第4章光波導技術基礎

為使激光器發出的光直接或間接地為人類服務，需要將光源發出的光調制后傳送到接收

器，這當中最重要的是要有?種衰減盡可能小而且盡可能不失真地傳輸光的光路。對于光電

子技術來講，用于發光的光源和將光轉換成電的探測元件作為光電子系統的“發”端與“收”

端，是不可缺少的重要器件，而用「各器件間光傳輸的介質光波導也是極其重要的，它將光

限制在一定路徑中向前傳播，減小了光的耗散，便于光的調制、耦合等，為光學系統的固體

化、小型化、集成化打下了基礎，是光電子學向集成光電子學發展的主要基礎知識，也是光

纖通信的重要基礎知識。

傳統光學中常用空氣作傳輸介質，用透鏡、棱鏡、光柵等光學元件構成光路來實現光的

焦、傳輸、轉折等。但在長距離傳輸中，大氣中的水分和氣體等的吸收、水滴和粉塵等煙霧

的散射等都很大，各種光學亓件又存在菲涅耳反射等耗散，因而沒有實用價俏。也有人曾試

驗過氣體透鏡：將圓管中充滿清潔的空氣，四周加熱，調整氣體流速以保持層流，用氣體溫

差構成氣體透鏡，使通過的光向中心匯聚，不致耗散，但實現起來相當困難。最終人們發現

介質光波導可以用來引導光按需要的路徑傳播，并目.損耗可以做到很小，這正如電流被限制

在線路布線、電線等中傳輸一樣。介質波導常用的有平面（薄膜）介質波導、條形介質波導和

圓柱形介質波導。當工作于光波波段時，這些介質波導常稱為平面光波導、條形光波導與光

纖.

光纖分為階躍折射率光纖和漸變折射率光纖。階躍折射率光纖的原理由英國的Tyrdall

于1854年提出，英國的Baird與美國的Hansell于1927年申請石英光纖應用專利。向玻璃

光纖輸入光最早于1930仁前后由德國人完成。1958年，美國的Kapany設計了細束光纖，

同年美國光學公司為減少光纖包層雜散光引入第二吸收期；1961年美國的Snilzer研制了

光纖激光器。1963年，日本的西遲等人申請了漸變折射率光纖專利，1968年日本玻璃板公

司研制出產品。1970年，美國Cun山唱公司研制出20囚/kiu的低損耗兒纖,從此之后，各

公司為實現光通信的商用化，開展了大量光學元器件和傳輸通路的研制。目前，光纖通信已

產業化，各國都在實現光纖通信網絡化。

平板與條形光波導是光學系統小型化、集成化、固體化需求下的產物。可以將光限制在

低損耗的波導內傳播。其起源可追溯到1910年德國的Hondros和Debye進行的電介質棒的

研究。1962年前后開始了薄膜光波導的研究：當年美國的Yariv從pn結中觀測到平板層中

的光波導現象，1963年，Nelson等人發現了光波導電光調制現象，1965年美國的Anderson

開始用光刻方法制作光波導，1964年，Oslerberg與Smith開始光波導耦合實驗。此后各國

開始了各種功能光波導器件的研制。

無論是平面型介質波導還是圓介質波導，它們的電磁場主要集中于芯區，但并非封閉于

芯區，在襯底與覆蓋層中，在包層中也有電磁場存在。它們緊貼著芯區，沿芯區的外法線方

向場指數衰減。介質波導是開放型波導，縱向傳播的波是表面波。平面波導是更復雜的波導

結構的基本幾何形狀，其結構最為簡單、直觀與精練，使丁?對波導中光的軌跡有最清晰的概

念，我們就由此出發來進行光波導的研究；光纖是現實應用最廣泛的光波導，并且是典型的

柱面結構，也是本章學習的重點之一。

以下我們研究遠離電源的介質光波導，即沒有空間電荷（P=0）、沒有電流（7=0）的

系統，其間填充的是線性、均勻、各向同性的不導電介質。平面波導就是界面為平面的波導，

為此需要研究界面上光線的傳播情況，就此分析形成波導的條件。

4.1平面介質光波導中的光傳播與導引波、消逝波、波導

當均勻平面波在由無源、無荷的線性、均勻、各向同性、不導電介質構成的無損介質界

面發生全反射時，整個介質空間的合成場將形成沿界面方向傳播的非均勻平面波：在光密介

質中，波場沿界面法線方向按駐波分布，稱導引波；在光疏介質中，波場沿界面法線方向按

指數衰減分布，稱消逝波，

4.1.1光在介質界面的傳播特性

由光學知識可知（圖2-6）：電磁波通過兩種介質的界面時，將發生波的反射和折射，反

射波和折射波的方向遵守折、反射定律

仇=仇'

sin3]=n2sin

反射波的振幅服從菲涅耳公式

cos，1-n2cos%

1"(4-16/)

n}cosq+n2cosft

ncos。1一〃cos%

2?(4-1/?)

%cosa+〃]COS，2

r稱為振幅反射系數，下標“_L”和“〃”分別表示由矢量垂直和平行于入射面。

%時，4增大到仇＞。，其中4滿足/sina=%sin/時,產生全反射。由

2

此得

6.=4/rsin《

當a>o(.w

ssq+HsiMa—(貨產

乙=---------\-----------------=exp(jlSL)(4-2a)

cos6>-j^sin26>,-(^-)2

_(今)2cos4+sin24T賢)2

ra=---------------------]=exp(J2&)(4-2b)

(^-)2cos<9-J^sin2〃-哈卜

式中

Jsin2a-(々/“J?

心="ctancosq(42c)

22

7sin^,~(n2/n.)

&=〃wtan(〃j〃j2cos4(42d^

下面我們分析合成場的性質。

4.1.2光密介質中的波場——導波

在光密介質中，反射波在界面發生相位突變，光強反射率夕1二夕〃=廣r*=1,即入射

功率全部反射回原光密介質中，光密介質中的場由入射波和反射波疊加而成。為簡化，考慮

入射波電矢量垂直入射面的情況，則有：

入射電場

Ey(ryt)=Eyexp[./(w-3?一)]=Eye.4+如xcosd—一zsin%)]

反射電場

r

=Ey'expf-k}r)]=Ev'exp[j(W-Lxcos，[一k]Zsin4)]

式中，匕=￡%=即％。而匕sin〃=Ao%sin4稱為縱向傳播常量，以夕標識；

%cos。]一起勺cos。]稱為橫向傳播常量，記為h,即

P=%0〃]sina(4—3。)

h=k0〃icosa(4-3Z?)

又由于

嗎’

r±=exp(725])

E、

于是有

Ey(r.i)=Eyexp(j3~)exp[j(cot+僅-瓦)]

=Aexp[j((ot+hx-fiz-d)]

E),(r,，)=Eyexp(涇)exp[j(6X-hx-pz+SL)]

=Aexp[j(a)t-lix-PZ+6L)]

合成波電場

EW，t)=Ey(r,t)+Ey\ryt)

=2Acos(hx-^Jej(M-/i:)(4-46/)

同理可得合成磁場

H(r.t)=_2A}cosSx-?)e"住)

IA(A-4b)

.2Acos^

乩二5。=一](4-4c)

4

式中,7=稱為波阻抗。

于是可得光密介質中合成場的特性：

1）合成場的等相位面（Z為常量）垂直于波傳播方向，等振幅面（X常量）平行于界面，二

者互相垂直，因而屬非均勻平面波。

2）合成波的電矢量只有橫向分量片、?，而磁矢量除有橫向分最明、外還有縱向分量

H12,因而合成波為橫電波。

3）合成場區沿x向為駐波，場分量石丫與“匕的相位差為乃/2,x向無能量傳播,

4）合成場區沿z方向為行波，傳播相速度為

COC

Vp=—=-------

P.sin.

可見V,,大于介質中光的傳播速度c/n},甚至可大于真空中光速co

相應地，z波長為

二2萬二乙

"PP小inq

可見，（大于介質中的自由波長4/々，甚至可以大于真空中的波長4。在波導理論中,

稱（為導波波長。

由于用,.與45同相，所以其坡印亭矢量

S=ExH=Sc

可見，能量沿Z方向傳播，群速度

V2C.QC

%F=—sin〃<一

p〃in}

即這種波只沿z傳播功率，如同是被界面所引導，故稱導引波，簡稱導波。

波電矢量平行界面時，為TM波，分析方法同上。

4.1.3光疏介質中的場一一消逝波

按理在界面上發生全反射時，入射光功率全部返回勺中，光疏介質中似無透射場，但

實際上全反射過程僅進行了功率全反射，而場是有透射的。假設透射場存在，則

E2v(r,z)=E2yexp[j(cot-k2-r)]=E2vexp[)(創+-A:2zsin^2)]

式中,k=—no

2c2~

全反射時，q>4,因而

sin02=-^-sin”>譽sin0(=1

cos，1=yjl-sin2夕2=~J「sin2a-1

于是

E2y（S）=七2"""㈤exp（px）（4-5）

式中

P=丸cosq=k0%Jsin?0.~（^~）2=J/—-

于是可知，在光疏介質中合成電場有特性：

1）合成波場等相位面垂直于界面，而等振幅面平行于界面，二名互相垂直，為非均勻平

面波。

2）振幅沿界面法向按指數衰減，故稱為消逝場，p為消逝系數，并定義消逝長度L為

波場衰減到邊界值的1/e時的透入深度，即

如取，%=1.52（石英），%=1（空氣）時，對可見光波可算得（”0.54〃。可見，

般來講，消逝場透射深度很小。

3）沿z方向為行波，其相速度和能量傳遞速度皆同無密介質，波場集中在x=0附近較小

的%范圍內，好像貼著表面傳播，所以稱光疏介質中傳播的波場為表面波，又稱消逝波。

由前述分析可見：

1）若在光密介質中z距界面團4/2（m=l,2,…）處放光疏介質，則不影響界面與所加

光疏介質中間夾層中光密介質中的場分布，于是光被約束在中間介質層中沿z向傳播，這種

層狀結構即形成波導；介質波導是開放型波導，縱向傳播的波是表面波。

2）若在界面外小于仆范圍內放置另一〃3>〃2的光密介質板，則可通過消逝場的滲透

將原光密介質中傳播的功率耦合出來。

4.2平面介質光波導中光導模的幾何光學分析

上面，我們介紹了介質波導、光導波、消逝波（表面波）等概念。下面我們從幾何光學的

觀點來定性分析入射波在波導中的傳播情況。

幾何光學分析法從介質界面觀點出發得出，光波導的基本原理是光在介質表面的全反

射。但僅滿足這點是不足以形成沿軸向均勻傳播的導波的，因為某些光波之間會發生相消干

涉，造成導波出現軸向不均勻，因而要使波導中傳播均勻導波，還必須滿足橫向相位匹配條

件，在二條件皆滿足的條件下，則入射的平面波在介質光波導上、下兩界面處全反射，成“之”

字形不斷前進，形成橫向駐波、縱向行波的場分布。

以三層平板波導為例來介紹光導模的線光學模型。如圖4-1所示，三層分別稱為波導層、

襯底層、包層(又稱覆蓋層)，其折射率分別為〃1%，且〃平面光以。角

入射到厚度為d的波導層中，，不同，則光傳輸情況不同：

X

，\

0

-d

ni

圖4一1三層平板介質波導

(1)0>OcX1>

如圖4-2(a)所示，此時上、下界面均滿足全反射條件。但只有當橫向(x<0)往返一次相

位變化是2萬的整數倍時，光波才能在上下界面間來回反射，并限制在該層內沿鋸齒光路傳

播，即僅當此時才能有一定模式的光沿z方向均勻傳播。由于往返一次的相位變化包括傳播

常量的橫向分量攵0〃18so造成的相移2匕)〃/COS。和上下界面上反射所產生的相位滯

后(河2+&3)，于是有

220〃0cos夕一da一偽3="八2乃(/?7=0,1,2,???)(4-6)

m的不同取值對應于橫向駐波波節數，每一個m值對應一個穩定的橫向駐波分布，如圖

4-3所示，這種波導中穩定的場分布稱為導波模式，簡稱導模，于是該方程稱為導波模式的

本征方程。

(a)導模

圖4-3平板波導中的導模及其場分布

這充分說明：并非滿足〃＞。八2＞。13的所有°角入射的光場均可形成導波，對于一定

波長的光波，只有滿足式(4—6)的。角入射的光波才可形成導波。即只有某些大于Oi2的

＞，12)才能形成導波，且111越大，。”越小，即小的入射角度相應的模式階次高'z

向單位長度內導模上下振蕩次數多：當〃7-0時，0-90”,于是波近乎只有z向分量，

可以認為此時波沿z向傳播。由區,＞4]2得

m<—Qk。"/cos%,一%一九)

24

乃4)

=_L(Vb|2；必3)

(4-7a)

7t2

式中

-.2TUII~"

V=-(4-7b)

Z0

稱為歸一化厚度，有時乂叫做歸一化頻率，它直接影響m的取值，也就是波導中波的傳播模

式。

材料一定時，d越薄，m越小，薄到一定程度，僅nF。的導模能沿近乎z向傳播，此時

的波導稱為單模波導。而當波導結構確定之后，式(4-6)中的變量只有m、〃和乙,也就是

說，對于一定波長的波，導波模式僅與入射角有關。

⑵處3<e<內2

在小、出界面反射，〃］、〃2界面透射，光線向襯底心輻射，不再形成導波，稱為襯

底輻射模,如圖4-2(b)所示。

(3)0<%3

各面均不滿足全反射條件，光線在兩個界面上都發生透射，這種模式稱為包層輻射模，

如圖4-2(c)所示。

由上述三點可以得出：僅當入射波滿足式(4-6)及全反射條件時，入射光才能

在波導中形成導波，且這種導波具有一定模式，叫導模。

綜上所述，形成導模的條件為：

即全反射)；

2)220〃|dcos。,〃一42一d3=2加〃。

滿足這兩個條件之后，對于每一個m值，光波在波導中形成穩定的、橫向為駐波、縱向

為行波的場分布，這種分布稱為導波模式，簡稱導模，對于m階導模，有:

傳播常量

(4-8)

相速度

(4-9)

有效折射率

(4-10)

4.3平面介質光波導中光導波的物理光學分析

物理光學分析是從麥克斯韋方程出發，分析電磁場在三層波導中的分布情況，從而得出

波導中光導波傳播情況的方法。

4.3.1定性解釋

如圖4-4的三層平板波導，設材料是均勻、各向同性、無源、無損的非磁性介質；波導

層折射率為〃I、厚度為d；%、％層的厚度均遠大于4,可認為是無限厚；y、z方向無

限延伸，則頻率為/的入射平面光波場滿足波動方程

V2E+^n2E=O(4-1k/)

V2H+k^n2H=0(4-11/?)

設波為沿z方向傳播的簡諧波，則上式的解可表示為

E(r,r)=EQ,y)*斷網(4-12a)

HQ1)=(4-12/？)

y方向沒有限制，因而算符g=O,即場沿y向不曳化。于是式(471a)寫為

小

呼

界E(x,y)+伏:〃2-p-)E(x,y)=0

圖4-4平面波導物理光學分析坐標系

在三層介質中分量解分別寫出分量波動方程為:

波導層

a?

嘮Ej(x,y)+慮〃；-p-)紇(x,y)=0(4-13a)

襯底層

金耳供"；-2)耳(乂

(x,y)+py)=0(4—13b)

覆蓋層

金耳伏；〃；-2)耳(乂

(x,y)+Py)=0(4—13c)

月代表的任一分星，方程的解稱為平面波導的本征模式,

EE,,EY,E:(4-13)

相應的本征值夕就是該模式沿z方向的傳播常量，也就是說導波模式就是波導空間中的一

種穩定的場分布。在波的傳播中，一個模式的場在波導表面上的分布保持形狀不變。

下面我們先定性討論一下波導中的模式。

(e)(d)(c)(b)(a)

圖4-5平面波導模式場分布

1#2p

1)當"々時，鬲后一斤(，=123,…)均小于3,各處皆有了號＞0,相

應的場解E均為指數形式，根據邊界連續條件，可得其相應的電場分布如圖4—53)所示，

場隨離開波導的距離增大而無限制地增大，因而這一解沒有物理意義，不對應于真實波。

2)當攵o%＜〃＜攵°”時，E在波導層具有正弦解，而在襯底層、覆蓋層中為指數形式

解，于是得到滿足邊界條件的場解是在波導層中振蕩，襯底層、覆蓋層中衰減的場解，其場

分布如圖4—5(b)、4-5(。所示，可見，這種模式傳播的光在波導層及其附近沿z向傳播，

為導模。

3)當A:。々＜力＜《)〃2時，E在波導層、襯底層中為正弦解，覆蓋層中為指數衰減解；

相當于在-x方向無限制，因而不能形成分立的夕取值，這種模式未被限制在波導中，而是

向襯底部分輻射，因而稱襯底輻射模，如圖4—5(d)所示。在耦合器等器件中，都要用到輻

射模。

4)0＜k。/，在所有區域均為正弦解，稱包層輻射模，如圖4-5(°)所示。

由上述討論可知，只有當A。/?心知＜/＜心為時，場被限制在平面介質波導中。對

應于線光學中的＜。，同樣

53<P<3心dQQ

0</<（"%3）

4.3.2本征方程

我們來看上述三層平板波導中的導模。由于

由麥氏方程

VxE=-------=T①jH

dt

VxH=—=ja)eE

dt

將場的橫向分最用縱向分后表示得

-1z.dH:.即、-jpdE二

E"k；―伊"砰。dy+&-k2-/32正

右_-i/?a%.QE”—也a”，

馬"班牙（，初oFT一汽可）二產爐F

（加'卷一加萼）=7B帆

/—伊dx

*^（加警+加警）=dE.

H,=

E-伊謁

對于一個給定的波導結構，凡和“二應分別滿足波動方程，這意味著二者是相互獨立

的。由電磁場的縱向分量來定義場類型：

1）橫電波（TE波），即邑=0的波，其各場分量為

Er=0

E-一駕H

dEv.

-^=-jco^Hz

2）橫磁波（TM波）,即“，=0的波,可得

H、=0

(1)￡

H=--E

)xPx

dH

蚤v=訕'￡二

由此可見：TE波只有惟一的橫向電場分量￡、,，而TM波只有惟一的橫向磁場

分量于是，對TE波僅需求解波動方程

2

VEy+(Ml—儼)E、.=0(4-14a)

對TU波僅需求解波動方程

寸H、+(片/-爐)H”=0(4-14/7)

即可。方程(4T4a)、(4T4b)形式完全相同：因而二者的求解過程及所得解均十分相似。所

以，以下僅以TE波為例來分析其結果。

由于E(x,y)僅有J分量，因而波動方程簡化為：

波導層

P2

襯底層

渾

布拉),十(%：〃；-夕)與=0(x<-d)

覆蓋層

A2

會4+(人海-夕)紇=0u>0)

dE

于是其滿足導波條件伙04<尸<40々)及邊界條件(x=0及x=—d處Ey、?連

續)的模場表達式為

4小"(x>0)(4-156Z)

Ey(x)=<A[coshx-{ql//)sinhx](~d<A:<0)(4-15Z?)

ep(x"<l)A[coshd+(^//?)sinhd](x<-d)(4-15(?)

式中

h=Rn；―伊(4-16f/)

9=J爐—-(4-16/2)

p=102-k：n；(4-16c)

且有

tanhd=*U上(4-17)

h-pq的空

可見，波導中的電磁場主要集中于芯區，但并非封閉于芯區，在襯底與覆蓋層中也有電

磁場存在，它緊貼著導波區，并沿其外法線方向指數衰減。

由于式(4—17)中的p、q、〃表達式均包含傳播常量一，因而式(4—17)稱為TE模的

本征方程。

至此，可見式(4一15)中僅有未知常量Ao一般來說，它是可以任意選取的，但在有些

情況下，特別是涉及多個模式的傳播和功率交換時.，最好將這個系數與模式的總功率聯系起

來，以期對其有一個對不同模式相對能量大小的概念。于是，以此為依據，我們對A進行歸

一化。

令A的選取使E、.")所表示的場對應的模式在y方向單位寬度所攜帶的功率流密度為

1

1W/〃/,即￡V對應的平均功率為

p=-；匚￡H：dx=￡J14⑼％=1

則有

2_4一("

一例型+必/徐(4-18)

式中，=d+*+：=d+Lp+Lq,稱為波導TE模的有效厚度，Lp、4即前述

滲透深度。

同時，我們還可以定義其他參數：

有效折射率

(4-19。)

歸一化折射率

(4-19/？)

歸?化頻率

v=k（）d$幾;一"；(4-19C)

式（4一17）給出了TE模的本征方程，即外,〃，d之間的關系，實際上，它可化為

“八h(P+q)hd(Pd+qd)

tan(M)=-----

h2-Pci(hd)2-(Pd)(qd)

hd{\（n；-n1）（k.dy-（hd）2Y+［（〃；一〃；）&"）2+（/⑺2］J

1i

（/?d）~一〃；）（左（/）~一（〃辦］一后）（左（）d）2—

=F（hd）（4-20）

這是一個超越方程，可用作圖法求解，如圖4-6所示，等號左邊函數tan（〃d）對應畫為

實線，右邊函數/（/以）畫為虛線［分母為零時，尸（/以）出現奇點］,于是兩組曲線交點便為

一系列九/取值，由于〃d為夕的函數，因而對應為一系列分立的夕取值。但當

hd>kodyjn；一咫時,右邊函數成為虛數，與tang"）為實數相悖，因而虛線必須在

/以=冗/小片一冠處終止,此處對應著￡=&%這一截止條件。于是可見，由模式本征

方程即可求得夕的有限個分立取值以“，每一個月”值即可確定一個TE導模7E,“，對應有

模場月”及相應的%，pm,q?,;V即前述定義的歸一化厚度（有時稱歸一化頻率）。

圖4-6平面波導TE模本征方程的圖解

4.3.3對稱波導

下面討論一個特殊情況，即%=%的波導，稱對稱波導，這種結構在激光二極管、集

成光路、光纖等中常被采用，它與4聲乙時有一些不同。用下標s表示對稱波導，它對應

的截上條件為

B=心〃2=%0〃3(4-21)

p=q=0(4-22)

由式(4-17)有

tanhds=0

即

hds=tns7t(m,=0,1,2，…)

將〃:柝不廳代入得

k()不ds=mjt(4-23)

由上式可見，，4=0時，4=0,換句話說：〃=0對應的模式永不被截止，也就是說,

在對稱波導中，最低階模7E。、力W。沒有截止值，即在對稱波導中至少有兩種模存在；而

不對稱波導中各種模式均可被截止。

由式(4-23)還能推出

\n='(/I?,-/?2,，)>4"2(〃——]+巧)r'(4-24))

由此可得到要形成波導所需的最小折射率差。

4.3.4擴散平板光波導

在集成光電子器件中，經常要通過擴散方式制作光波導，擴散波導性質的研究對于波導

形成具有指導作用。然而獷散光波導不能直接用通常的階躍平板光波導方法分析。下面我們

根據擴散離子濃度分布與折射率分布之間的關系，以及折射率分布特性，用有效折射率法來

分析擴散波導的性質。

我們以Z切X傳鈦擴散呢酸鋰(Ti：LN)平板波導為例來進行分析-。用A〃。表示晶體表面折

射率變化量，。7,表示體擴散深度。根據具體擴散條件，折射率的變化分別可以用以下兒種

典型的分布來近似：

(1)指數分布函數

△〃(z)=△〃()exp(一-—)(4-25?)

DB

這是最初采用的典型折射率分布函數，形式最簡單，擴散形成的玻璃波導常取這種形式，但

在分析實際Ti：LN光波導折射率分布時，符合情況略遜于后兩種。

(2)余誤差函數分布

△〃(z)=市(六)(4-25Z?)

余誤差函數分布是對膜層金屬剛好擴散完時襯底中折射率分布的最好描述，因而在擴散時間

較短時，如外擴散銀酸鋰波導時，一般取這種近似。

(3)高斯分布

(4-25c)

當擴散時間足夠長，從而使Dti?d(d為待擴散金屬膜層厚度)時，如內擴散泥酸鋰波導,

其實際折射率分布與此符合最好，因而取該種形式。

令〃二六，可見，擴散引起的折射率變化都可以用，/(〃)=/(z/D8)形式來描述，

DR

且均在z=()處取最大值并隨著Z的增加而逐漸減小，取值范圍在0到1之間，即

n=nh+(4-26。)

式中，=鞏-%,%為擴散前體折射率，%為擴散后表面折射率。當A“。很小時，上

式還可近似為

+(〃；-〃；)/(〃)(4-26/7)

導模在擴散波導中的傳播途徑如圖4-7所示。

圖4-7導模在擴散波導中的傳播

沿z方向傳播的模其傳播矢量為分二凡飛￡,2表示x方向單位矢晨.深z,處傳播矢曷

為￡.=￡與z軸間的夾角為

2=cos-i(2X)

，〃(Zj)

傳輸距離沿X方向每增加AT,,波透入波導深度增加Az：=入。tan。,，相應的相位變化為

2

或=A：o〃(Zj)sinqAZj=Ar0[7?(z,)-Az,(4-27)

這樣，導模就從表面開始不斷地深入波導中，直到z,處，〃(Z,)=〃M，4=0,光線開始向

表面折回。

當Az,->0時，z向總的相位變化工在可表示為一個積分

2/K(〃2(z)一臉戶dz(4-28)

分析過程中還應考慮全反射相移。在擴散波導的上表面，々=兄，〃2二1，且

n.sina=nscos<9=neff,因而對于TE、TM模,界面相移分別表示為

2<yiI=2tan''[(4一29。)

(1-ntff)

2偽

(4-29/？)

由于擴散波導中△〃<<〃/因而，接近于〃〉又因為Ti：LN光波導折射率遠大于

空氣折射率，于是，上表面處TE、TM模相移均可近似為

2d=4(4-30)

在擴散波導中行進的波在透入最深點Z,處也會產生一個相移。這一相移相應于波掠射

且折射率趨向均勻的極限情況，TE、TM模相移均為

(4-31)

則根據橫向相位匹配條件式(4—6)可得

.1

2"。](/⑶一〃i)"c，z-2R-22=2m兀(m=0,1,2,???)(4-32)

采用式(4一19)定義的歸一化參數，上式可簡化為

2v￡[f{u}-h]2du={2m+-)7T(4-33)

這實際上就是擴散平板光波導的模式色散方程。

以卜.我們根據模式色散方程來分析擴散光波導的性質。圖4-8給出了兩種擴散光波導的

b-V曲線。圖4-9還給出兩種擴散光波導有效折射率與各階模式擴散深度關系曲線：圖4To

給出兩種擴散波導的折射率變化及不同階模m擴散深度間關系曲線；Y0為擴散深度用自由

空間波長歸一化后的值：丫()=孕。圖4T1還給出了不同有效折射率下各模式透入擴散

A

波導最大深度圖。

圖4-8兩種類型擴散光波導b—V曲線

A=1.3,n*=2.2l,nb=2.20A-1.3,nt-2.21,nb-2.2O

余誤差分布擴散波導〃5-ro曲線高斯分布擴散波導％r-y。曲線

圖4-9擴散波導有效折射率凡萬與擴散深度Y0關系

0.1A"9.3

2=1.3,小=2.2,4=13,"eff="b+M

高斯分布擴散波導Am丫0曲線余誤差分布擴散波導V丫0曲線

圖4一1()不同擴散波導的折射率變化△〃及擴散深度Y0關系

20

891

5.22

】523297|52

2.22.2022.2042.20622082.21

2.20012.2099

圖4Tl不同有效折射率下各模式Z,曲線

4.4光纖一一圓柱介質光波導

4.4.1光纖的基本知識

光學纖維（簡稱光纖）是一種圓柱對稱的介質波導，其導波原理及分析方法與介質波導相

似，但由F其圓柱結構的次射率分布與界面分布，數學處理更為復雜。它為二維波導，因而

在用于平面一維波導的直角坐標中處埋不再適用，而要在圓柱坐標系中解波動方程。

光纖的主要結構如圖4-12所示。

圖4T2圓柱介質光波導（光纖）

它由傳導光的纖芯（折射率/）和外層的包層（折射率〃2）兩同心圓形的雙層結構組成，

且〃1>%。如果〃?為常量，則折射率僅在〃1、骰分界面上發生突變，稱為階躍折射率光

纖；如果％是光纖半徑r的函數，即從中心到廠a折射率是漸變的，則稱為漸變折射率光

纖。另一方面，根據光纖中傳輸模式多少可將光纖分為多模光纖和單模光纖，具芯徑、折射

率、光線軌跡與傳輸帶寬各不相同。一般單模光纖芯徑約10〃〃，光在其中幾乎沿軸向傳

輸，傳輸帶寬10GHZ以上；多模漸變型光纖芯徑約50〃〃，光的傳輸軌跡近似為正弦型，

傳輸帶寬從數百MHz到數GHz；多模階躍型光纖芯徑約62.5〃〃，光傳輸軌跡為“之”字

形，傳輸帶寬10MHz到50MHzo

光纖包括石英光纖與塑料光纖兩大類，石英光纖損耗小、性能好，常用于通信；塑料光

纖損耗大、易于耦合、制作容易，用于短距離能量傳導等，未來希望向光纖入戶與局域網方

向發展。考慮到目前情況，本章主要介紹石英光纖。

4.4.2光纖的結構參數

光纖的結構參數有纖芯直徑2a,包層直徑2b,數值孔徑N.A.,相府折射率△，歸一

化頻率V與折射率分布

1.直徑

光纖的直徑包括纖芯直徑2a和包層直徑2b。從成本考慮，光纖的宜徑應盡量小，從機

械強度和柔韌性考慮也應細些，這是因為石英光纖很脆，若粗了，很容易折斷；但從對接、

耦合、損耗等方面來考慮，光纖以粗為宜。綜合二者因素，一般光纖總粗小于150〃〃。典

型單模光纖芯徑約10"77（多取9〃2,多模階躍光纖芯徑62.5〃〃，多模漸變型光纖芯

徑約50卬1,但它們的包層外徑一般均取125

2.數值孔徑

數值孔徑定義為光纖可能接受外來人射光的最大受光角（0omax）的正弦與入射區折射

率的乘積。

如圖4T3所示，因為只有4>4=sin7,的光線才能在光纖中傳播（其中〃?為纖芯

折射率，%為包層折射率，〃。為空氣折射率），所以

I----------

f,n

〃（）sin0（〃isin（90-Oc）=cos0（=~z

于是得

N.A.=/?0sin（Pz=（4-34）

N.A.代表光纖接收入射光的能力，只有夕<外皿的光錐內的光才可能在光纖中發生全反

射而向前傳播。對于波長幾=1.55[〃"處典型值，々T.46,九2-1.455,可算得N.A.-0.12。

圖4.13光纖界面光傳輸情況

3.相對折射率△

相對折射率△定義為纖芯折射率同包層折射率的差與纖芯折射率之比

A='-(4-35)

ri\

一般々只略大于%：單模光纖△=().3%,多模光纖△=1%,于是

N.A.=個〃：—十〃2)Q〃iV2A

4.歸一化頻率V

表示在光纖中傳播模式多少的參數，定義為

V=竽NA.=kQn；(4-35)

A)

它與平板波導中的歸一化頻率定義一致。。和N.A.越小，V越小，在光纖中的傳播模式越

少。一般地，當\<2.405對，只有基模能傳播；而當V>2.405時，為多模傳輸態。

5.折射率分布n(r)

纖芯折射率分布通式為

2

幾⑺=H(0)[1-2A(-)ap(4-37)

a

〃(0)為纖芯中心折射率，r取值范圍為〃為折射率分布系數.。取值不同.

折射率分布不同：

。=8時，折射率為階躍型分布；

〃=2時，折射率為平方律分布(漸變型分布的一種)；

時，折射率為三角型分布。

4.5光纖中光導波的線光學分析

光纖中光導波的傳輸原理及分析方法與平面介質波導基本一致，其導波機理亦在于光的

全反射，只是由于光纖的圓對稱結構，處理方法由原來的一維變為二維，坐標系也由直角坐

標系變為極坐標系，因而數學處理方法更為復雜。

在平板波導中，光的軌跡都在一個平面內，只要用界面入射角口就能描述光線的方位：

而在光纖中僅用光線與界面法線的夾角。來表示是不夠的，還要用光線與軸線的夾角夕。因

為光線可能通過波導軸線（子午光線）而在同一平面內傳播，也可不通過軸線（偏射光線）在不

同的平面內傳播。

4.5.1子午光線

入射角通過圓柱軸線，且大于臨界用時，光將在柱面上不斷發生反射，形成曲折光線，

傳導光線的軌跡始終處于入射光線與軸線決定的平面（子午面）內，如圖4T4。

4.5.2偏射光

當入射光線不通過圓柱波導軸線時，傳導光線將不在同?平面內，而按圖4—15所示之

空間折線傳播，這種光線稱為偏射光線。如果將其投影到端截面上，就可看到傳導光線將完

全被限制在兩個共軸圓柱面之間，其中之一是纖芯與包層邊界，另一個在纖芯中，其位置決

定于〃和％,二者均稱為散焦面。在兩散焦面之間，光波按駐波分布，其外，場沿徑向按

指數衰減。隨著入射角化增大，內焦面向外焦面逼近，極限情況下，兩焦面重合，光纖端

面的光線入射面與圓柱面相切（〃=90）,在光纖中傳導的光線成為?條與圓柱面相切的螺

線。

圖4T5圓柱介質波導中