第=page11頁，共=sectionpages11頁河南省鄭州市2025屆高三下學期第三次質量預測數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x||x?1|<1}，B={x|x2?x?2≤0}，則A∪B=A.{x|0<x<2} B.{x|?1≤x≤2} C.{x|0≤x<2} D.{x|?1≤x<2}2.若復數z滿足(1+2i)z=4+3i，則|z|=(

)A.3 B.2 C.5 3.記等差數列{an}的前n項和為Sn，若a3=7，A.3 B.4 C.5 D.64.在△ABC中，已知A=30°，a=2，b=2，則角CA.45° B.105° C.45°或135° 5.河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色.現有一名游客計劃在三天內品嘗完以下六種河南特色美食：燴面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、燜餅、黃河鯉魚.該游客每天從這六種美食中選擇1到3種進行品嘗(每天必須選擇且不能重復選擇已品嘗過的美食).若三天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數為(

)A.450 B.360 C.180 D.906.4月23日是“世界讀書日”，全社會都參與到閱讀中來，形成愛讀書，讀好書，善讀書的濃厚氛圍.某中學共有3000名學生，為了了解學生書籍閱讀量情況，該校從全校學生中隨機抽取200名，統計他們2024年閱讀的書籍數量，由此來估計該校學生當年閱讀書籍數量的情況，下列估計中正確的是(

)(注：同一組數據用該組區間的中點值作為代表)

A.閱讀量的眾數估值為8 B.閱讀量的中位數估值為6.5

C.閱讀量的平均數估值為6.76 D.閱讀量的第70百分位數估值為8.867.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，函數g(x)=(x?3)f(x)的圖象關于x=3對稱，若g(?2)=?5，則f(4)=(

)A.?3 B.?1 C.0 D.18.已知P點坐標為(2cosθ,sinθ)，直線l:(m+2)x+(m+1)y?3m?23=0與圓M:A.[?1,1] B.[?4,4]

C.[6?43,6+4二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.函數f(x)=3sin2x+2cos2A.最小正周期是π B.最大值是2

C.是區間(?π6,π6)10.如圖，在棱長為6的正四面體P?ABC中，點O是頂點P在底面ABC內的射影，N為PO的中點，則(

)

A.AN⊥PC

B.點C到平面ABN的距離為32

C.如果在此正四面體中放入一個小球(全部進入)，則小球半徑的最大值為63

D.動點Q在平面ABC內，且滿足|PQ|≤511.群論，是代數學的分支學科，群的定義如下：設G是一個非空集合，“?”是G上的一個代數運算，如果該運算滿足以下條件：?①對任意的a，b∈G，有a?b∈G;?②對任意的a，b，c∈G，有(a?b)?c=a?(b?c);?③存在e∈G，使得對任意的a∈G，有e?a=a?e=a，e稱為單位元;?④對任意的a∈G，存在b∈G，使a?b=b?a=e，稱a與b互為逆元.則稱G關于“?”新構成一個群.則下列說法正確的有(

)A.G={?1,1,?i,i}(i為虛數單位)關于數的乘法構成群

B.有理數集Q關于數的加法構成群

C.G={a+2b|a,b∈Z}關于數的除法構成群

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若直線x+2y?2=0經過橢圓x2a2+y13.已知tan(α+β)tanβ=13，cos(α+2β)=14.若直線y=x為曲線y=eax+b的一條切線，則ba的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)某云計算平臺部署了多臺同型號服務器，運維系統會檢測服務器是否觸發“高溫異常”警報.歷史數據表明，警報與服務器狀態(正常/故障)高度相關.從觸發警報和未觸發警報的數據中各隨機抽取500條，統計如下：觸發警報時狀態分布正常25臺故障475臺未觸發警報時狀態分布正常450臺故障50臺運維單臺服務器時，可選操作及經濟損失(單位：千元)如下：狀態/操作保持運行快速診斷深度檢修正常013故障1046假設用頻率估計概率，各服務器狀態相互獨立．(Ⅰ)若服務器觸發高溫警報，求其處于故障狀態的概率;(Ⅱ)某次維護中，發現1臺觸發警報的服務器和1臺未觸發警報的服務器.現有三種操作方案：方案甲：觸發警報的服務器深度檢修，未觸發警報的保持運行;方案乙：觸發警報的服務器快速診斷，未觸發警報的保持運行;方案丙：觸發警報的服務器深度檢修，未觸發警報的快速診斷．從總經濟損失期望最小的角度，判斷哪種方案更優．16.(本小題15分)已知函數f(x)=e(Ⅰ)若x=?12是函數f(x)的極值點，求a(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若函數g(x)=f(x)?m(x?1)有兩個零點，求實數m的取值范圍．17.(本小題15分)已知數列{an}的首項a(Ⅰ)求數列{an(Ⅱ)設bn=nan，數列{bn}的前n項和為Sn18.(本小題17分)已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F，點M(54(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)過F作互相垂直的兩條直線l1，l2，這兩條直線與拋物線C分別交于A，B和P，Q兩點，其中點A，(ⅰ)記△AOB和△POQ的面積為S1，S2，求S(ⅱ)過F點作x軸的垂線，分別交AP，BQ于C，D兩點，請判斷是否存在以CD為直徑的圓與y軸相切，并說明理由．19.(本小題17分)在空間直角坐標系O?xyz中，已知向量u=(a,b,c)(abc≠0)，經過點P0(x0,y(Ⅰ)求原點O到平面x?y?z?4=0的距離;(Ⅱ)根據平面直角坐標系中點到直線的距離公式，類比出P(x0,y(Ⅲ)已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1，平面CDD1C1的方程為x?2y?+z?2=0，平面ADD1A1經過點參考答案1.B

2.C

3.A

4.D

5.A

6.D

7.D

8.C

9.AC

10.BD

11.ABD

12.25513.2314.?1

15.解：設服務器觸發警報時其處于故障狀態設為事件A，服務器未觸發警報時其

處于故障狀態記為B．

(Ⅰ)由題意可知，n(Ω)=500;n(A)=475，

P(A)=n(A)n(Ω)=475500=0.95;

(Ⅱ)∵P(A)=0.95，∴P(A)=1?P(A)=0.05，

又n(B)=50，

∴P(B)=n(B)n(Ω)=50500=0.1．

∴P(B)=1?P(B)=0.9，

方案甲：觸發警報的服務器深度檢修的經濟損失的數學期望為：

E1=0.95×6+0.05×3=5.85(千元)．

未觸發警報的服務器保持運行的經濟損失的數學期望為：

E2=10×0.1+0×0.9=1(千元)．

∴E甲=E1+E2=6.85(千元)

16.

解：(Ⅰ)f′(x)=ex(ax?1+a)，

又x=?12是函數f(x)的極值點，所以f′(?12)=ex(?12a?1+a)=ex(12a?1)=0，即a=2．

此時f′(x)=ex(2x+1)，

f′(x)=ex(2x+1)>0，x>?12;

f′(x)=ex(2x+1)<0，x<?12，

所以函數f(x)在區間(?∞,?12)上單調遞減，在區間(?12,+∞)上單調遞增，所以，x=?12是函數f(x)的極小值點；

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)=f(x)?m(x?1)=ex(2x?1)?m(x?1)有兩個零點，

即方程g(x)=ex(2x?1)?m(x?1)=0有兩個解，

當x=1時，g(1)=e≠0.

當x≠1時，ex(2x?1)=m(x?1)，即m=ex(2x?1)x?1．

設?(x)=ex(2x?1)x?1，函數g(x)零點個數為函數y=?(x)的圖象與直線y=m的交點個數．

?′(x)=ex(2x2?3x)(x?117.解：(1)由題意可知，an+1=?an+32×(12)n可得an+1?12n+1=?(an?12n)，

又a1?12=?1，故數列{an?12n}是以?1為首項，以?1為公比的等比數列，

所以an=(?1)n+12n

(2)由(1)可得bn=nan=(?1)nn+n218.解：(Ⅰ)依題意得，點M在拋物線上，且|MF|=74，

所以，p2+54=74，所以可得p=1，

所以，E的方程為y2=2x．

(Ⅱ)拋物線方程為y2=2x，焦點坐標為F(12,0)，

設l1:x=my+12，l2:x=?1my+12，

A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x3,y3)，Q(x4,y4)，

(i)由y2=2x,x=my+12,消去x得y2?2my?1=0，

Δ=4m2+4>0，y1+y2=2m，y1y2=?1，

所以，S1=12OFy1?y2=14(y1+y2)2?4y1y2=144m2+4，

同理，S2=1419.解：(Ⅰ)根據題意，平面的法向量n1=(1,?1,?1)，

在平面x?y?z?4=0上任取點M(4,0,0)，可得OM=(4,0,0)，

設原點O到平面x?y?z?4=0的距離為d，

則d=OM·n1n1=433，

故原點O到平面x?y?z?4=0的距離為433;

(Ⅱ)由點到直線的距離公式d=|A′x0+B′y0+D′|A′2+B′2，

類比：點平面的距離公式為d=|A′x