第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《三角形壓軸題》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，的邊與的邊在一條直線上，且點為的中點，，．求證：．2．如圖，在中，是邊上的中線，是的中點，過點作，交的延長線于點，連接．(1)求證：；(2)若，判斷四邊形的形狀：________（填“菱形”、“矩形”或“正方形”），并證明．3．如圖，在中，是邊上一點，．(1)求證：；(2)若，求的長．4．如圖，在中，點是邊上一點，連接．若，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的長．5．如圖，在中，平分是線段上一點，交直線于點，且．(1)求證:;(2)求的度數(shù)．6．如圖，是斜邊上的中線，點位于邊上，且．(1)求證：．(2)若，，求．7．如圖，在中，點D在邊上，連接，．是中邊上的高線，延長交于點F．設，．(1)當時，的度數(shù)為_____；(2)求的度數(shù)（用含的式子表示）；(3)若，求的值．8．在等邊中，點D為線段上一動點，連接，F(xiàn)為直線上一動點．(1)如圖1，當點D為中點時，點F在線段上，連接．若，求的長；(2)如圖2，若點F為延長線上一點，且，點E為延長線上一點，且．猜想線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(3)如圖3，在（1）的條件下，G為線段上一點，連接，將線段繞點F逆時針旋轉得到線段連接當?shù)闹底钚r，的面積為．9．在等邊中，點D在直線上，連接，過點B作于點H．(1)如圖1，點D在的延長線上，，，求的長度；(2)如圖2，點D在邊上，點E在邊上，且，與交于點F，若點F恰是的中點，請用等式表示與的數(shù)量關系，并證明；(3)如圖3，點D在邊上，過點H作．連接、，將沿翻折至，連接，，請直接寫出當取得最大值時的值．10．如圖1，在中，，，點為中點，連接，點為中點，連接，過作交于．(1)若（），求的值（用含有的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若，，求的值．11．在中，，D是上一點．，，連接．(1)當時，如圖①，線段之間的數(shù)量關系是______；(2)當時，如圖②；當時，如圖③，分別寫出線段之間的數(shù)量關系，并選擇圖②或圖③進行證明．12．在△中，，點為的中點，點、分別在邊、上．(1)如圖1，若，，，求的值；(2)如圖2，當，時，求證：；(3)如圖3，連接，已知，，，若，用三條線段、、圍成的三角形的面積為，求的長．13．將一個等腰直角三角板的直角頂點C放在直線l上，從另兩個頂點向l作垂線，現(xiàn)要探究兩垂線段長度與兩垂足間距離的數(shù)量關系．已知：，，過點A作，垂足為D，過點B做，垂足為E．(1)如圖1，線段，，之間的數(shù)量關系是____________________；(2)如圖2，此情形下（1）的結論是否仍然成立?并說明理由；(3)如圖3，此情形下若，，求陰影部分的面積．14．如圖，為等邊三角形，點、分別是邊、所在直線上的動點，若點、以相同的速度，同時從點、點出發(fā)，分別沿、方向運動，直線、交于點．(1)如圖1，求證：；(2)在點、點運動過程中，______°；(3)如圖2，點為邊中點，連接，，當點、分別在線段、上運動時，判斷與的數(shù)量關系，并證明你的結論．15．在等邊中，點是射線上一點，點是線段上一點，將繞點逆時針旋轉得到．(1)如圖1，若點恰好落在邊上，點是的中點，交干點，，求的面積；(2)如圖2，若，連接、，求證：；(3)如圖3，若，，連接，，，當最小時．直接寫出四邊形的面積．參考答案1．見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，由全等三角形的判定方法可證明即可解答問題．【詳解】證明：點為的中點，在和中，，，，．2．(1)證明見解析；(2)四邊形是矩形，理由見解析．【分析】本題考查了等腰三角形的性質，平行四邊形、矩形的判定，全等三角形的判定與性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．（）由是的中點，得，再通過平行線的性質可得，然后證明，最后根據(jù)全等三角形的性質即可求證；（）由（）得，又是邊上的中線，所以，則有，從而證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可求出，最后由矩形的判定方法即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：四邊形是矩形，理由，由（）得，，∵是邊上的中線，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，是邊上的中線，∴，∴，∴四邊形是矩形．3．(1)見解析(2)【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵．（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出是直角三角形即可；（2）直接根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：，，，，，是直角三角形，且，；（2）解：由（1）知，，，，，．4．(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解答此題的關鍵是利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形．（1）根據(jù)，，，利用勾股定理的逆定理求證是直角三角形；（2）利用勾股定理求出的長，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴是直角三角形，．（2）解：∵，∴，∴在中，，∴5．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)“AAS”判定和全等即可．（2）先根據(jù)三角形的內角和定理求得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得的度數(shù)，從而根據(jù)，進一步求得的度數(shù)．此題主要考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，解答的關鍵是結合圖形分析清楚角與角之間的關系．【詳解】（1）證明：在和中（2）平分6．(1)見解析(2)3【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線．解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質．（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得，進而得到，根據(jù)已知條件和三角形外角定義求得，再兩個角對應相等的兩個三角形相似求解；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得，進而求出的長度，再利用相似三角形的對應邊成比例來求解．【詳解】（1）證明：是斜邊上的中線，，，在中，．又即，，．（2）解：是斜邊上的中線，，，，即，解得或(舍去)，．7．(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，三角形內角和定理，熟知三角形一個外角的度數(shù)等于與其不相鄰的兩個內角的度數(shù)之和，三角形內角和為是解題的關鍵．（1）先根據(jù)題意得到，再由三角形內角和定理求出，則；（2）同理求出，則由三角形外角的性質得到；（3）先得到，再由三角形內角和定理得到，即可求出．【詳解】（1）解：，，∴，∵是中邊上的高線，∴，即，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵是中邊上的高線，∴，即，∴，∴；（3）解：∵，，∴，∵，∴，∴．8．(1)(2)；證明見解析(3)【分析】（1）過點D作于點G，則，由等邊三角形的性質得出，，求出，由勾股定理可得出答案；（2）在上截取，連接，證明，由全等三角形的性質得出，證明，由全等三角形的性質得出，則可得出結論；（3）在截取，連接，證明，得出，，由（1）知，證出，點H在直線上運動，作點A關于直線的對稱點T，連接交直線于H，此時的值最小，由等腰三角形的性質、直角三角形的性質可得出答案．【詳解】（1）解：過點D作于點G，則，∵為等邊三角形，，∴，∵點D為中點，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，（2）解：，理由如下：在上截取，連接，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；（3）解：在截取，連接，∵，∴為等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，由（1）知，∴，∴，點H在直線上運動，作點A關于直線的對稱點T，連接交直線于點K，連接交直線于H，此時的值最小，∵于K，，∴，過點A作于I，則四邊形是矩形，∴，∴，即，如圖，過點D作于點，交的延長線于點，則，∴，又，∴，∴，∵，∴,∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．9．(1)(2)；證明見解析(3)【分析】（1）過點A作于點E，根據(jù)等邊三角形的性質得出，，解直角三角形得出，求出，設，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，最后得出答案即可；（2）過點E作于點G，證明，得出，，設，則，，求出，證明，得出，設，則，求出，根據(jù)，求出，得出，求出，即可得出答案；（3）延長，交于點G，證明四邊形為平行四邊形，得出，，證明，得出，說明點N在以為直徑的圓上運動，取的中點O，以點O為圓心為半徑作圓，連接并延長，交于點N，此時最大，設，則，解直角三角形，求出，，最后根據(jù)，代入求出結果即可．【詳解】（1）解：過點A作于點E，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設，則，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負值舍去，∴．（2）解：，理由如下：過點E作于點G，如圖所示：∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，∴，∵∵，∴，∴，∴，∵點F為的中點，∴，設，則，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：延長，交于點G，如圖所示：根據(jù)折疊可知：，，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，∴，∵，，∴，∵等邊中，∴，∴，∴點N在以為直徑的圓上運動，取的中點O，以點O為圓心為半徑作圓，連接并延長，交于點N，此時最大，設，則，∵為等邊三角形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，如圖，過點D作于點K，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的相關計算，折疊的性質，平行四邊形的判定和性質，平行線的性質，三角形全等的判定和性質，確定圓的條件，等邊三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關判定和性質．10．(1)；(2)1．【分析】本題主要考查了求角的正切值，全等三角形的性質與判定，相似三角形的性質與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線是解題的關鍵；（1）導角證明，則可證明，可得，設，，，再由勾股定理求出的長，最后根據(jù)正切的定義求解即可；（2）延長至，使得，連接、，證明，得到，導角證明，則可證明，得到．則．【詳解】（1）解：∵點為中點，，∴，∴．∵，，∴，∵，，∴，∴，設，，，根據(jù)勾股定理，，∴；（2）解：延長至，使得，連接、，如圖，∵，，，∴，∴，∴∵，，∴，∴，又∵，∴，∴．∴．11．(1)(2)圖②結論：，圖③結論：，證明見解析【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質以及勾股定理，正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)，，得，由，即知，從而，有，故；（2）①如圖，過點E作交的延長線于點，求出，由可得結論；②如圖，過點E作交于點，方法同①【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：①如圖，過點E作交的延長線于點，∵∴∴∴∴∴∴，∵,∴,∴,∴②如圖，過點E作交于點，∵∴∴∴，∴,∴∵，∴，∴，∴12．(1)3，(2)見解析，(3)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質和直角三角形的性質即可得到結論；（2）如圖2中，連接，作于，于．證明，，可得，，推出，再利用直角三角形30度角性質即可解決問題．（3）延長到，使得，連接，，作于．首先證明，求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：連接，點為的中點，，，，，，，，，，，同理，，；（2）證明：如圖2中，連接，作于，于．，，，，，，，，∴，，，，∴，，，，，，，，，，，；（3）解：延長到，使得，連接，，作于．，，，，，，，，，∴，∴，，，，，由題意得：用三條線段、、圍成的三角形的面積為，即由、、組成的三角形，，，，∵在中，，∴，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．13．(1)(2)不成立，見解析(3)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握此知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）證明得出，，再結合，即可得解；（2）證明得出，，再結合，即可得解；（3）由（2）結論可知，，再由三角形面積公式計算即可得解．【詳解】（1）解：，，，，，，在和中，，，，，∵，∴；（2）解：不成立；理由：，，，，，，在和中，，，，，，；（3）解：由（2）結論可知，，．14．(1)見解析(2)(3)與的數(shù)量關系為，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得：，，根據(jù)題意得：，即可得證；（2）由可得，由為等邊三角形得，根據(jù)三角形的外角性質即可求解；（3）延長到，使，連接，以為邊作等邊，連接，證明得到，，推出，得到，證明得到，，推出，證明得到，即可判斷．【詳解】（1）證明：為等邊三角形，，，點、以相同的速度，同時從點、點出發(fā)，分別沿、方向運動，，在和中，；（2）為等邊三角形，，，，是的外角，，故答案為：；（3）與的數(shù)量關系為，理由如下∶延長到，使，連接，以為邊作等邊，連接，如圖2所示∶，、、三點共線，點為邊中點，，在和中，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，三角形的外角性質，平行線的判定與性質，解題的關鍵是掌握相關知識并正確作出輔助線．15．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)題意先證明為等邊三角形，得，，則，由旋轉可知，，，再證，得，進而可知，則，，過點作，則，即可求解；（2）結合等邊三角形的性質，在上截取，則為等邊三角形，，證明，得，，由旋轉可知，，，則，在上截取，連接交于，然后證，得，，再證四邊形為