圍內分解下列因式：

(1)x2-3(2)X4-4(3)2X2-3

五、歸納小結

本節課應掌握：

1.6(a20)是一個非負數；

2.(G)2=a(a20);反之:a=(?(a^O).

六、作業

教材

七、教學反思

理解符號及的意義是研究二次根式的關鍵.&表示非負數a的算術平方根，即有:

(1)4a^0(a>0)；(2)(V^)2=a(a20).

要注意二次根式中字母的取值范圍：被開方數必須是非負數.

22.2二次根式的乘法

教學目標：

1、知識與能力：會進行簡單的二次根式的乘法運算

2、過程與方法：會利用積的算術平方跟的性質化簡二次根式。

3、情感態度與價值觀：培養學生嚴謹、仔細的數學解題習慣。

教學重點：

1、使學生正確理解：4ci?R=嵐

2、正確運用瘋--4b（。》0力＞0）進行二次根式的化簡

教學難點：

1、在運用八?胡=友（心0力20）時,注意。20力20

2、二次根式的化簡

教學過程：

（一）、復習：

①什么叫做二次根式？（提問）形如右（。20）的式子叫做二次根式.

②二次根式有什么性質呢？（1）620Q20）：（2）（&）2=4（。20）

③上節課我們還學了一個重要的公式，有誰記得呢？

當時，J/=a；當。VO時，J/=-a.也就是說|a|.

（二）新課引入：

1、提出問題：

A、二次根式的乘法：

⑴、學校決定在每一間教室前面的長方形空地上都種植草皮。按國家教委和國家基建委規定的標準，中學每間教

室的使用面積為54平方米。假定教室是正方形的，那么教室的每邊長則為取米，也就是說長方形空地長為

米。如果空地的寬為米，問鋪滿一塊長方形空地，需要購買多少平方米的草皮？

分析：兩個非負數算術平方根的枳，等于他們積算術平方根。只要把“算術平方根”五個字改成“平方”二個字

便是乘方法則，可見二次根式的乘法則都可以并入乘方的知識系統。

2、例題講解：

大家看課本P11，例題2老師講解。

3、變式訓練：

大家拿出課堂練習本做一做，請四位同學上黑板寫一寫：

例1、26x病^=2J3x3ab=24ab=2x3箍

例2、=^JlOxx-^xy==Xy[y

例3計算3/X2710=（3X2）X（V5X而）=6X5點=30%

例"、6A/27X（-2V3）=6X（-2）X-V/27X3=（-12）x733x3=（-12）xVF=（-12）x9=-108

B、積的算術平方根（即二次根式的化簡）：

1、例題講解：

由等式,4b=y[ab（aN（）,也可以寫成，石二JZ-4b{a20,HO）

我們可以利用它進行二次根式的化簡。大家看課本P11例三，老師講解。

最簡二次根式：

①被開方數的因數是整數，因式是正式；

②被開方數中不含能開得盡的因數或因式。

2、變式訓I練.

大家拿出課信練習本做一做，請四位同學上黑板寫一寫：

例1化徇質而=JlO3X2?X5=廂7XJFxJ5=20/

例2化簡7x<+x2y3=7x2（xa+y2）=?Jx[+寸=x>/x3+y2?

例3、化簡J16x81=癡><癡=4x9=36

例4、化簡歷方=亞荔兩E=2a4歷

（三）課堂檢驗

課堂練習：

（四）、知識回顧

乘法法則：1、算術平方根乘法的計算：五?、）二疝

2、二次根式的化簡：4ab=4ci?4b

（五）、作業

P12練習1、2

（六）、教學反思

二次根式的化簡是進行二次根式運算的重要手段，二次根式的化簡主要包括兩個方面：

（1）如果被開方數中含有分母，通常可利用分式的基本性質將分母配成完全平方，再“開方”出來.

（2）如果被開方數中含有完全平方的因式（或因數），可利用積的算術平方根的性質，將它“開方”出來.

在化簡過程中，都需要將被開方數中的完全平方“開方”出來，在這里，二次根式的性質"（八）2=a（a^O）”

起著舉足輕重的作用

22.2整式的除法⑴

一、教學目標

1、知識與能力：會進行簡單的二次根式的除法運算

2、過程與方法：會利用商的算術平方跟的性質化簡二次根式。

3、情感態度與價值觀：培養學生嚴謹、仔細的數學解題習慣。

二、教學重點

1.同底數幕的除法法則的得出.

2.同底數幕的除法法則的應用.

三、教學難點

同底數事的除法法則的得III.

四、教學方法

探究學習、合作學習、討論式教學.

五、教學用具

投影儀

六、教學過程

(-)引入新課

師：什么是同底數累的乘法法則？a"-1二/'(板書)

哪位同學能用語言簡單說出同底數累的乘法法則？

生：同底數的基相乘，底數不變，指數相加.

師：(簡單鼓勵)那么大家會不會計算這些題目呢？(出示小黑板)

試一試：

(1)102X103=；(2)a3Xa4=；

(3)apXaq=.(p、q為正整數)

(二)新課

1.通過上面的復習，請大家用你認為熟悉的方法計算下面各題：(出示小黑

板)

(1)25H-22=____；(2)1074-103=____；

(3)a74-a3=______(aWO).

2.請同學們分組討論，然后選出代表談談自己的解法，再總結：

一般地，設m、n為正整數，m>n,aWO,有a-a“二產.

3.師：有哪些同學能用自己的比較簡潔的語言描述同底數鼎相除的法則?

師生共同小結：同底數的基相除，底數不變，指數相減.

4.大家會不會應用這個法則呢?請完成下面的練習：(師生共做)

(1)；

⑵(-a),0^(-a)3=；

(3)(2a>+(2a)匚______.

注意：當有學生指出(或沒有學生注意到)第(2)、(3)題中的a不能取零時，教師應注意提醒學

生：凡沒有特殊說明，我們都約定分式有意義.

(三)鞏固、發展

1.課堂練習：教材第4頁習題21.1第1題.

2.思考：

⑴(a+b)=(a+b)2=_____；

(2)[(a+b)2]3-(a+b)2=.

(四)作業

計算：

(1)x,04-x3；(2)(2x)*⑵尸；

⑶(10x+2y)3-?(10x+2y)2；(4)[(-x2yz)4]3-?(-x2yz)2；

(5)1054-102；(6)(a+b)64-(a+b)4.

(五)教學反思

二次根式的化簡是進行二次根式運算的重要手段，二次根式的化簡主要包括兩個方面：

(1)如果被開方數中含有分母，通常可利用分式的基本性質將分母配成完全平方，再“開方”出來.

(2)如果被開方數中含有完全平方的因式(或因數)，可利用積的算術平方根的性質，將它“開方”出來.

在化簡過程中，都需要將被開方數中的完全平方“開方”出來，在這里，二次根式的性質“(八-二a(a20)”

起著舉足輕重的作用。

22.2整式的除狀(2)

一、教學目標

1、知識與能力：會進行簡單的二次根式的除法運算

2、過程與方法：會利用商的算術平方跟的性質化簡二次根式。

3、情感態度與價值觀：培養學生嚴謹、仔細的數學解題習慣。

二、教學重點

體會單項式除以單項式的計算方法.

三、教學難點

單項式除以單項式的計算.

四、教學方法

討論、交流學習.

五、教具準備

小黑板或多媒體.

六、教學過程

(一)引入新課

大家已經會做同底數事的除法，下面再來計算幾個題目：

(1)10,o4-10s；(2)X64-X3；

(3)(-a)b-r(-a)2；(4)(x2)3-rx4.

(二)新課

L問題的提出.

師：請同學們看教材第3頁的問題：地球的質量約為5.98X10"千克，木星的質量約為L9X

10"千克，問木星的質量約是地球的多少倍？(結果保留三個有效數字)

師：這個題目計算本不難，只需做一個除法：(1.9X1027)+⑸98X10”).生：對1.9和

5.98不知該怎么辦？

師：1.9和5.98看起來有點像什么呢？

生：有點像單項式3x中的系數3.

師：對，單項式是怎樣的？系數是怎樣的?請你舉幾個洌子.

生：單項式如3x：lx,-5x2,它們的系數分別為3,1,-5.

33

師：我們也可以把1.9X1CF中的1.9看成是10”的系數.請大家討論分析這題該怎么計算？

(學生分組討論)

生：把“系數”和同底數暴分別相除.

小結：兩個單項式相除，只需將系數及同底數鼎分別相除.

2.例題(教材第3頁例2).

計算：

(1)6a34-2a2；

(2)24a2b3-r3ab；

(3)-21a2b3c4-3ab.

師：大家分析一下第⑶題中對c該怎么辦？

生：留在商中.

3.大家討論：計算家a+mb+mc)+m,并尋找規律.

小結：多項式除以單項式時，先把多項式中每個單項式依次除以單項式，再把商相加減.

(三)作業

教材第4頁練習第1題，

第5頁習題21.1第2、3、4題.

22.3二次根式的加減法⑴

教學目標

1、知識與能力：知道什么是同類二次根式，會進行二次根式的加減法運算.

2、過程與方法：經歷探索二次根式加減的過程，掌握其計算方法.

3、情感態度與價值觀：培養學生嚴誣、仔細的數學解題習慣。

教學重點：

二次根式的加減法.

教學建點：

如何進行二次根式的加減法.

教學過程

一、回顧舊知，導入新知

1.計算：4血+3血>/12+>/27

2.導入概念：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同類二次

根式.

3.導入方法：(1)如果幾個二次根式的被JT方數相同，那么可以直接根據分配律進行加減運算.(2)如

果所給的二次根式不是最簡二次根式，應該先化簡，再考慮進行加減運算.

二、新科講解

例：下列各式中，哪些是同類二次根式？

二、隨堂練習

1.課本P12練習第1、2、3(1)(2)題.

2.2J12—4.+3。48.

3.已知：4x'+yJ-4x-6y+10=0

四、課堂總結，提高認識

1.能熟練準確地化成二次根式為最簡二次根式.

2.去括號與合并同類二次根式

注意:(1)該化簡的沒有化簡,如如果中有血+

(2)化簡得不正確;

⑶不該合并的結合并了.如夜+右=石.

五、作業

課本P12習題22.3第1、2、4題.

六、教學反思

二次根式的運算，主要研究二次根式的乘除和加減.

（1）二次根式乘除，只需將被開方數進行乘除，其依據是:

Ta_

4a-4b=4ab(a20,b20)—(a20,b>0).

4b

（2）二次根式的加減類似于整式的加減，關鍵是合并同類二次根式.通常應先將二次根式化簡，再把同類二次

根式合并.

二次根式運算的結果應盡可能化簡.

22.3二次根式的加減法⑵

教學目標

1、知識與能力：會運用二次根式的概念、性質、法則解決實際問題.

2、過程與方法：經歷探究二次根式的應用過程，掌握其應用方法.

3、情感態度與價值觀：培養學生嚴謹、仔細的數學解題習慣。

教學重點：

二次根式概念、性質、法則的運用.

教學難點：

合理應用二次根式概念、性質、法則解決實際問題.

教學過程

一、復習引入

1.計算：（l）3A-9j+?V^（2）（V48+V20）+（V12-V5）

2.復習引入.

上節課，我們對二次根式的加減進行了研究，可以歸納出解題方法：第一步，先把二次根式化成最簡二次根

式：第二步，再把被開方數相同的二次根式進行合并.本節課要學習實際應用問題.

二、新科講解

1.例1：如圖所示的Rt4ABC中，NC=90°,點P從點B開始沿BA邊以每秒1厘米的速度向點A移動；同

時，點Q也從點B開始沿BC邊以每秒2厘米的速度向點C移動，請同學們探究：幾秒后APISQ的面積為35平方

厘米？PQ的距離是多少厘米？（結果用最簡二次根式表示）

2.例2：要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少鋼材？（精確到0.1川）

三、隨堂練習

1.設三角形三邊是a,b,c,周長是C.

（1）如果a=7同，人=4瓦,c=2西，求C.

(2)如果a=c=Jl60in,C=9>/10m,求b.

2.如圖，在LlABCD中，DE_LAB,E在AB上，DE=AE=EB=a,求UABCD的周長C.

四、總結

本節課主要掌握二次根式概念、性質、法則的運用；從實際問題出來，來認清應用的本質，學會列式和計算.

五、作業

六、教學反思

二次根式的運算，主要研究二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式乘除，只需將被開方數進行乘除，其依據是:

4a_[ci

4a-4b-J~ab(a20,b20)(a20,b>0).

(2)二次根式的加減類似于整式的加減，關鍵是合并同類二次根式.通常應先將二次根式化簡，再把同類二次

根式合并.

二次根式運算的結果應盡可能化簡.

第二十三章一元二次方程

23.1一元二次方程

教學目標:

1、知識與能力：知道一元二次方程的定義，能熟練地把一元二次方程整理成一般形式a—+bx+c=0

WO）；

2、過程與方法：會用試驗的方法估計一元二次方程的解。

3、情感態度與價值觀：讓學生體會方程思想。

重點唯A：

I.一元二次方程的意義及一般形式，會正確識別一般式中的“項”及“系數”。

2.理解用試驗的方法估計一元二次方程的解的合理性。

教學過程:

—做一做：

1.問題一綠苑小區住宅設計，準備在每兩幢樓房之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長

比寬多10米，那么綠地的長和寬各為多少？

分析：我們可以運用方程解決實際問題.現設長方形綠地的寬為x米，不難列出方程

x（x+l0）=900

整理可得x2+10x-900=0.（I）

2.問題二學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年的年平均增率.

分析：設這兩年的年平均增長率為x,我們知道，去年年底的圖書數是5萬冊，則今年年底的圖書數是5（1

+x）萬冊；同樣，明年年底的圖書數又是今年年底的（1+x）倍，即5（1+x）（l+x）=5（l+x）2萬冊.可列得方

程

5（1+x）2=7.2,

整理可得5x2+1Ox-2.2=0.（2）

3.思考、討論

這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）.顯然，這兩個方程都不是一元一次方程.

那么這兩個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？

（學生分組討論，然后各組交流）

共同特點：（1）都是整式方程（2）只含有一個未知數（3）未知數的最高次數是2

二、一元二次方程的概念

上述兩個整式方程中都只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2,這樣的方程叫做一元二次方程）.通常可

寫成如下的一般形式：

ax2+bx+c=0（a、b、c是已知數，aWO）。其中以？叫做二次項，。叫做二次項系數；力式叫做一次項，〃叫做

一次項系數，。叫做常數項。.

二、例題講解與練習鞏固

1.例1下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。

X-22

,-----------X2A/

(1)3x+2=5x-3(2)尸=4⑶x+1⑷廠-4=(x+2)~

2.例2將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項：

1)6y2=y2)(x-2)(x+3)=83)U+3)(3x-4)=(x+2)-

說明：一元二次方程的一般形式云+c=°(。工0)具有兩個特征：一是方程的右邊為0：二是左邊

的二次項系數不能為仇此外要使學生意識到：二次項、二次項系數、一次項、一次項系數、常數項都是包括符

號的。

3.例3方程(2a—4)x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方

程？

本題先由同學討論，再由教師歸納。

4.例4已知關于x的一元二次方程(m-l)x2+3x-5m+4=0有一根為2,求m。

分析：一根為2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5.練習一將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項

1)2x2=2-3x2)2x(x-1)=3(x-5)-43)(2〉-D"-()；+=(丁+3)(y-2)

練習二關于x的方程=在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方

程？

練習二已知x=0是關于"的一元二次方程(k—1)x2+3kx+4—4|k|=0的解，求k.

布五作業：課本第27頁習題1、2、3

誨后反思：

1、只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式為版+。=°(。/0),一元二次方程的項及系數都是根據一股式定義的，這

與多項式中的項、次數及其系數的定義是一致的。

3、在實際問題轉化為數學模型(一元二次方程)的過程中，體會學習一元二次方程的必要性和重要性。

23.2.1一元二次方程的解法(1)

教學目標:

1、知識與能力：會用直接開平方法解形如以2(aW0,z必20)的方程；

2、過程與方法：會用因式分解法解簡單的一元二次方程。

3、情感態度與價值觀：使學生了解轉化的思想在解萬程中的應用，使學生經歷探索解一兀二次方程

的過程。

/點唯點、:

重點：掌握直接開平方法、因式分解法解一元二次方程，滲透轉化思想。

底點：是怎樣的一元二次方程適用于直接開平方法，怎樣的一元二次方程適用于因式分解法，并理解

一元二次方程有兩個實數根，也可能無實數根。

教學過程：

一、復習練習

把下列方程化為一般形式，并說出各項及其系數。

(1)5=4x-x2(2)5=3x2

⑶y2-(}J+l)2=(^+2)(y-2)

二、試一試

解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.

(1)/=4；(2)X2—1=0;

三、概括

對于第(1)個方程，有這樣的解法：

方程*=4,

意味著x是4的平方根，所以x=±V4,

即x=±2.

這種方法叫做直接開平方法.

對于第(2)個方程，有這樣的解法：

將方程左邊用平方差公式分解因式，得

(x—1)(%+1)=0?

必有X—1=0,或x+l=O,

分別解這兩個一元一次方程，得Xi=l,X2=-l.

這種方法叫做因式分解法.

思考

(1)方程『=4能否用因式分解法來解？要用因式分解法解，首先應將它化成什么形式？

(2)方程/-1=0能否用直接開平方法來解？要用直接開平方法解，首先應將它化成什么形式？

四、做一做試用兩種方法解方程

?-900=0.

五、例題講解與練習鞏固

1、例1、解下列方程:

(1)?-2=0;(2)16X2-25=0.

2.練習：解下列方程：

(1)?=169；(2)45—，=()：(3)12y2—25=0；(4)4?+16=0

3、例2、解下列方程：

(1)3.?+2.v=0：(2)』=3七

解：略

說明：用因式分解法解元二次方程的根據是：茗A?B=O,貝ijA=O或B=0。

4、練習

(1)小明在解方程f=3x時，將方程兩邊同時除以x,得尸3,這樣做法對嗎？

(2)解下列方程：

(1)?-2x=0(2)(f-2)(r+1)=0；⑶x(x+1)—51=0.

5、討論探索：如何解方程y2+64=16y

布夫作業：課本37頁習題第1題(1-4)o

課后反思：

1、用直接開平方法可解下列類型的一元二次方程：x2=b；ax?=b(aW0,a/?20］。解法的根據

是平方根的定義。要特別注意，由于負數沒有平方根，所以括號中規定了范圍，否則方程無實數解。

2、把一元二次方程化為一般形式后，如方程左邊可因式分解，則此一元二次方程可用因式分解法解。

23.2.2一元二次方程的解法(2)

教爭目標:

1、知識與能力：會用直接開平方法解形如Q*-k)2=/?(aW0,a/220)的方程；

2、過程與方法：靈活應用因式分解法解一元二次方程。

3、情感態度與價值觀：使學生了解轉化的思想在解方程中的應用，滲透換遠方法。

重點雁點：

合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程，理解一元二次方程無實根的解題過程。

教學過程:

一、復習練習：

1、什么是直接開平方法？清舉例說明。

2、什么是因式分解法，請舉例說明。

3、解以下方程

1)8-X2=-12)3y2—18=03)x(x-l)+4x=04)—3x2—27=0

二、例題講解與練習鞏固

1、例1解下列方程

(1)(x+1)2-4=0；(2)12(2-A-)2-9=0.

說明：(1)這時,只要把。+1)看作一個整體,就可以轉化為(6N0)型的方法去解決,這里體現了

整體思想。

(3)在對方程*+1)2=4兩邊同時開平方后，原方程就轉化為兩個一次方程。這種變形實質上是將原方

程“降次”。“降次”也是一種重要的數學方法。

2、練習一解下列方程：

(1)6+2)2—16=0；(2)(A-1)2-18=0；

(3)(1-3X)2=1；(4)(2X+3)2-25=0.

三、讀一讀

小張和小林一起解方程x(3x+2)—6(3x+2)=0.

小張將方程左邊分解因式，得

(3x+2)(.r-6)=0,

所以3x4-2=(),或X—6=0.

2

方程的兩個解為x\=----，x、=6.

3

G林的解法是這樣的：

移項，得x(3x+2)=6(3x+2),

方程兩邊都除以(3戶2),得x=6.

2

G林說：“我的方法多簡便！”可另一個解即=一§哪里去了？

小林的解法對嗎？你能解開這個謎嗎？

學生先討論交流，教師概括。

四、討論、探索：解下列方程

(1)(X+2)2=3(X+2)(2)2y(y-3)-9-3y(3)(x-2)2—x+2=0

(4)(2X+1)2=(X-I)2(5)x2-2x+l=49?

練習：解下列方程

1)2(x+3尸=6(x+3)2)(2X+3)2=(4-2X)23)x(3x+l)=9x+3

布置作業：課本第37頁習題1(5、6)、P38頁習題2(1、2)

課后反思：

1、對于形如。(工一外2=b(a#0,a/?20)的方程，只要把(X-k)看作一個整體，就可轉化為一=〃520)

的形式用直接開平方法解。

2、當方程出現相同因式(單項式或多項式)時，切不可約去相同因式，而應用因式分解法解。

23.2.3一元二次方程的解法(3)

我學目標；

1.掌握用配方法解數字系數的一元二次方程.

2.使學生掌握配方法的推導過程，熟練地用配方法解一元二次方程。

3.在配方法的應用過程中體會“轉化”的思想，掌握一些轉化的技能。

童A耀點：

1、使學生掌握配方法，解一元二次方程。

2、把一元二次方程轉化為(x+〃)2=^

教學這衽:

一、復習提問

1、解下列方程，并說明解法的依據：

(1)3-2X2=1(2)(x+l)2-6=o(3)(^-2)2-1=0

二、引入新課

我們知道,形如--A=°的方程，可變形為工2=A(A20),再根據平方根的意義，用直接開平方法求解.那

么，我們能否將形如f+/7x+c=°的一類方程，化為上述形式求解呢？這正是我們這節課要解決的問題.

三、探索：

1、例1、解下列方程:

X2+2x=5；(2)x2—4x+3=0.

歸納

上面，我們把方程f-4x+3=0變形為(X-2『=1,它的左邊是一個含有未知數的完全平方式，右邊是一個非

負常數.這樣，就能應用直接開平方的方法求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程兩邊同時加上了一個數后，左邊可以用完全平方公式從而轉化為用直接開平方法求解。

那么，在方程兩邊同時加上的這個數有什么規律呢？

四、試一試：對下列各式進行配方：

⑴/+8%=(x+)2.%2-1Ox=(x+)2

(2)X2-5x+=(x-/.x2-9x+=(x-)2

(4)X2-642X+=(x-)2

⑸j2+bx+=(x+)2

通過練習，使學生認識到；配方的關鍵是在方程兩邊同時添加的常數項等于一次項系數一半的平方。

五、例題講解與練習鞏固

1、例2、用配方法解下列方程：

(1)X2-6X-7=0；(2)x2+3x+l=0.

2、練習：

①.填空：

22

(1)x+6x+()=()(2)X2-8X+()=(x-)2

(3)f+x+()=(x+)2；(4)4X2-6X+()=4(x-)

②用配方法解方程：

(1)X2+8X-2=0(2)X2-5X-6=0.

(4)X~4-10=—2.yf^X

(3)+7=-6x

2

(5)2x-7x-2=0(6)3X2+2^-3=0.

(7)2x2-4.v+5=0(原方程無實數解)

本課小結：讓學生反思本節課的解題過程，歸納小結出配方法解一元二次方程的步驟：1、把常數項移到方程

右邊，用二次項系數除方程的兩邊使新方程的二次項系數為1；2、在方程的兩邊各加上一次項系數的一半的平

方，使左邊成為完全平方；

2、如果方程的右邊整理后是非負數，用直接開平方法解之，如果右邊是個負數，則指出原方程無實根。

布置作業：P38頁習題2.(3)、(4)、(5)、(6),3,4.(1)、(2)

23.2.4一元二次方程的解法⑷

教學目標:

1、使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。

2、使學生經歷探索求根公式的過程，培養學生抽象思維能力。

3、在探索和應用求根公式中，使學生進一步認識特殊與一般的關系，滲透辯證唯物廣義觀點。

童點理.點：

1、難點：掌握一元二次方程的求根公式，并應用它熟練地解一元二次方程；

2、重點：對文字系數二次三項式進行配方；求根公式的結構比較復雜，不易記憶；系數和常數為負數時,

代入求根公式常出符號錯誤.

教學過程：

一、復習舊知，提出問題

1、用配方法解下列方程：

(1)x2+15=10x(2)3X2-\2X+-=0

3

2、用配方解一元二次方程的步驟是什么？

3、用直接開平方法和配方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元

二次方程的實數根呢？

二、探索同底數幕除法法則

問題1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程加+云+。=0(。00)轉化為。+與2二生二也呢？

a4。~

教師引導學生回顧用配方法解數字系數的一元二次方程的過程，讓學生分組討論交流，達成共識:

因為〃H0,方程兩邊都除以。，得

2bc.

x+-x+-=0

aa

移項，得

,bc

x+-x=-

a

配方，得

X2+2MJ^~b.zb.oc

Zz五L2（五

2a

Z?2b-4ac

即“+丁）=、、

2a4a2

問題2：當方2—4。。20,且aw0時，"一:"「大于等于零嗎?

4a-

讓學生思考、分析'發表意見，得出結論：當"44。時，因為叱所以5＞。，從而寸？。。

問題3：在研究問題1和問題2中，你能得出什么結論？

讓學生討論、交流，從中得出結論，當加一4acN0時，一般形式的一元二次方程欠2+/?x+c=0(〃00)的根

為一=±在三

即1"""c

2a2a2a

-b±\Jb2-4ac

由以上研究的結果，得到了一元二次方程以2+以+。=0(〃/0)的求根公式，x=

2a

（Z?2-4wc>0）

這個公式說明方程的根是由方程的系數。、人、C所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數4、

b、C的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

思考：當從-4acNO時，方程有實數根嗎？

三、例題

例1、解下列方程：

1、2x2+x-6=0；2、W+4x=2；

3、5X2-4X-12=0；4、4x2+4x+10=l-8x

四、課堂練習

1>P35練習。

2、閱讀P39“閱讀材料”。

五、八結

根據你學習的體會，小結一下解一元二次方程一般有哪幾種方法？通常你是如何選擇的？和同學交流一下。

六、作業

P38習題4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）,

23.2.5一元二次方程的解法⑸

教學目標:

1、使學生能根據量之間的關系，列出一元二次方程的應用題。

2、提高學生分析問題、解決問題的能力。

3、培養學生數學應用的意識。

重點難點：

認真審題，分析題中數量關系，適當設未知數，尋找等量關系，布列方程是本節課的重

點，也是難點。

教學過程：

一、復習舊知，提出問題

1、敘述列一元一次方程解應用題的步驟。

2、用多種方法解方程(3x7)2=/+6工+9

提問：用哪種方法解方程(3x-l)2=Y+6x+9更簡便？

二、解決問題

清同學們先看看P26頁問題1,要想解決§22.1的問題1,首先要解方程丁+1Ox_900=0,

同學傘能解這個方程嗎？

提問：

1、所求西、.都是所列方程的解嗎?

2、所求M、馬都符合題意嗎？

三、冽題

洌1.如圖，一塊長和寬分別為60厘米和40厘米的長方形鐵皮，要在它的四角截去四個相等

的小正方形，折成一個無蓋的長方體水槽，使它的底面積為800平方米.求截去正方形的邊長。

分析：設截去正方形的邊長x厘米，底面(圖中虛線線部分)長等口------------m

于厘米，寬等于_______________厘米，S底面=。

清同學們自己列出方程并解這個方程，討論它的解是否符合題意。

由學生回答解題過程，教師板書：Lj_____JJ

解略LJ------------LJ

四、課堂練習

P36練習1、2

五、小結

讓學生反思、歸納、總結，應用一元二次方程解實際問題，要認真審題，要分析題意，找出數

量關系，列出方程，把實際問題轉化為數學問題來解決。求得方程的解之后，要注意檢驗是否任命

題意，然后得到原問題的解答。

六、作業

P38習題5、6、7

23.2.6一元二次方程的解法(6)

教學目標：

1、使學生會列出一元二次方程解有關變化率的問題。

2、培養學生分析問題、解決問題的能力，提高數學應用的意識。

變點地點：

本節課的重點和難點都是列出一元二次方程，解決有關變化率的實際問題。

教學

一、創設問題情境

百分數的概念在生活中常常見到，而量的變化率更是經濟活動中經常接觸，下面，我們就來研究這樣的問題。

問題：某商品經兩次降價，零售價降為原來的一半，已知兩次降價的百分率一樣。求每次降價的百分率。（精

確到0.1%）

二、探索解決問題

分析：“兩次降價的百分率一樣”，指的是第一次和第二次降價的百分數是一個相同的值，即兩次按同樣的

百分數減少，而減少的絕對數是不相同的，設每次降價的百分率為X,若原價為。，則第一次降價后的零售價為

a-ax=a（\-x）,又以這個價格為基礎，再算第二次降價后的零售價。

思考：原價和現在的價格沒有具體數字，如何列方程？請同學們聯系已有的知識討論、交流。

解略

三、拓展引申

某藥品兩次升價，零售價升為原來的L2倍，已知兩次升價的百分率一樣，求每次升價的百分率（精確到

0.1%）

解略

四、鞏固練習

P37練習1、2

五、G結

關于量的變化率問題，不管是增加還是減少，都是變化前的數據為基礎，每次按相同的百分數變化，若原始

數據為設平均變化率為X,經第一次變化后數據為。（1±的；經第二次變化后數據為。（1±幻2。在依題意列

出方程并解得x值后，還要依據0＜工＜1的條件，做符合題意的解答。

六、作業

P38習題8、9

七、教學后記：

在應用一元二次方程解實際問題時，也像以前學習一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住主要的數量關

系，列出方程，把實際問題轉化為數學問題來解決.求得方程的根之后，要注意檢驗是否符合題意，然后得到原

問題的解答.

23.3.1實踐與探索（一）

教學目標：

1、學生在已有的一元二次方程的學習基礎上，能夠對生活中的實際工資問題進行數學建模解決問題，從而進一

步體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型。

2、讓學生積極主動參與課堂自主探究和合作交流，并在其中體驗發現問題、提出問題及解決問題的全過程，培

養學生的數學應用能力。

3、學生感受數學的嚴謹性，形成實事求是的態度及進行質疑和激發思考的習慣；獲得成功的體驗和克服困難的

經歷，增進應用數學的自信心。

重點難點：

1、重點：利用元二次方程對實際訶題進行數學建模，從而解決實際問題。

2、難點：學生分析方程的解，自主探索得到解決實際問題的最佳方案。

教學過程：

一、鞏固舊知識

1、解方程/-70x+825=0,并敘述解一元二次方程的解法。

2、說說你對實踐問題的解決時，有何經驗，有何體會？

二、創設問題情境

小明把一張邊長為10。〃的正方形硬紙板的四周剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方形盒子。

（1）如果要求長方體的底面面積為81cm）那么剪去的正方形邊長為多少？

（2）如果按下表列出的長方體底面面積的數據要求，那么剪去的正方形邊長會發生