第一章習題解答

1.1已知不變線性系統H勺輸入為

^（x）=comb（x）

系統的傳遞函數A若b?。?）b=0.5（2）b=1.5,求系統H勺輸出g（x）。并畫出

輸出函數及其頻譜的圖形,

答：⑴x）=F{6（x）}=l圖形從略,

(2)g(x)=F松中（￡-1畤（力+1）卜專3皿）圖形從略。

1.2若限帶函數/（乂），）的傅里葉變換在長度L為寬度W的矩形之外恒為零,

（i）假如何＜，回＜5

,試證明

1.X.

：-smc—smc

\ab5*心卜心）

=F{f(x,y)}rect(af^f)

—)Dxy

證明:

."(x，y)=F7{F{f(xty^rect(afx也)卜看5加

⑵假如I4>g,|^|>—

，還能得出以上結論嗎?

（ff\

答：不能。由于這時F{/（xM}waU松制伏）。

\Lw）

1.3對一種空間不變線性系統，脈沖響應為

〃（戈,y）=7sinc（7.v）^＞（y）

試用頻域措施對下面每i種輸入力（兀），），求其輸出gj（x,y）。（必要時，可取合理近似）

(1)f(x,y)=cos4G

&{x,y>F{F{f}(x,y)}F{〃(XJ)}}=F-{F{COS4T.X}F{7si〃(7x)5(y)}}

答:

F{cos4it.r}?=F"{F{COS4TIX}}=COS4Kx

(2)j\(x,y)=cos(4冗x)rect

答:

%(x。'產t{F{<(x,y)${/?(xj)}"，F?cos(4冗x)rect\《《年{7s加(7x)8(y)}.

-l

=F?(F{cosAnx}*75-75sinc(75fx)sinc(75fy)jrec/|-=COS(4Kx)rect

(3)&(x,)；)=[l+cos(8兀刈2cf—

gs(x,y)=F」F,[l+cos(8兀x)]rect—jF{7s〃KZr)5(y)}?

答:

華)&Ft{/5sinc(75fx)5億及ecf僻)

=F'?75sinc(75fx)5(/v)rect

(4)f4(x,y)=conib(x)*(rect(2x)rect(2y))

答:

gG，y)=F-{F{comixx)*(rect(2x)rect(2y))}F{7si成Zr)8()，)}}

；(">0.6375--16>0.6375億+1

=Ft(0.256(/vJ>0.1596(A-l,/>0.1595伍+l/)0.0538(/v-3,/v)-0.0538(人+34)}

=0.25+0.318cos⑵ix)-0.106COS(6JIX)

1.4給定一種不變線性系統，輸入函數為有限延伸的三角波

gj(X)=rect\*八(X)

3)4

對下述傳遞函數運用圖解措施確定系統的輸出。

(1)//(/)=rect

uJ

(2)〃(/)=rectg

-rect(2

答：圖解措施是在頻域里進行小J,首先要計算輸入函數的頻譜，并繪成圖形

Ixxr

G⑺=F{gG)}=〈F—coinb(^)*F-rect(-^)?

50

[⑷?(3/)*50sinc(50/)]sinc~f

方括號內函數頻譜圖形為:

54i21L241

T-y-1-丁T33133?1

圖1.4(1)

sine2/圖形為:

0.685

0.170.04

I.2..2I

133331

圖1.4(2)

由于sin//的辨別力太低，上面兩個圖縱坐標的單位相差50倍。兩者相乘時忽視中心五個

分量以外的其他分量，由于此時sine?/的最大值不不小于0.04%。故圖解G(f)頻譜成果

為：

G(\

50

50*0.685

50*0.171

2112-f

3333.

圖1.4(3)

傳遞函數(1)形為：

圖1.4(4)

由于近似后H勺輸入函數頻譜與該傳遞函數相乘后，保持不變，得到輸出函數頻譜體現式為:

LrL

112)

^(/)+0.685^(/++*50sinc(50/)+0.171^(/+-)+^(/--).

J-JJ-J

其反變換，即輸出函數為：

■x21x

1+1.37cos2%"I0.342cos2TTXrect()

L33」50

該函數為限制在［-25,25］區間內，平均值為1,周期為3,振幅為L37的一種余弦函數與周

期為1.5,振幅為0.342的另一種余弦函數的疊加。

傳遞函數(2)形為：

圖1.4(5)

此時，輸出函數僅剩余在［-2,-1］及［1,2］兩個區間內分量，盡管在這兩個區間內輸入函數的

頻譜很小，相對于傳遞函數(2)在的零值也是不能忽視的，由于

sinc2(1)=0.043sinc2(1)=0.027

可以解得，通過傳遞函數(2)得到B勺輸出函數為：

-451x

().(M3cos2乃一x+0.027cos2^-xrect(—)

335()

該函數仍然限制在［-25,25］區間內，但其平均值為零，是振幅為0.043,周期為0.75,的I一

種余弦函數與振幅為0.027,周期為0.6口勺另一種余弦函數口勺疊加。

1.5若對二維函數

〃（x,y）=asine2（ax）

抽樣，求容許的最人抽樣句隔并對詳細抽樣措施進行闡明。

也就是說，在X方向容許為最大抽樣間隔不不小于"2a,在y方向抽樣間隔無限制。

1.6若只能用ax〃表達的有限區域上日勺脈沖點陣對函數進行抽樣，即

試闡明，雖然采用奈魁斯特間隔抽樣，也不能用一種理想低通濾波器精確恢復g（國>）。

答：由于。xb表達的有限區域以外H勺函數抽樣對精確恢復g（xj）也有奉獻，不可省略。

1.7若二維不變線性系統的輸入是“線脈沖”/（x,），）=況x）,系統對線脈沖的輸出響應稱

為線響應“X）。假如系統日勺傳遞函數為證明：線響應H勺一維傅里葉變換等于

系統傳遞函數沿九軸的截面分布〃（￡，0）。

證明：F{L（x）}=F{3（y）*Mx，y）}=5億）"億/）="（九。）

1.8假如一種空間不變線性系統H勺傳遞函數在頻率域曰勺區間|/；設|/；.|</之外恒為

Bx,

零，系統輸入為非限帶函數go（x，）'），輸出為g（X,），）。證明，存在一種由脈沖的方形陣列

構成的抽樣函數g0（x，y），它作為等效輸入，可產生相似內輸出g（4，）'），并請確定goN）,）。

答：為了便于從頻率域分析，分別設：

物的空間頻譜J=F｛g0（x,y）｝；

像的空間頻譜A（L」y）=F｛gj（x,y）｝；

等效物體的空間頻譜A'o（A，4）=F｛g'o（x，y）｝；

等效物體"勺像的空間頻譜A'o（￡，4）二尸｛g'o（x,y）｝.

由于成像系統是一種線性的空間不變低通濾波器，傳遞函數在，JwBv,|/v|＜紋之外

恒為零，故可將其記為:

運用系統日勺傳遞函數，表達物像之間在頻域中的關系為

=45/）

在頻域中我們構造--種持續的、二維周期性分布的領域函數，預期作為等效物的譜，措

施是把4（＜，4）?％。/（套）%/

A安頓在fjy平面上成矩形格點分布日勺每一種

（2紇〃,28、.⑼點周圍，選擇矩形格點在，、刀方向上的間隔分別為23,和2生，以免頻譜

混疊，于是

筮（￡/）=!憶々焉*￡￡*/-2紇〃/一20〃)

V乙DyJn-m=-o0

=AAf,f)?rect[|red|*——!—comb\|comb

,(2BJ(28J4紇4[2Bj[2By)

對于同一種成像系統，由于傳遞函數的通頻帶有限，只能容許A'o（￡.,/V）l向中央一種

周期成分（〃="=0）通過，四此成像的譜并不發生變化，即

4。（￡，“田（￡，4）憶《奈卜儀

5?（￡/）

=4（力/）

圖1.8用一維形式表達出系統在頻域分別對&和A'。的作用，為簡樸計，系統傳遞函數在

圖中表達為wcf工-。/、

A'o(/x)=4(/x)w”

Ao(fx)

W次于x—2B、n)

^BxBxHBxB?

Ai(fx)=Ao(fx)H(fx)A*i(fx)-A'o(fx)H(fx)

-BxBxBxBx

圖題1.8

既然，成像的J頻譜相似，從空間域來看，所成日勺像場分布也是相似日勺，即

UQ,y）=a（x,），）

因此，只規定出A￡/X，A）的逆傅立葉變換式，就可得到所需的等效物場，即

。0（羽），）=尸74（人4）｝

帶入（1）式，并運用卷積定理得到

—!—combfy

u'o（x，?。┒唬?（/x/xF-'

2By4%%2BY

尸胃4（九，亦）作“fy

xcomb(2Bxx)comb(2BYy)(2)

上式也可以從抽樣定理來解釋。

fy

A(fx，fY)reareel

2BY

是一種限帶的頻譜函數，它所對應的空間域的函數可以通過抽樣，用一種點源的方形陣列來

表達，若抽樣口勺矩形格點的間隔，在x方向是，一,在〉方向是一匚，就得到等效物場

2Bx23y

U'o(x,y)

fy

reel

28y

=i70(x,y)*4B(B、,sinc(2Bx.r)sinc(2BYy)

00

=4BxBjJUo(?nd2Bxd)]xsind2紇如⑶

-<x?

comb(2Bxx)comb(2Byy)

188nm

---------------------Zx------,y------(4)

2BX-2BY

把（3）、（4）式代入（2）式，得到

88m

U'o(x,y)=,JJ{/()(^,7；)sincf2(x-^)1xsincf2BY(y-n)}d^drj

2Bxx------2,Byj------

-00n=-x

運用5函數性質（1.8）式，上式可寫為

U'°("y)=

00800

JJU尼,〃)sinc[n-2B^)]xsin6xnm

zzx

Jl="oo；M=-a>式I“拓,

這一點源日勺方形陣列構成的等效物場可以和真實物體U（）產生完全同樣的像

本題運用系統日勺傳遞函數，從頻率域分析物象關系，先找出等效物的頻譜，再通過傅立

葉逆變換,求出等效物場的空間分布，這種頻域分析措施是傅立葉光學問題口勺基本分析措施。

第二章習題解答

2.1一列波長為％日勺單位振幅平面光波，波矢量〃與x軸的夾角為45°,與），軸夾角為

60°，試寫出其空間頻率及z=Z］平面上的復振幅體現式。

答：fxg，f=77，U(%，y，zJ=exp(jkZ])expj2l彥x+U(0,0,0)

4yZZ\LKLK

2.2尺寸為aXb日勺不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后的平面

上日勺透射光場的角譜C

(cosacosf3\,.(cosa\.(,cos0

答：U(xy)=rect—rect\—AA----,----\=absin(Aa-----Lyz/zqb-------

t\a)\b)IAX)IXJIX

2.3波長為/11對單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，在孔徑平面上有一種足夠大的

模板,共振幅透過率為rGoRo.sh+cos231”）,求緊靠孔徑透射場I內用譜。

答::

4箋嚶）=0.58（箋等卜）.25（3人《小嬰-1卜人6（3人箋力（等

2.4參看圖2.13,邊長為2。的正方形孔徑內再放置一種邊長為。的J正方形掩模，其中心落

在G，7)點。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求出與它相距為z的觀測平面上夫

瑯和費衍射圖樣的光場分布。畫出4="=0時，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。

圖2.4題

F依。/入山電%)義力42式)入山4%)sin^afy心4力+%))

2.5圖2-14所示的孔徑由兩個相似的矩形構成，它們的寬度為。，氏度為/?,中心相距為

d。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求與它相距為z日勺觀測平面上關瑯和費衍

射圖樣的強度分布。限定h=4。及，=1.5〃，畫出沿x和y方向上強度分布的截面圖。

假如對其中一種矩形引入位相差不，上述成果有何變化？

答:

率之和:

_dd

y)=rect(—)rect(------)+rect(—)rect()(1)

0abab

由于是單位振幅平面波垂直照明，孔徑平面上入射光場

“0（工0，）’0）=1，

透射光場

dd

x>o-y%+不

u(x,No)=%(不)，％)”(%,%)=rect(-^)rect(-)+rect(-)rect(——乙)(2)

0abab

由夫瑯和費衍射方程，在夫瑯和費區中離孔徑距離Z的觀測平面上得到夫瑯和費衍射圖樣

U（x,y）,它正比于孔徑上場分布日勺傅立葉變換式（頻率坐標/；=A-,/v=2-）,即

exp(上)expJ—(x2+y2)

U(x，>')=------------------------^xF{t/(xo,>o))<3)

運用傅立葉變換的相移定理，得到

d

x)'o+3

尸{U(/,)，o)}=Frect(^)rect(+F\rect(—)rect(-----)?

ah

="sinc(")sinc(bfy)x[exp(-j^fyd)+exp(7>//)]

7idy

=267/?sinc(^-)sinxcos((——)

%z2z

把它帶入（3）式，則有

exp(捶z)expj—(x2+/)

e、L2z」c八?/奴、?*)'、產dy

U(x,y)=-------------------------x2absinc(——)sinc(-^)xcos(——)

jAz2zAz2z

強度分布

不難看山，達?強度分布是矩孔徑衍射圖樣和雙光束T涉圖樣互相調制的成果。

雙縫日勺振幅透射率也可以寫成下述形式:

(4)

它和（1）式本質上是相似的。由（4）式可以運用卷積定理直接求出其傅立葉變換式，導出

與上述同樣H勺成果。代人所給條件b=4a,d=1.5a

沿x軸，此時＜二0

/(.九4)=8/sin/(相J

中心光強：I(0,0)=8a2

極小值位置為：/=-(〃=±1,±2,?，)

Ka

沿y軸:

此時＜=0，故

22

I(＜./)=8/sinc(4af.)cos(1.5妝fv)

中心光強：1(0,0)二8/

極小值位置：f=—及＜=上&(〃=±1,±2,)

,4a)3a

y方向上強度分布H勺截面圖示意如下:

圖題2.5(3)

??%，)")=%"工recl\*

I。JIb)

d\

與，No一耳卜xp[-J句+小/，％

reelI—J*（

由于是單位振幅平面波垂直照明,孔徑平面卜入射光場

U0a，y)=l，

透射光場,b=4a,d=L5a時

U（N，乂）=u0（x，y）"（%，y）

d

）'「5

exp[-j^]+rect

y+0.75a、

:'’5a)exp[_J;r]+%cf-j

red五)red-)

由夫瑯和費衍射方程，在大瑯和費區中離孔徑距離z的觀測平面上得到夫瑯和費衍射圖樣

U（x,y）,它正比于孔徑上場分布的傅立葉變換式（頻率坐標二二），即

X.ZAZ

exp(心)時/五上+y2)

u(x,y)二尸{U(%,%)}(3)

jAz

運用傅立葉變換的相移定理，得到

，%-0.75a、No+0.75。

F{U(xQ,yQ)}=F<rect金rectexp+F<rectrect

、a<4。>ci4^

=sinc(%)sinc(4afy)exp(-1.5j^/v)exp(一萬)]+8〃sinc(afx)sinc(4afy)exp(I.5j^/v)

=8c/sin以歹Jsinc(4所.)x(exp(-1.5y^/v-即)+exp(1.5j^/v))

把它帶入(3)式，則有

exp(網expW

U(x,y)=-x86/2sin。(初)sinc(4%.)

1Mz

X(exp(—-")+exp(l.5"fj)

exp(咫)exp4，+y2)

x8/sinc(^—)sinc(^-)

2z4z

-1.5/^yjTi、,1.5/^-yj)、

xexp2￡exp(T-一拳+exp(g-+勺)

2

exixp/五，+*

皿

-x8。-sinc(——)sinc(

j九z2z2z，

(1.57ry乃、

xexpcos

I2j\4z+￡

強度分布

(jay_1.57ry兀

/(7cos

<4z)4z2

sinc'sine-

iZz4z2z；

2.6圖2-14所示半無窮不透明屏H勺復振幅透過率可用階躍函數表達為，(%)=stcp(xo)。采

用單位振幅H勺單色平面波垂直照明，求相距為z的觀測平面上夫瑯和費衍射圖樣的復

振幅分布。畫出在大方向上的振幅分布曲線。

0

圖題2.6

答：F"（%J。）卜F卜?。?）”今（A匕

z)j2jix

=exp（jk

一；2Xz

振幅分布曲線圖從略。

2.7在夫瑯和費衍射中，只要孔徑上H勺場沒有相位變化，試證明：（1）不管孔徑的形狀怎

樣，夫瑯和費衍射圖樣均有一種對稱中心。（2）若孔徑對于某一條直線是對稱的，則

衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直口勺兩條直線對稱。

證明：（1）在孔徑上的場沒有相位變化時，衍射孔徑上的光分布晨X,），）是一種實函數，其

傅里葉變換G（￡/J是厄米型函數，即：

G（<jv）=a（—L「fv）

因此/（//耳6（,九川2?.（-九-/）=/（-。廠/）因此夫瑯和費衍射圖樣有一種對

稱中

（2）孔徑對于某一條直線是對稱時，以該直線為y軸建立坐標系。有:

g（x,?g（-x,y）

因此G（"）G（—”v）

同步G（￡JV）=G.（—九一力）

G（A，-/>G（-/V，4）=G（/r，4）

因此

可見衍射圖樣將對于通過原點與該直線平行和垂直H勺兩條直線對稱。

2.8試證明如下列陣定理：假設在衍射屏上有N個形狀和方位都相似的全等形開孔，在每

一種開孔內取一種相對開孔來講方位同樣的點代表孔的位置，那末該衍射屏生成口勺夫

I良和費衍射場是下列兩個因了的乘積：（I）置于原點的種孔徑的大眼和費衍射（該

衍射屏的原點處不一定有開孔）；（2）N個處在代表孔位置的點上的點光源在觀測面

上的干涉。

證明：假設置于原點的一種孔徑表達為N個處在代表孔位置的點上的點光源表

達為?（x-七,），-），,），則衍射屏的透過率可表達為

N

&JoR（4，為皮8（f，kX），

N

其傅里葉變換可表達為

F{，（3O4F{%（%,%》F岳

N

該式右邊第一項對應于置于原點的一種孔徑的夫瑯和費衍射，第二項對應于N個處在代表

孔位置H勺點上H勺點光源在觀測面上的干涉，因此該衍射屏生成丑勺夫瑯和費衍射場是這兩個因

子的乘積。

2.9一種衍射屏具有下述圓對稱振幅透過率函數

但+kos5

122

(I)這個屏的作用在什么方面像一種透鏡?

(2)給出此屏的焦距體現式。

(3)什么特性會嚴重的限制這種屏用做成像裝置（尤其是對「彩色物體）？

答：（1）解

衍射屏日勺復振幅投射率如圖所示，也可以把它表達為直角坐標的形式:

+)3

r(x,=*—+-cos|cz(x2+y2)J-circ利

(1)

（1）式大括號中第一項僅僅是使直接透射光振幅衰減，其他兩項指數項與透鏡位相變換因

子exp-j—（x2+y2）比較，可見形式相似。當平面波垂直照射時，這兩項的作用是分

于

別產生會聚球面波和發散球面波。因此在成像性質和傅立葉變換性質上該衍射屏均有些類似

與透鏡，因子circ表明該屏具有半徑為/的圓形孔徑。

(2)解

把衍射屏復振幅透射率中的復指數項與透鏡位相變換因子相比較，得到對應的焦距，對于

,exp|-Ja(x2+)，2力項，令。\,則有

42fl

f_k_兀

1laXa

焦距工為正，其作用相稱于會聚透鏡，對于！expb&a2+y2）]項，令。二言，則有

42于2

f_k_TI

'12aka

焦距人為負，其作用相稱于發散透鏡，對于”這一項來說，平行光波直接透過，僅振

幅衰減，可看作是

力=8

（3）解

由于該衍射屏有三重焦距，用作成像裝置時，對同一物體它可以形成三個像，例如對于無窮

遠時點光源，分別在屏兩側對稱位置形成實像和虛像，另一種像在無窮遠（直接透射光）（參

看圖4.12）。當觀測者觀測其中一種像時，同步會看到此外的離焦像，無法分離開。如用接

受屏接受，在任何一種像面上都會有其他B勺離焦像形成的背景干擾。除此以外，對于多色物

體來說，嚴重的色差也是一種重要的限制。由于焦距都與波長2成反比。例如取

Ard=6900A,4kle=4000A,則有

_4000

Jred-6900]

k057篇.

這樣大的I色差是無法用作成像裝置口勺，若采用白光作光源，在像面上可以看到嚴重口勺色散現

象。

這種衍射屏實際就是同軸形式口勺點源全息圖，即伽柏全息圖。

2.10用波長為4=6328A的平面光波垂直照明半徑為與衍射孔，若觀測范圍是與衍

射孔共軸，半徑為30〃〃〃的圓域，試求菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射的范圍。

答：由式(2.55)z3〉〉和4+片)2及式(2-57)+北)有菲涅耳衍射和夫瑯和費

衍射分別規定

為白全硝2即"餐烹菽西M98.7W?

z〉〉L%(x：+y：)=----------rl2=4964.6mm

2、0九廠0.6328x10-

2.11單位振幅的單色平面波垂直入射到二分之一徑為?？谏讏A形孔徑上，試求菲涅耳衍射圖

樣在軸上時強度分布。

答：圓形孔徑日勺透過率可表達為

?.qD

根據式(2.53)有

U(0,0,z)==2\-cos—a2

(2z

【4z

2.12余弦型振幅光柵的復振幅透過率為

Go）=a+bcos2K-j-

式中，d為光柵周期，a>b>0,>0。觀測平面與光柵相距z。當z分別取下列各數

值：(1)z=z7=與;(2)z='=《；(3)z=H=《(式中z/稱作泰伯距離)

22A42/1

時,確定單色平面波垂直照明光柵，在觀測平面上產生的強度分布。

答:根據式(2.31)單色平面波垂直照明下余弦型振幅光柵的復振幅分布為

uQo}=a^-bcos2n§

強度分布為

角譜為

）（）

AA/v=\\[a-bcos^(-加(4人+兒/年與仇

=。6（AJv（力+4）內y/J）

傳播距離z后，根據式(2.40)得到角譜

十(“崔卜?也苧加胡卜(MJ可J]

=exp（欣z>v?（一/爺）

故

(“凈伉九)叩弓功司-呼］)

A（/；/,z）W?亨

與AolA/j僅相差i種常數位相因子，因而觀測平面上產生口勺強度分布與單色平面波垂直

照明下剛剛透過余弦型振幅光柵產生口勺強度分布完全相似。

(2)z=時

40=exi*(/v,/v)-1W人=/W(fx4/vlT

人」l\ClJ\ClJJ)

對應復振幅分布為

xx—d2,

U(x,y)=a-bcos2n—=a+bcos2K-------

dd

因而觀測平面上產生的強度分布為平移半個周期的單色平面波垂直照明下剛剛透過余弦型

振幅光柵產生的強度分布,

/、ZTd?

（3）z=—=——

42/1

人（￡/,2）=exp[jkzl疝

對應復振幅分布為

U卜，丁jbcos2n—

強度分布為

/0,y）=6z2+/?2cos22JI

2.13圖2.16所示為透射式鋸齒型位相光柵。其折射率為〃，齒寬為。，齒形角為a,光柵

整體孔徑為邊長L的正方形。采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求距離光柵為z的

觀測平面上夫瑯和費衍射圖樣的J強度分布。若讓衍射圖樣中的某個一級譜幅值最人，a

應怎樣選擇？

圖2.16（題2.13）

答：在如圖H勺透射式鋸齒型位相光柵中，單位振幅的單色平面波由光柵的背后平面入射垂直

照明，則在齒頂平面形成的光波復振幅分布可表達為

uQo，〉（）卜"〃（的儂（〃-/））%以（?}!comb^-

其角譜為

A。(/,v/vHJUQO，”/中(一加(4力+y°A肪0也

"<c

*asinc(afycomb(af)

sxsincLfxsincLfv

rga(n-l)y

.com從")6{fyyLrsincLfxsincLfy

吆aS-1)))

區8(/yi?sincLfsincLf

asinca\Avxy

若讓衍射圖樣中日勺〃，級譜幅值最大，應選擇a使得

Aa

因而有

2.14設〃(x)為矩形函數，試編寫程序求〃=1/4,1/2,3/4時，其分數階傅里葉變換,

并繪制出對?應沙川司日勺曲線。

答：根據分數階傅里葉變換定義式(2.62)

%

exp00

G(?=Fa{g(x)}=?,jexp70+丁)心

2〃sina2tgasinez

-X

以及式

P=2—⑵79)

71

即可編程計算〃=1/4,1/2,3/4時的分數階傅里葉變換(此處略)。

第三章習題解答

3.1參看圖3.5,在推導相干成像系統點擴散函數（3.35）式時，對于積分號前的相位因子

（1）物平面上半徑多大時，相位因子

exp，白（其+），：）

L2doJ

相對于它在原點之值恰好變化n弧度？

（2）設光瞳函數是一種半徑為a的圓，那么在物平面上對應h的第一種零點H勺半徑是

多少？

（3）由這些成果，設觀測是在透鏡光軸附近進行，那么a,人和d,之間存在什么關系

時可以棄去相位因子

exp，白（年+戴）

L2doJ

解：（1）由于原點的相位為零，于是與原點位相位差為；r的條件是

5產+幻啜51阿

（2）根據（）式，相干成像系統H勺點擴散函數是透鏡光瞳函數的夫瑯禾費衍射圖樣,

其中心位于理想像點（片，丸）

/?(%,%;“：.)=2/"JP(x,y)exp<_-^o)2+(X->o)2Jdcdy

Adi

1aJ^ljiap)

B\circ—

下44萬44p

式中/=jY+yZ,而

(1)

。二即飛討*廿2

在點擴散函數的第一種零點處，4（2萬。夕）=0,此時應有24〃夕=3.83,即

0.61

Pc=--a---

將（2）式代入（1）式，并注意觀測點在原點（％=?=（））,于是得

0.61皿)

1-------

a

（3）根據線性系統理論，像面上原點處的場分布，必須是物面上所有點在像面上的點

擴散函數對于原點的奉獻/?（%,%;（）,0）。按照上面的分析，假如略去h第一種零點以

外口勺影響，即只考慮正勺中央亮斑對原點的奉獻，那么這個奉獻僅僅來自尸物平面原點

附近^<0.612^/<7范圍內口勺小區域。當這個小區域內各點的相位因子

expUk%2/24j變化不大，就可認為（）式的近似成立，而將它棄去，假設小區域內

相位變化不不小于幾分之一弧度（例如兀/16）就滿足以上規定，貝娉/244條,

彳；Ka/。/】6,也即

a>2.44JM)(4)

例如4=600〃m，d）=600〃m,則光瞳半徑。之1.46加機，顯然這一條件是極易滿足

的。

3.2一種余弦型振幅光柵，復振幅透過率為

/（/，打）=g+gcos2磯飛

放在圖3.5所示日勺成像系統日勺物面上，用單色平面波傾斜照明，平面波的傳播方向在&Z平

面內，與Z軸夾角為（）。透鏡焦距為f,孔徑為D。

（1）求物體透射光場的I頻譜；

（2）使像平面出現條紋的最大。角等于多少？求此時像面強度分布；

（3）若（）采用上述極大值，使像面上出現條紋H勺最大光柵頻率是多少？與。=0時歐J截

止頻率比較，結論怎樣？

解：（1）斜入射的單色平面波在物平面上產生H勺場為Aexp140sinO）,為確定起見設

0>0,則物平面上的透射光場為

〃（乙），X））=Aexp（jAx0sin8）?x（）,y（））

A(sin。)1「sin。]1「sin6?JI

ex+ex

-1PTPj2^o(/o+--)+-exp_j2co(fo一——)\\

AJ1[-4」，L%」J

其頻譜為

427)=戶{，)(%,%)}

4]sin。)1S(sine、]1J,sin。、

二*一下卜MH加￡方#5帶十介T1

由此可見，相對?于垂直入射照明，物頻譜沿J軸整體平移了sin6V4距離。

（2）欲使像而有強度變化,至少要有兩個頻譜分量通過系統,系統的截止頻率

2=0/42/,于是規定

sin。DD),sin0,D

<——,-------V~fo----------

版/4"°A42f

由此得

D

<sin^<—(1)

V4/

。角口勺最大值為

D

(2)

盤x=arcsinI—vJ

此時像面上H勺復振幅分布和強度分布為

AD、

，G，y)=5expjl7ix

iw>

A5

AU/?X)=-j+cos2萬加

（3）照明光束的傾角取最大值時，由（1）式和（2）式可得

4f4/

即

7或~^T7（3）

2"丁J"J

。=（）時，系統的截止頻率為q=o/4Zf,因此光柵的最大頻率

Z）max-Pc-jy7⑷

比較（3）和（4）式可知，當采用0=4由傾角的平面波照明時系統的截止頻率提高了

一倍，也就提高了系統的極限辨別率，但系統日勺通帶寬度不變。

3.3光學傳遞函數在fy=0處都等于1,這是為何？光學傳遞函數時值也許不小于1

嗎？假如光學系統真的實現了點物成點像，這時的光學傳遞函數怎樣？

（1）在（）式中，令

%(4％)

h(xi,yi)=

JJ九（七,丫）四分

-<X）

為歸一化強度點擴散函數，因此（）式可寫成

00

H（4M=JJX）exp[-j2^x,.+nyi）]dxidyi

-co

而