第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《有關二次函數(shù)的應用存在性問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．某商場以每件50元成本價新進一批商品．據(jù)市場調(diào)查分析知，如果按每件60元銷售，一周能賣出400件；若銷售單價每漲1元，每周銷量就減少10件．設銷售單價為元．(1)求出一周銷售量y（件）與x（元）的函數(shù)關系式：(2)設一周銷售獲得毛利潤w元，寫出w與x的函數(shù)關系式：(3)若物價部門要求該商場銷售這種商品的利潤不能超過40%，求該商場銷售這種商品一周毛利潤的最大值以及此時的銷售單價．2．在一次高爾夫訓練中，某球員從山坡下的點打出一球，該球的飛行高度與飛行時間滿足二次函數(shù)關系，其函數(shù)圖象如圖所示．如果不考慮空氣阻力，球的落點距離點的水平距離為12米時，垂直距離為米．(1)求關于的函數(shù)關系式．(2)求該球飛行過程中的最大垂直高度．3．周末，甲乙二人相約在操場進行一場羽毛球的友誼賽，如圖，甲站在地面上點處，在點正上方米的點處將球發(fā)出，羽毛球的飛行軌跡可近似的看做一條拋物線，當羽毛球水平飛出米遠時，距地面的垂直高度為米，此時為整個飛行軌跡的最高點．(1)若設羽毛球的飛行高度為（），距點的水平距離為（），建立平面直角坐標系，求羽毛球飛行軌跡所在拋物線的表達式；(2)若距點米遠的點處立有羽毛球網(wǎng)，球網(wǎng)頂部距地面米，請你通過計算判斷此次發(fā)球能不能飛過球網(wǎng)．4．某商店經(jīng)銷一種學生用雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個40元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種雙肩包每天的銷售量（個）與銷售單價（元）有如下關系：．設這種雙肩包每天的銷售利潤為元．(1)求與之間的函數(shù)關系式；(2)這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？(3)如果物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不高于52元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？（取）5．紙飛機是同學們喜歡的娛樂項目之一．紙飛機的飛行一般會經(jīng)歷上拋、下降、滑行三個階段，其中紙飛機上拋和下降的飛行路徑可看成是一段拋物線，滑行的飛行路徑是一條線段．如圖所示，以O為原點，地面所在直線為x軸，豎直方向所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．若小明玩紙飛機，其起拋點A的高度為1.9m，當紙飛機的最大飛行高度達到2.8m時，它的水平飛行距離為3m．(1)求這段拋物線的解析式；(2)小明的前方有一堵2.5m高的墻壁，小明至少距離墻壁多遠，紙飛機才會順利飛過墻壁？（不考慮墻壁的厚度）6．某商場老板對一種新上市商品的銷售情況進行記錄，已知這種商品進價為每件40元，經(jīng)過記錄分析發(fā)現(xiàn)，當銷售單價在40元至90元之間（含40元和90元）時，每月的銷售量（件）與銷售單價（元）之間的關系可近似地看作一次函數(shù)，其圖象如圖所示．(1)求與的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；(2)設商場老板每月獲得的利潤為（元），求與之間的函數(shù)關系式；并求出利潤的最大時銷售單價為多少元?7．昆明公園1903是一處融合了古典與現(xiàn)代，東方與西方的絕佳地點：這里不僅是購物的天堂，更是攝影愛好者的夢幻勝地．公園1903在2024年10月1日國慶節(jié)一天共接待游客達2萬人次，預計到10月3日這天將接待游客萬人次．(1)求公園1903在2024年10月1日至2024年10月3日這三天時間內(nèi)接待游客人次的平均增長率；(2)公園1903的網(wǎng)紅打卡地—凱旋門將舉行咖啡節(jié)活動．每杯咖啡成本價為3元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，若每杯定價13元，則平均每天可銷售400杯，若每杯價格降低1元，則平均每天可多銷售100杯．2024年國慶期問，店家決定進行咖啡降價促銷活動．則當每杯售價定為多少元時，店家每天賣此款咖啡的利潤最大，最大利潤是多少？8．某農(nóng)場擬建兩間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻（墻長，中間用一道圍墻隔開（如圖），已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為，設兩間飼養(yǎng)室合計長，總占地面積為(1)求關于的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍．(2)畫出函數(shù)的圖象．(3)若要使兩間飼養(yǎng)室占地總面積達到；求各道墻的長度為多少？占地總面積有可能達到嗎？9．小明利用電腦軟件模擬彈力球的拋物運動．如圖，彈力球從x軸上的點A處拋出，其經(jīng)過的路徑是拋物線的一部分，并在點B處達到最高點，落到x軸上的點C處時彈起，向右繼續(xù)沿拋物線G運動．已知拋物線G與拋物線L的形狀相同，且其達到的最大高度為1個單位長度．(1)直接寫出點C的坐標．(2)求拋物線G的函數(shù)表達式（不用寫出自變量的取值范圍）．(3)在x軸上有一個矩形接球筐，其中，點N位于點處，彈力球只可通過矩形接球筐的邊落入框內(nèi)．為使彈力球落入接球筐內(nèi)（落在點M，N上也視為落在筐內(nèi)），需將接球筐沿x軸向左移動b個單位長度，求出b的取值范圍．（結果保留根號）10．嘉嘉和淇淇在一起玩彈力球，在點處有一個發(fā)射裝置，向右上方發(fā)射一個彈力小球，小球的運動軌跡是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，點，在拋物線上，拋物線交y軸于點，最終，小球落在了軸上的點處，隨后因為彈力作用，小球被彈起來，繼續(xù)向右沿著另一條拋物線運動，拋物線和形狀相同，且最大高度為．(1)求拋物線的表達式和其頂點坐標．(2)在點右側有一個截面為等腰直角三角形的球筐，斜邊為入口，，，當小球落在斜邊（包括端點）上時，小球落入球筐，若點E的坐標為，判斷小球被反彈后，是否能落入球筐，若能，請說明理由，若不能，則為了小球落入球筐，需平移球筐，求平移后點橫坐標的取值范圍．11．某商店經(jīng)營一種兒童益智玩具，購進時的單價是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價是30元時，月銷售量是220件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元．設每件玩具的銷售單價上漲了元時，月銷售量為件．(1)求月銷售量與的函數(shù)關系式并直接寫出自變量的取值范圍．(2)設月銷售利潤為元，求與的函數(shù)關系式．并確定每件玩具的售價定為多少元時可使月銷售利潤最大？最大的月利潤是多少？12．為籌集愛心基金資助貧困生，小北組織了線上的愛心售賣活動，線上直播中推出的一款“雅美”文創(chuàng)禮盒，每盒的成本為10元，若按每盒35元銷售，則同時段每小時可售出50盒．為了讓利全國網(wǎng)友，小北決定降價銷售，經(jīng)核算，發(fā)現(xiàn)銷售價每降低1元，同時段每小時的銷量就增加10盒．設該禮盒售價為每盒元，則降價元，每小時的銷售利潤為元．(1)求關于的函數(shù)關系式；(2)直播間在讓利顧客的前提下，要使一小時的銷售利潤達到2000元，銷售價應定為每盒多少元？(3)當銷售價定為多少元時每小時的利潤最大？并求出最大利潤．13．如圖，用一段長為的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為．設矩形菜園的邊的長為，面積為．(1)求出關于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；(2)當該矩形菜園的面積為，求邊的長；(3)當邊的長為多少時，該矩形菜園的面積最大？14．如圖所示，為了改造小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻的最大可使用長度）的空地上建造一個矩形綠化帶．除靠墻一邊（）外，用長為的柵欄圍成矩形，設綠化帶寬為，面積為．(1)求S與x的函數(shù)關系式，并直接寫求出x的取值范圍；(2)綠化帶的面積能達到嗎？若能，請求出的長度；若不能，請說明理由．15．投擲實心球是一項重要的體育項目，一般情況下，實心球在空中運動的曲線符合拋物線的一部分.某學生在實心球投擲過程中，監(jiān)測到球在頭部上方出手的瞬間高度是米，水平距離米時達到最大高度，最大高度為米.(1)如圖，以該學生所在直線為y軸，球落地的水平距離所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，求該實心球運動時符合的拋物線解析式（不必寫出取值范圍）；(2)若實心球落地后距離投擲點米以上為滿分，通過計算說明這名同學實心球成績是否達到滿分.參考答案1．(1)(2)(3)該商場銷售這種商品一周毛利潤的最大值為6000元，此時的銷售單價為70元【分析】此題考查了二次函數(shù)的應用，正確列出函數(shù)解析式是關鍵．（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關系式即可；（2）根據(jù)每件的利潤乘以總件數(shù)即可得到w與x的函數(shù)關系式；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】（1）解：由題意得，，一周銷售量（件）與（元）的函數(shù)關系式為；（2）由題意得，；（3），，，，當時，隨的增大而增大，當時，毛利潤有最大值，最大值為（元），該商場銷售這種商品一周毛利潤的最大值為6000元，此時的銷售單價為70元．2．(1)(2)12米【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用及解直角三角形的知識．（1）根據(jù)已知條件得到，把A點代入得到，于是得到結論；（2）把配方得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】（1）解：點A距離點O的水平距離為12米時，垂直距離為米，∴，把A點代入得，解得，∴y關于x的函數(shù)關系式為：；（2）解：∵，∴當時，，∴該球飛行過程中的最大垂直高度是12米．3．(1)(2)能飛過球網(wǎng)【分析】（）由題意可得，點為拋物線的頂點，點的坐標為，設拋物線的表達式為，利用待定系數(shù)法解答即可求解；（）求出時的值，進而比較即可判斷求解；本題考查了二次函數(shù)的應用，正確求出二次函數(shù)表達式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意可得，點為拋物線的頂點，點的坐標為，設拋物線的表達式為，把代入得，，解得，∴羽毛球飛行軌跡所在拋物線的表達式為；（2）解：當時，米，∵，∴此次發(fā)球能飛過球網(wǎng)．4．(1)(2)銷售單價定為60元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是400元(3)銷售單價應定為46元【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，理解題意，根據(jù)題意列出二次函數(shù)是解題的關鍵；（1）根據(jù)銷售利潤等于銷售量與單件利潤的積，列出函數(shù)關系式即可；（2）求出二次函數(shù)的最大值即可；（3）由（1）的函數(shù)式，求出函數(shù)值為200時的自變量的值即可．【詳解】（1）解：，整理得：，其中；故與之間的函數(shù)關系式為；（2）解：，由于二次項系數(shù)為負，且，則當時，函數(shù)取得最大值，且最大值為400；答：這種雙肩包銷售單價定為60元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是400元；（3）解：，即，解得：，由于物價部門規(guī)定這種雙肩包的銷售單價不高于52元，所以；答：銷售單價應定為46元．5．(1)(2)米【分析】題目主要考查二次函數(shù)的應用及一元二次方程的應用，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關鍵．（1）根據(jù)題意得拋物線經(jīng)過，設拋物線的解析式為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）將代入解析式求解即可【詳解】（1）解：根據(jù)題意得拋物線經(jīng)過，頂點坐標，∴設拋物線的解析式為，將點代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為，（2）∵高的墻壁，∴將代入解析式得：，解得：，，∴小明至少距離墻壁米6．(1)，自變量的取值范圍為(2)與之間的函數(shù)關系式為，當利潤的值最大時銷售單價為65元【分析】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意；（1）設與的函數(shù)關系式為，由圖象可把點代入進行求解即可；（2）根據(jù)（1）可得出P與x的函數(shù)關系式，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進行求解．【詳解】（1）解：設與的函數(shù)關系式為，由圖可知：，解得：，∴與的函數(shù)關系式為，由“當銷售單價在40元至90元之間（含40元和90元）時”可知自變量的取值范圍為；（2）解：由（1）可得：與之間的函數(shù)關系式為，∴當時，利潤有最大值；答：當利潤的值最大時銷售單價為65元．7．(1)(2)當每杯售價定為10元時，店家每天賣此款咖啡的利潤最大，最大利潤是4900元【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，一元二次方程的應用，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．（1）設這三天時間內(nèi)接待游客人次的平均增長率為，根據(jù)題意可得：，然后進行計算即可解答；（2）設每杯售價為元，總利潤為元，根據(jù)總利潤單個利潤總數(shù)量進行計算，即可解答．【詳解】（1）解：設這三天時間內(nèi)接待游客人次的平均增長率為，由題意得：，解得：，（舍去），這三天時間內(nèi)接待游客人次的平均增長率為；（2）解：設每杯售價為元，總利潤為元，由題意得：，，當時，元，當每杯售價定為10元時，店家每天賣此款咖啡的利潤最大，最大利潤是4900元．8．(1)(2)見解析(3)各道墻的長度為，，，或，，，時，總面積達到，總面積不可能達到【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關鍵：（1）根據(jù)矩形的面積長寬，計算即可；（2）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；（3）構建方程即可解決問題；求出函數(shù)的最大值即可判斷【詳解】（1）解：由題意：，即．（2）列表如下：0101530406070859010003004257008008007004253000描點，連線畫圖如下：（3）當時，，解得或60，各道墻的長度為，，，或，，，時，總面積達到．∴當時，，總面積不可能達到．9．(1)(2)（或）(3)【分析】本題考查二次函數(shù)的應用．（1）令，解方程即可得出點C的坐標；（2）根據(jù)題意設拋物線G的函數(shù)表達式為，再將點代入求解即可；（3）當時，求得，分別求出當彈力球恰好砸中筐的最左端時，當彈力球恰好砸中筐的最右端時，b的值，即可得到答案．【詳解】（1）解：令，解得，，∴點C的坐標為；（2）解：拋物線G與拋物線L的形狀相同，且最高點的縱坐標為1，設拋物線G的函數(shù)表達式為，拋物線G經(jīng)過點C，將點代入，得，解得（舍去），，拋物線G的函數(shù)表達式為（或）；（3）解：當時，，解得，（不合題意，舍去）．球筐的最左端與原點的距離為6.5，當彈力球恰好砸中筐的最左端時，，，球筐的最右端與原點的距離為7.5，當彈力球恰好砸中筐的最右端時，，b的取值范圍為．10．(1)，頂點坐標為(2)小球不能落入球筐，當點橫坐標的取值范圍為時，小球可以落入球筐【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與幾何圖形的綜合運用，數(shù)形結合分析思想是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意，設拋物線的表達式為，由過點，運用待定系數(shù)法得到拋物線的表達式為，由此即可求解；（2）拋物線和拋物線形狀相同，最大高度為2，設的表達式為，由同樣也經(jīng)過點，運用待定系數(shù)法得到拋物線的表達式為，當拋物線經(jīng)過點，及之間時，能落入球框，由等腰直角三角形等著得到，則令，由此即可求解．【詳解】（1）解：拋物線過點和，∴拋物線的對稱軸為直線，設拋物線的表達式為，∵過點，∴將點A，B坐標代入，得，∴，∴拋物線的表達式為，∴拋物線的頂點坐標為．（2）解：拋物線和拋物線形狀相同，最大高度為2，設的表達式為，∵同樣也經(jīng)過點，代入可得，解得，（舍），，∴拋物線的表達式為，將代入，得（舍），．∵點的橫坐標為，∴小球不能落入球筐，∴當拋物線經(jīng)過點，及之間時，能落入球框，∵，∴令，∴或（舍去），∴，∴當點橫坐標的取值范圍為時，小球可以落入球筐．11．(1)(2)w，每件玩具的售價定為元時，可使月銷售利潤最大，最大月利潤是元．【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應用，列函數(shù)關系式，正確列出對應的函數(shù)關系式是解題的關鍵；（1）根據(jù)銷售單價是30元時，月銷售量是220件，而銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件期間即可（2）根據(jù)利潤數(shù)量每件的利潤，求出關系式即可，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，每件玩具的售價不能高于40元，即，．∴與的函數(shù)關系式為：，的取值范圍為；（2）解：由題意得，，，．當時，w最大，最大值為，此時，答：每件玩具的售價定為元時，可使月銷售利潤最大，最大月利潤是元．12．(1)(2)銷售價應定為每盒20元(3)當銷售價定為25元時每小時的利潤最大，為元【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，正確的求出函數(shù)解析式，是解題的關鍵：（1）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出關系式即可；（2）令，解一元二次方程即可；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：由題意，得：；（2）當時，，解得：，∵讓利顧客，∴；答：銷售價應定為每盒20元；（3）∵，∴