第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《一次函數中平行四邊形存在性問題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．平面直角坐標系中，直線與直線交于點．(1)求直線的解析式；(2)點M是直線上一動點，其橫坐標為m，過點M作軸，交直線于點N，當時，求點M的坐標；(3)在（2）的條件下，若，點E是x軸上一動點，在直線上是否存在一點Q，使得以M，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．2．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，直線與直線，x軸分別交于點，．(1)求直線的表達式．(2)若D，E分別是直線和y軸上的動點，是否存在點D，E，使得以A，B，D，E為頂點，為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，與一次函數的圖像交于點C，點D是直線上一個動點（不與C、O重合），過點D作x軸的垂線，交直線于點E，連接．(1)填空：________；(2)連接，若四邊形是平行四邊形，求的面積；(3)將沿直線翻折得到，點E落在點F處．若點F恰好在y軸上，求點D的坐標．4．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C在線段上，將線段繞著點C順時針旋轉得到，此時點D恰好落在直線上時，過點D作軸于點E．(1)求證：；(2)求點D的坐標；(3)若點P在y軸上，點Q在直線上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．5．在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于、兩點，點關于點的對稱點為點，四邊形是平行四邊形．(1)求點、點的坐標．(2)過線段的中點作直線，直線把平行四邊形分成面積為的兩部分，求直線的解析式：(3)在（2）的條件下，直線與軸交于點（當點在點的下方），點在直線上，且，請直接寫出點的坐標．6．已知直線與x軸、y軸分別交于點和點，與直線交于點，，的長（）是一元二次方程的兩個根，為直線上一點，作軸交直線于點，連接．(1)求點的坐標；(2)若點的橫坐標為，的面積為，求與的函數關系式；(3)若點，點在直線上，在直線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，一次函數與軸相交于點，與軸相交于點．(1)求一次函數的解析式；(2)請在平面內標注點，平面內是否存在一點，使四點構成平行四邊形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，平面直角坐標系中，是坐標原點，直線經過點，與軸交于點，與軸交于點．線段平行于軸，交直線于點，連接，．(1)填空：______，點的坐標是______；(2)求證：四邊形是平行四邊形；(3)動點從點出發，沿對角線以每秒個單位長度的速度向點運動，直到點為止；動點同時從點出發，沿對角線以每秒個單位長度的速度向點運動，直到點為止．設兩個點的運動時間均為秒．當時，求的面積；當點，運動至四邊形為矩形時，請求出此時的值．9．在平面直角坐標系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，點C為線段的中點，連接．(1)求點C的坐標；(2)點D、E分別是線段、上的一個動點，將沿折疊使得點C與x軸上點重合，求直線表達式；(3)如圖3，點G為線段上一動點，在左側作使得，直線于點H，當最小時，平面直角坐標系中是否存在點M，使得四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．10．在平面直角坐標系中，直線（是常數，）與坐標軸分別交于點，點，且點的坐標為．(1)直接寫出的值及點的坐標；(2)如圖，是軸正半軸上一點，已知，求點的坐標；(3)如圖，已知平分，為的中點，點在直線上，在軸上取點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，①直接寫出直線的解析式；②求點的坐標．11．如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點．且經過定點，直線與交于點．(1)求的面積；(2)在軸上是否存在一點，使的周長最短？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由：(3)平面內是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標（并請寫出求出其中一個點的過程）．12．如圖，直線：與軸、軸分別交于點，與直線：交與點．(1)點的坐標為______（用含的代數式表示）；(2)點在軸上，橫坐標為，點為直線上一點，當以為頂點的四邊形為平行四邊形時，且面積為時，求點的坐標；(3)作點關于直線的對稱點，當點落在直線上時，求點到直線的距離．13．綜合與探究如圖，在平面直角坐標系中，函數的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y軸正半軸于點M，且點M為線段的中點．

(1)A點坐標為____________，B點坐標為________________(2)求直線的函數解析式．(3)在直線上找一點P，使得，請直接寫出點P的坐標．(4)在坐標平面內是否存在點C，使以A、B、M、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．14．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點D、C，直線與y軸交于點，與直線交于點．(1)求直線的解析式；(2)點E是射線上一動點，過點E作軸，交直線于點F．若以O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標；(3)設P是射線上一點，在平面內是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．15．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與軸交于點與軸交于點．(1)求這個一次函數的解析式；(2)若點P是線段上一動點，過點P作軸于點C，軸于點D，當四邊形的鄰邊之比為2：1時，求線段的長．(3)若點Q是平面內任意一點，是否存在以A，O，B，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．參考答案1．(1)(2)，(3)，，【分析】本題考查了一次函數綜合，涉及待定系數法求解析式，交點坐標，平行四邊形的存在性問題；（1）先將點代入求出a的值，再將P點坐標代入求出b的值即可得直線的解析式；（2）根據已知可得，，再根據得，解絕對值方程，進而可求得點M的坐標；（3）在（2）的條件下，若，則，設點，，再根據為邊或對角線分情況討論，利用平移和中點公式求坐標即可．【詳解】（1）解：將點代入得，，將代入得，，解得，∴直線的解析式為：；（2）解：∵點M是直線上一動點，其橫坐標為m，∴，∵過點M作軸，交直線于點N，∴，∵，∴，解得或，當時，，∴；當時，，∴；綜上所述，點M的坐標或；（3）解：在（2）的條件下，若，則，∵點E是x軸上一動點，直線上一點Q，∴設點，，∵以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，當是邊時，則，，則對邊對應點的平移方式一致，∵向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到，∴向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到，或向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到，若向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到即為，則，解得，此時；若向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到即為，則，解得，此時；當是對角線時，則平行四邊形的對角線和互相平分，即對角線和的中點是同一個點，∵對角線的中點是，對角線的中點是，∴，解得，此時，綜上所述，存在一點Q，使得以M，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，點Q的坐標為，，．2．(1)(2)存在，或【分析】本題是一次函數綜合題，考查待定系數法求函數的解析式，一次函數的圖象及性質，平行四邊形的性質，分類討論是解題的關鍵．（1）由待定系數法求直線的解析式即可；（2）設，，再分兩種情況討論：當為平行四邊形對角線時；當為平行四邊形的對角線時；利用平行四邊形對角線互相平分的性質求解即可．【詳解】（1）設直線的表達式為，∵直線與直線，x軸分別交于點，，∴解得∴直線的表達式為；（2）解：存在.∵與x軸交于點B，∴.設，，①當為平行四邊形的對角線時，∵，，∴解得∴；②當為平行四邊形的對角線時，∵，，∴解得∴.綜上所述，點D的坐標為或．3．(1)5(2)(3)或．【分析】（1）先求出A、B的坐標，然后根據勾股定理求解即可；（2）設，則，求出，根據四邊形是平行四邊形，可得出，求出x的值即可求解；（3）分類討論，當D在y軸的左側和右側，根據折疊的性質、等角對等邊等可得出，構建方程求解即可．【詳解】（1）解∶對于，當時，；當時，，解得，∴，，∴，，又，∴，故答案為：5；（2）解：如圖，設，則，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，解得或（不符合題意，舍去），∴的面積為；（3）解：當D在軸左側時，如圖，，∵翻折，∴，∵軸，軸，∴，∴，∴，∴，設，則，∴，解得或，當時，；當時，；∴D的坐標為或；當D在y軸的右側，如圖，同理，設，則，∴，解得或，均不符合題意，舍去，綜上，D的坐標為或．【點睛】本題考查了一次函數上點的坐標特征，折疊的性質，勾股定理，平行四邊形的性質，等腰三角形的判定等知識，明確題意，合理分類討論是解題的關鍵．4．(1)見詳解(2)(3)或或【分析】本題考查了一次函數與幾何綜合，全等三角形的判定及性質，平行四邊形的性質等；（1）由旋轉的性質得，，由即可得證；（2）由全等三角形的性質得，，設，，將此點代入直線的解析式，即可求解；（3）①當為邊，在第二象限時，由平行四邊形得點向右平移個單位，再向上平移個單位得到，點向右平移個單位，再向上平移個單位得到，即可求解；②當為邊，在第一象限時，同理可求；③為對角線時，同理可求；掌握全等三角形的判定及性質，平行四邊形的性質，能根據點的不同位置進行分類討論是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：，，，將線段繞著點C順時針旋轉得到，，，，，在和中（）；（2）解：當時，，，，，，設，，，，解得：，，；（3）解：①如圖，當為邊，在第二象限時，四邊形是平行四邊形，，，，，點向右平移個單位，再向上平移個單位得到，點向右平移個單位，再向上平移個單位得到，設，，解得：，，；②如圖，當為邊，在第一象限時，同理可得：點向右平移個單位，再向上平移個單位得到，，解得：，，；③如圖，為對角線時，同理可得：點向右平移個單位，再向上平移個單位得到，點向右平移個單位，再向上平移個單位得到，，解得：，；；綜上所述：Q點坐標為或或．5．(1)，(2)或(3)點的坐標為或【分析】（1）首先求出，，然后根據中心對稱的性質求出，然后根據平行四邊形的性質求出；（2）如圖所示，點E為的中點，連接，，首先得出，然后分兩種情況討論，分別根據題意求出點F和點G的坐標，然后利用待定系數法求解即可；（3）首先求出，然后分兩種情況討論，當點Q在y軸左邊時，求出，得到所在直線表達式為，然后求出；當點Q在y軸右邊時，作點Q關于y軸的對稱點，根據對稱性求解即可．【詳解】（1）解：∵直線分別交軸、軸于、兩點∴當時，∴；當時，解得∴∵點關于點的對稱點為點，∴∵四邊形是平行四邊形∴，∴點D的橫坐標為，縱坐標為16∴；（2）解：如圖所示，點E為的中點，連接，，∵四邊形是平行四邊形∴∵點E為的中點∴∴∵直線把平行四邊形分成面積為的兩部分，如圖交于點F∴當時，∴∴∵，∴點F的縱坐標為∴將代入得，解得∴設表達式為根據題意得，解得∴的表達式為；∴當時，如圖交于點G∴∵，∴點G的縱坐標為∴將代入得，解得∴同理利用待定系數法求出表達式為綜上所述，直線的解析式為或；（3）解：如圖所示，∵直線與軸交于點（當點在點的下方），∴點M為直線直線與y軸的交點∴當時，∴當點Q在y軸左邊時，∵，∴∴∴所在直線表達式為∴將代入得，解得∴；當點Q在y軸右邊時，作點Q關于y軸的對稱點∴∴∴綜上所述，點的坐標為或．【點睛】此題考查了一次函數和幾何綜合，等邊對等角，平行四邊形的性質，平行線的性質，待定系數法求一次函數解析式等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．6．(1)(2)(3)存在，，【分析】本題考查解一元二次方程，一次函數，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握一次函數圖象和性質是解題的關鍵；（1）解方程，確定點和點的坐標，進而求解直線的解析式，進而求解；（2）設點的橫坐標為，分時，時，討論即可求解；（3）根據題意求解的長度，進而求解的值，進而求解；【詳解】（1）解：解方程，解得，，，，；∴點，將點，代入，，解得：；直線的解析式為：；聯立，解得：，點的坐標為；（2）解：點的橫坐標為，，，，當時，；當時，；綜上所述；；（3）解：在直線上存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形理由：∵點，軸，∵以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，，軸設點，則點，，解得：或，當時，，此時點；當時，，此時點綜上所述，在直線上存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，點或；7．(1)；(2)或或【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質、用待定系數法求一次函數的解析式，解決本題的關鍵是根據平行四邊形的對角線互相平分列方程求出點的坐標．點和點的坐標代入，用待定系數法求出一次函數的解析式即可；設點的坐標為，根據平行線四邊形的對角線互相平分，可得關于、的方程組，解方程組求出、的值即可．本題中需要分情況討論．【詳解】（1）解：一次函數經過點和點，可得：，解得：，一次函數的解析是；（2）解：存在，點的坐標為或或，如下圖所示，當是平行四邊形的對角線時，設點的坐標為，則有，解得：，點的坐標是；如下圖所示，當是平行四邊形的一條邊且點在點上方時，設點的坐標為，則有，解得：，點的坐標是；如下圖所示，當是平行四邊形的一條邊且點在點下方時，設點的坐標為，則有，解得：，點的坐標是；綜上所述，點的坐標為或或．8．(1)，；(2)證明見解析；(3)的面積為；當點，運動至四邊形為矩形時，的值為或．【分析】（）代入點坐標即可得出值確定直線的解析式，進而求出點坐標即可；（）求出，點坐標，根據，即可證四邊形是平行四邊形；（）作于，設出點的坐標，根據勾股定理計算出的長度，根據運動時間求出的長度即可確定的面積；先證四邊形為平行四邊形，根據對角線相等確定的長度，再根據的位置分情況計算出值即可．【詳解】（1）解：∵直線經過點，∴，解得：，∴直線解析式為，當時，，∴，∴點的坐標是，故答案為：，；（2）證明：由（）得：直線解析式為，點的坐標是，∴，∵線段平行于軸，∴點的縱坐標相同，∵點在直線上，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形；（3）解：如圖，過作于點，則，∵點在直線上，∴設點坐標為，∵，，∴，，，∴，∴由勾股定理得：，∴，整理得：，解得：，（舍去），∴，∵，∴當時，，∴的面積為；如圖，設與交于點，由（）得四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴當時，，當時，，當點，運動至四邊形為矩形時，，∵點的坐標是，點，∴，∴當時，，解得：；當時，，解得：；綜上可知：∴當點，運動至四邊形為矩形時，的值為或．【點睛】本題主要考查了一次函數的性質，待定系數法求解析式，平行四邊形的判定與性質，矩形的性質，兩點間的距離，解一元二次方程，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．9．(1)(2)(3)存在，點M的坐標為【分析】（1）對直線關系式，分別令和求出、兩點的坐標，然后即可求出線段中點的坐標．（2）根據軸對稱的性質，求出和交點的坐標，然后設出直線和的表達式，由及點坐標求出直線的表達式．（3）根據點在點和點的位置求出點的運動軌跡為直線，通過由三角函數求出兩點坐標，判定當時，最小．然后由待定系數法求出的表達式，進而由點坐標及求出直線的表達式，兩式聯立求得點的坐標．再結合銳角三角函數關系，勾股定理及直線的關系式求出點坐標，最后根據平行四邊形的性質由三個頂點坐標求出點的坐標．【詳解】（1）解：對直線，令，；，．則點和坐標為、．點為的中點，，．故點坐標為；（2）解：連接交于點，根據軸對稱的性質可得，．，，點坐標為，設直線的解析式為：，把，代入得，解得，直線的解析式為，由于和決定了直線的方向，為了簡化求出，把兩條直線平移，使交點正好處于坐標系原點，直線解析式變成了，直線的解析式變為．在直線和上取點，軸，為垂足，在軸負半軸取點，軸交直線于點，如圖：在和中，，，，，，，，直線的解析式為，把點坐標代入得：，直線的表達式為；（3）解：根據題意．，，，當點在點時，，；當點運動至點時，，．故點的軌跡為線段，如圖所示：當時，最小，，，，，坐標為，坐標為，設直線的表達式為：，直線的表達式為：，根據、兩點坐標由待定系數法求出的表達式為：，，同理（2）可得：，直線的表達式為：，把點坐標代入的表達式得：，，聯立直線和的表達式：，解得，點坐標為，，，，，即，解得，，點坐標為，當為平行四邊形時，點為其對稱中心，，，，，把點、和坐標代入得：，．故存在點使得四邊形是平行四邊形，坐標為．【點睛】本題考查了一次函數的圖象和性質，軸對稱的性質，特殊角三角函數值及直角三角形的性質，二元一次方程組的應用．勾股定理等知識點．本題的難點是求出點的直線方程．10．(1)，；(2)；(3)；點的坐標為或或．【分析】（1）把點的坐標代入，得到關于的一元一次方程，解方程即可求出的值；當時，可得：，解方程求出的值即為點的橫坐標；（2）首先過點作的垂線，分點在點的右側和點在點的左側兩情況求解，解答的關鍵是利用全等三角形的性質找到邊之間的關系，利用邊之間的關系求出線段的長度，從而求出點的坐標；（3）①過點作，利用角平分線性質和面積法求出點的坐標，再根據平面直角坐標系中線段中點坐標的求法，求出點的坐標，利用待定系數法求出直線的解析式即可；如果以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，需要分三種情況求解：第一種情況、當為平行四邊形的對角線時，第二種情況、當為平行四邊形的邊且點、在左側時，第三種情況、當為平行四邊形的邊且點、在右側時．解決本題的關鍵是利用平行四邊形的性質找到邊之間的關系，根據邊之間的關系求出點的坐標．【詳解】（1）解：把點的坐標代入，可得：，解得：，直線的解析式為，當時，可得：，解得：，點的坐標為；（2）解：如下圖所示，當點在點右側時，過點作交的延長線于點，過點作軸于點，點的坐標為，點的坐標為，，，在中，，，是等腰直角三角形，，，，，軸，，，，在和中，，，，，，點的坐標為，設直線的解析式為，把點的坐標點的坐標分別代入，可得：，解得：，直線的解析式為，當時，可得：，解得：，點的坐標為；（3）解：如下圖所示，過點作，平分，，設點的坐標為，則，，，∴解得：，點的坐標為又點是的中點，點的坐標為，即，設直線的解析式為，把點的坐標和點的坐標分別代入，可得：，解得：，直線的解析式為；解：如下圖所示，當為平行四邊形的對角線時，四邊形是平行四邊形，點是和的中點，直線的解析式為，當時，可得：，解得：，點的坐標為；當為平行四邊形的邊且點、在左側時，四邊形是平行四邊形，，，點的縱坐標為，把代入，可得：，解得：，，，點的坐標為；當為平行四邊形的邊且點、在右側時，四邊形是平行四邊形，，，且，，，，，，點的坐標為；綜上所述，點的坐標為或或．【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的判定與性質．本題屬函數與幾何綜合題目，熟練掌握相關性質與判定是解題的關鍵．在解答本題時要注意利用分類討論思想的分情況求解．11．(1)6(2)存在，點E的坐標為(3)存在，點Q的坐標為或或【分析】（1）利用待定系數法求得兩直線的解析式，再求得點A和點D的坐標，根據三角形面積公式即可求解；（2）作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，則的周長最短，先求得直線的函數解析式，即可求得點E的坐標；（3）根據平行四邊形的對邊平行且相等，分為平行四邊形的邊和平行四邊形的對角線兩種情況討論，結合點坐標的平移即可求解．【詳解】（1）∵直線與x軸交于點A，且經過定點，∴，解得：，∴直線．∵直線經過點，∴，∴，把代入，得到．∴，對于直線，令，得到，∴，∴．對于直線，令，得到，∴，∴．∵，∴；（2）解：在x軸上存在一點E，使的周長最短．如圖，作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，則的周長最短．根據軸對稱圖形的性質可知的坐標為．設直線的函數解析式為．將代入，得，解得，∴直線的函數解析式為．令，得到，解得，，∴點E的坐標為．（3）解：，，，，當為平行四邊形的邊時，，∴∴點的橫坐標為：或，點Q的坐標為或，當為平行四邊形的對角線時，，點C向右平移2個單位，向下平移2個單位到點A，則點D向右平移2個單位，向下平移2個單位到點Q，∴點Q的坐標為，即；綜上，點Q的坐標為或或．【點睛】本題考查的是一次函數的交點問題，軸對稱圖形的性質，坐標與圖形面積，平行四邊形的性質等知識，第二問利用軸對稱的性質找到點E的位置是解題的關鍵，第三問利用平行四邊形的性質和點坐標的平移是解題的關鍵．12．(1)；(2)點的坐標為或；(3)．【分析】（）聯立函數解析式即可求解；（）求出點坐標，利用平行四邊形面積求出的值，分點在點的左側和右側兩種情況解答即可求解；（）過點作于點，過點作軸于點，證明，得到，即可求解；本題考查了一次函數的交點問題，平行四邊形的性質，軸對稱的性質，全等三角形的判定，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由可得，，∴點的坐標為，故答案為：；（2）解：由可得，∴，∵以為頂點的平行四邊形面積為，∴，∴（不合，舍去）或，∴，∴，，設點，當點在點的左側時，，解得，∴；當點在點的右側時，，解得，∴；綜上，點的坐標為或；（3）解：如圖，過點作于點，過點作軸于點，則，∵點關于對稱，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴點到直線的距離為．13．(1)，(2)(3)和(4)或或【分析】本題考查函數與坐標軸交點，待定系數法求解析式，一次函數幾何結合問題，平行四邊形性質等．（1）根據題意令求出函數值即為點坐標，令求出自變量值即為點坐標；（2）由（1）中點坐標即可求出點M的坐標，設直線的函數解析式，代入點坐標和點M的坐標繼而求出；（3）先求出，再設點，用含的代數式表示，再列等式即可得出點P的坐標，再根據對稱性求出另一個；（4）利用對角線分情況討論即可求出．【詳解】（1）解：∵函數的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴令，得，即：，令，得，即：，故答案為：，；（2）解：∵點M為線段的中點，，∴，設直線的函數解析式，將和代入得：，解得：，∴直線的函數解析式：；（3）解：∵，∴，設，∴，∵，∴，解得：，∴，∵點關于點的對稱點為，∴滿足條件的點坐