第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《二次函數綜合壓軸題》專項測試卷(附含答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、二次函數與特殊三角形問題1．如圖，在平面直角坐標系中，經過點，的拋物線（為常數）與軸交于點，頂點為點．點為點右側拋物線上一點，其橫坐標為．(1)求拋物線的解析式．(2)在拋物線的對稱軸上找一點，使得取得最小值，求點坐標；(3)若點坐標為，連接，取線段的中點，將點繞點順時針方向旋轉得到點，連接，以，為鄰邊構造矩形．①設的長為，求關于的函數解析式；②請直接寫出當點在矩形外部時，的取值范圍．2．如圖，拋物線與x軸交于，B兩點，與y軸交于點，頂點為點D，對稱軸是直線l．(1)求拋物線的函數表達式及頂點D的坐標；(2)求四邊形的面積；(3)在線段上是否存在一點M，使與相似？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．3．如圖1，拋物線與直線相交于點B和C，點B在x軸上，點C在y軸上，拋物線與x軸的另一個交點為A．(1)求拋物線的解析式；(2)E為線段上方拋物線上一動點，求四邊形面積最大時，E的坐標以及面積的最大值；(3)如圖2，將拋物線沿射線方向平移個單位長度得到新拋物線，在新拋物線上有一點N，在x軸上有一點M，試問是否存在以點B、M、C、N為頂點的平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．(1)求拋物線的表達式；(2)當時，求點的坐標；(3)設點為拋物線對稱軸上一動點，當點，點運動時，在坐標軸上是否存在點，使四邊形為矩形，若存在，請求所有符合條件的點坐標．5．已知拋物線．(1)如圖，當拋物線的圖象經過點，且對稱軸在軸右側時，①求拋物線的解析式；②拋物線與軸交于點A，B，與軸交于點C，若點D是直線下方拋物線上一點，作，垂足為點E，設，求的最大值及此時點D的坐標；(2)若拋物線交軸于點P，設．①求與的函數解析式；②將直線和直線與軸圍成的區域（不含邊界）記為M，當隨的增大而增大時，拋物線將M分成的兩部分中各有四個橫、縱坐標均為整數的點，直接寫出的取值范圍．二、二次函數與面積問題6．如圖，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)連接BC、BD、CD，求的面積：(3)已知點E的坐標為，點P在直線DE上，當與相似時，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標．7．如圖1，拋物線與x軸交于，與y軸交于點C．(1)求搬物線C1的解析式；(2)若P是拋物線在第四象限上的一點，連接交線段于點K，是否存在點P，使得K剛好為的中點，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖2，將拋物線向右平移一個單位長度得到拋物線，點M，N都在拋物線上，且分別在第四象限和第二象限，若，求證：直線經過一定點．8．在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線交軸正半軸于點，，點在此拋物線上．(1)如圖，求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第二象限內拋物線上一點，點的橫坐標為，連接交軸于點，過點作軸的垂線，點為垂足，連接，求的值；(3)如圖，在的條件下，點在該拋物線上，，連接，點在上，點在該拋物線上，點的橫坐標為，連接，，，的面積為，點在軸正半軸上，，連接交軸于點，連接，，若平分，求值．9．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點C．(1)求該拋物線的解析式；(2)直線l為該拋物線的對稱軸，點D與點C關于直線l對稱，點F為直線下方拋物線上一動點，連接，，求面積的最大值；(3)在（2）的條件下，將拋物線沿射線平移個單位，得到新的拋物線，點為點的對應點，點為的對稱軸上任意一點，在上確定一點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標．10．如圖，已知拋物線（為常數）的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點左側），與軸相交于點．(1)求該拋物線的解析式及點的坐標．(2)拋物線上一點在直線上方，其橫坐標為，過點作軸，垂足為點，交線段于點．①若，求點的坐標；②連接，，求四邊形面積的最大值及此時點的坐標．三、二次函數與線段周長問題11．如圖，已知拋物線與軸交于點，，與軸交于點，的頂點為P．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，已知拋物線，與的一個交點為D．①判斷拋物線是否過點C，并說明理由；②是否存在，使得以為直徑的圓過點P，若存在求出t的值，若不存在說明理由；③記的面積為S，若對任意的正實數t均成立，求實數m的取值范圍．12．如圖所示，拋物線與軸相交于，與y軸相交于點，點為拋物線的頂點．(1)求拋物線的解析式及頂點M的坐標；(2)如圖2，若點N是第四象限內拋物線上的一個動點，過點N作x軸的垂線，垂足為D，并與直線交于點Q，連接、．求面積的最大值及此時點N的坐標；(3)若點P在拋物線對稱軸上，平面內存在點Q，使以點B、C、P，Q為頂點的四邊形為矩形，請直接寫出P點的坐標．13．如圖，已知雙曲線，拋物線和直線．設直線與雙曲線的兩個交點為，與拋物線的兩個交點為．(1)若線段與線段的中點重合，求證：；(2)是否存在直線，使得為線段的三等分點？若存在，求出直線的解析式，若不存在，請說明理由．14．在平面直角坐標系中，拋物線如圖所示，該拋物線與軸交于點（點在點的左側），，經過點的直線與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)拋物線上的動點在直線的下方，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；(3)若點為軸上任意一點，在（2）的結論下，求的最小值．15．已知二次函數的圖象與軸的交于，兩點，與軸交于點．(1)求，兩點坐標；(2)點在第三象限內的拋物線上，過點作軸垂線交于點，求的最大值；(3)在（2）的條件下，拋物線上是否存在點，使以，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點的橫坐標，若不存在，請說明理由．參考答案1．(1)(2)(3)①；②點在矩形外部時，或或【分析】（1）把，點分別代入拋物線，后利用待定系數法確定解析式即可．（2）確定點A關于對稱軸的對稱點，連接對稱點與點C，與對稱軸的交點就是線段和最小的位置，解得即可．（3）①根據點M坐標為，點，線段的中點Q，得到，當即時，點在點A的右側，此時；當即時，點在點A的左側側，此時，解答即可；②根據題意，分類討論，數形結合分析即可求解．【詳解】（1）解：把，點分別代入拋物線，得，∴，故拋物線的解析式為．（2）解：∵，∴拋物線的對稱軸是直線，∵，點滿足，∴兩點是關于直線的對稱點，連接，交直線于點，則點就是滿足取得最小值的點，∵，令，則，∴，設直線的解析式為，將代入直線的解析式得：，解得，∴直線的解析式為，當時，，∴．（3）解：①∵點坐標為，點，∴線段的中點的橫坐標為，∴，如圖所示，點在點右邊，∴，即時，點在點A的右側，此時；如圖所示，點在點左邊，∴，即時，點在點A的左側，此時．綜上所述，l關于m的函數解析式為②點為點右側拋物線上一點，其橫坐標為，點坐標為，點是線段的中點，且，第一種情況，當點在點右邊，此時矩形在直線下方，點在直線上方，此時點在矩形外部，∴在點中，，則，在點中，，∴此種情況不存在；第二種情況，如圖所示，當點在點右邊，此時矩形在直線下方，點在直線下方，過點作于點，當時點在矩形外部，，∴，即，∴，，∴，解得，或，∴；第三種情況，如圖所示，點在點左邊，則，即，點在點右邊，則，此時點在矩形外部，∴；第四種情況，如圖所示，點在點左邊，則，即，點在點左邊，點右邊，則，當時點在矩形外部，，∴，，∴，解得，，∴；綜上所述，點在矩形外部時，或或．【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，構造二次函數求最值，等腰直角三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，一次函數解析式確定，解方程組，熟練掌握待定系數法，解方程組是解題的關鍵．2．(1)，；(2)9；(3)存在，或．【分析】本題考查了二次函數圖象與性質，相似三角形的性質和判定，用待定系數法求二次函數的解析式等知識點的應用，此題難度偏大，對學生提出較高的要求，綜合性比較強．（1）由待定系數法求出函數表達式，即可求解；（2）由，即可求解；（3）當與相似時，存在或，則或，即或，即可求解．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，∴拋物線的函數表達式為；∵；∴；（2）解：設直線的解析式為，把，代入得:，解得，∴直線的解析式為，∴當時，∴與直線l的交點，∵，，∴，∴，對于，當時，，解得，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：存在，理由：由點A、C的坐標得，，當與相似時，存在或，則或，即或，解得：或，又直線的解析式為，設點，當時，則，解得：或（舍去），當時，同理可得，或（舍去），即M的坐標為或．3．(1)(2)最大面積為，點E坐標為(3)存在，點M的坐標為或或或【分析】（1）求出點和，利用待定系數法求出函數解析式即可；（2）先求得點A坐標，進而得到，當最大時，最大，過E作軸交于D，設，，則，利用坐標與圖形性質得，利用二次函數的性質求得的面積最大值即可求解；（3）求出平移后新拋物線為，設點M的坐標為，要使點M與以上三點圍成平行四邊形，可能有以下三種情形：①當為對角線時，②當為對角線時，③當為對角線時，分別畫出圖形進行解答即可；【詳解】（1）解：在中，令，得，∴，令，由得，∴，

把兩點的坐標代入中得，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：對于，令，由得，，∴，∴，則，當最大時，最大，設，，則，∴，∴，∵，，∴當時，的面積最大，最大值為，此時四邊形面積最大，最大值為，由得點E坐標為；（3）解：存在．將拋物線沿射線方向平移個單位長度，，相當于將拋物線先向右平移1個單位，再向下平移1個單位，∴平移后新拋物線為，設點M的坐標為，，要使點N與以上三點圍成平行四邊形，可能有以下三種情形：①當為對角線時，點N的坐標為；此時若點N在拋物線上，則，解得，，；②當為對角線時，點N的坐標為，此時若點N在拋物線上，則，解得，，；③當為對角線時，點N的坐標為；此時若點N在拋物線上，則，解得，當時，得到，；當時，得到，，綜上，點M的坐標為或或或．【點睛】此題是二次函數和幾何綜合題，考查了待定系數法、平行四邊形的性質、二次函數的圖象和性質、二次函數的平移、坐標與圖形等知識，數形結合和分類討論是解題的關鍵．4．(1)(2)(3)N點坐標為或【分析】（1）將點和點的坐標代入解出、的值即可得到拋物線解析式；（2）根據拋物線解析式求得點坐標，可得為等腰直角三角形，則有，當時，即，內錯角相等可得，即點縱坐標與點縱坐標相等，將代入拋物線解析式即可得到點的坐標；（3）分成兩種情況考慮：第一種，當點在軸上時，此時只能為拋物線的頂點，由矩形性質即可推得點坐標；第二種，當點在軸負半軸上時，過作軸的垂線，垂足為，過作x軸的垂線，垂足為，設點坐標為，則，結合矩形性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質可以得出點的坐標為，最后根據點在拋物線上解出的值，即可得點坐標．綜合兩種情況即可得到完整解答．【詳解】（1）解：拋物線與軸交于點，與軸交于點，代入得，解得，拋物線的解析式為．（2）解：由（1）得，令時，得，，，，為等腰直角三角形，，，，，即點縱坐標與點縱坐標相等，在中，令時，解得，，．（3）解：，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為，情況一：如圖，當點在軸上時，只能為拋物線的頂點，四邊形為矩形，點為拋物線對稱軸上一動點，，與縱坐標相同，點坐標為；情況二：如圖，當點在軸負半軸上時，四邊形為矩形，過作軸的垂線，垂足為，過作x軸的垂線，垂足為，設點坐標為，則，矩形中，，，又，，，，，拋物線對稱軸為，點在對稱軸上，點坐標為，，，，即，，，，，，和中，，，，，，點的坐標為，點在拋物線上，，解得，，點在軸負半軸上，，即需舍去，點坐標為．綜上所述，符合條件的點坐標為或．【點睛】本題考查的知識點是待定系數法求解析式、等腰三角形的判定與性質、二次函數的圖像與性質、矩形性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、解一元二次方程，解題關鍵是方程思想的應用．5．(1)①②有最大值為，此時點(2)①②【分析】（1）①利用待定系數法求解即可；②過點作軸交于點，則，求得，設點，則點，求得關于的二次函數，利用二次函數的性質求解即可；（2）①分當點在軸上方或與點重合時，當點在軸下方時，兩種情況討論，據此求解即可；②畫出圖形，知當時，拋物線將M分成的兩部分中各有四個橫、縱坐標均為整數的點，據此求解即可．【詳解】（1）解：①拋物線的圖象經過點，，，．對稱軸在軸右側，，，，；②過點作軸交于點，則，如圖，當時，；當時，，，點，，，．,為等腰直角三角形，，設：，，解得，：．設點，則點，．，，當時，有最大值，，的最大值為，此時；（2）解：①當時，，點．當點在軸上方或與點重合時，或，；當點在軸下方時，，．綜上所述，；②，當時，，當，，，當時，，當，，畫出兩個一次函數圖像如下，將直線和直線與軸圍成的區域（不含邊界）記為M，那么中橫、縱坐標均為整數的點有：，，，，，，,，共8個，，時，，時，，如圖所示：觀察圖像，可知當隨的增大而增大時，或，對稱軸為，當時，拋物線將M分成的兩部分中各有四個橫、縱坐標均為整數的點，此時對稱軸在軸的右側，即，如圖所示：解方程，得（舍去負值）；解方程，得（舍去負值）；．【點睛】本題屬于二次函數綜合題，考查了二次函數的圖像與性質，待定系數求二次函數解析式，勾股定理，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題．6．(1)，(2)3(3)或或或【分析】本題主要考查求二次函數解析式、勾股定理逆定理、兩點間距離公式、相似三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關知識成為解題的關鍵．（1）直接運用待定系數法求解即可；（2）先求得，再結合可得、，再根據勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，最后根據三角形的面積公式計算即可．（3），，，再運用勾股定理逆定理結合已知條件可得，然后求得直線的解析式為；設，則，然后分和兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：將兩點代入可得：，解得：，∴拋物線的解析式為；∵，∴頂點為D為．（2）解：∵拋物線的解析式為，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，且．∴．（3）解：∵，，∴，，，∴，∴，設直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，設，則，當時，，∴，解得：或，∴點P的坐標為或；當時，，∴，解得：或，∴點P的坐標為或．綜上，點P的坐標為或或或．7．(1)(2)不存在，見解析(3)見解析【分析】（1）根據二次函數的交點式即可得到結論；（2）過點A作y軸的平行線交于點M，過點P作y軸的平行線交于點N，根據相似三角形的性質得到，求得，由拋物線的表達式知，點，由點B、C的坐標得，直線的表達式為：，設點，則點則，整理得到，由于，得到原方程無實數根，得到不存在點P，使得K剛好為的中點；（3）過M作軸于K，過N作軸于T，如圖：根據將拋物線向右平移一個單位長度得到拋物線，得到拋物線的解析式為，設，根據相似三角形的性質得到，即，整理化簡得到，由點M、N的坐標得，直線解析式為，求得，當時，，得到直線經過．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于，∴，即；（2）解：不存在，理由：過點A作y軸的平行線交的延長線于點M，過點P作y軸的平行線交BC于點N，則，∴，∴，∴，由拋物線的表達式知，點，由點B、C的坐標得直線的表達式為：，則點，即，則，設點，則點，則，整理得，，∵，∴原方程無實數根，∴不存在點P，使得K剛好為的中點；（3）證明：過M作軸于K，過N作軸于T∵將拋物線向右平移一個單位長度得到拋物線，∴拋物線的解析式為，設，∵M，N分別在第四象限和第二象限，∴，∵，∴，∴，即，整理化簡得：，由點M、N的坐標得得直線解析式為，∴，當時，，∴直線經過，∴直線經過一定點．【點睛】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，三角形相似的判定與性質等知識，解題的關鍵是用含字母的代數式表示相關點的坐標和相關線段的長度．8．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）利用待定系數法求解即可；（2），，，，在內，

在內，，故，那么在內，；（3）先求，由，則設，代入，求得，聯立直線和拋物線表達式得：，求得，可求，，設，過點作軸于點R，交于點K，可求直線：，設，則，由于，故，解得：，則，可得，那么，求得，同理可求：，則,過點作，垂足分別為，可證明，則，同理可得：，則，故，解方程即可求解．【詳解】（1）解：拋物線交軸正半軸于點，，拋物線經過，可得：

，解方程組得：，拋物線的解析式為

；（2）解：點在拋物線上，且點的橫坐標為，當時，點在第二象限，，，，，，，在內，

在內，，，

在內，，的值為；（3）解：設，則代入得：，∴，∵，∴設，代入，得：，解得：，∴，聯立直線和拋物線表達式得：，∴，解得：或，∴，把代入得：，∴，∵，∴設直線表達式為：，則，解得：，∴，設，過點作軸于點R，交于點K，連接，∵，，∴同理可求直線：，∴設，∴，∵，∴，解得：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，而，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，同理可求：，當，∴,過點作，垂足分別為∴∵平分，，∴，∴∵，∴，∴，同理可得：，∴，∵∴，∴，整理得：，解得：或（舍）．所以．【點睛】本題考查了二次函數與幾何的綜合問題，涉及解直角三角形，待定系數法求函數解析式，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質定理等知識點，兩點間距離公式，難度較大．9．(1)(2)8(3)或或，【分析】（1）將，的坐標代入函數式利用待定系數法求解即可；（2）先得出拋物線的對稱軸，作軸交直線于E，設，用表示出的面積即可求出最大面積；（3）通過平移距離為，轉化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，根據平移變化得出平移后的拋物線關系式和E的坐標，分為對角線、為對角線、為對角線三種情況進行討論即可．【詳解】（1）解：將，代入得，解得：，∴該拋物線的解析式為，（2）把代入中得：，∴，拋物線的對稱軸l為，∵點D與點C關于直線l對稱，∴，∵，設直線的解析式為；∴，解得：，∴直線AD的函數關系式為：，作軸交直線于M，設，∴，∴，∴，∴，∴當時，即點時，的面積最大，最大值為：8（3）∵直線的函數關系式為：，∴直線與軸正方向夾角為，∴拋物線沿射線方向平移個單位，相當于將拋物線向右平移個單位，再向下平移個單位，∵，，平移后的坐標分別為，，設平移后的拋物線的解析式為則，解得：，∴平移后，∴拋物線y1的對稱軸為：，∵，∴，設，，∵以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情況：①當為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴②當為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴③當為對角線時，平行四邊形的對角線互相平分∴，∴∴∴或或【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數關系式和最值問題，求三角形的面積，以及平移的性質和平行四邊形的性質，注意分類討論的數學思想．10．(1)，(2)①；②，【分析】本題考查二次函數的綜合應用，涉及求二次函數解析式，二次函數與線段關系，二次函數與面積問題；（1）由對稱軸是直線，得到，即可求出解析式；再令解方程即可求出點的坐標．（2）①先點坐標為，直線的解析式為，由軸表示出點的坐標為，點的坐標，即可得到，，再由列方程求解即可；②根據表示出四邊形面積，再根據二次函數的性質求最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線（為常數）的對稱軸是直線，，解得，該拋物線的解析式為，當時，有，解得，，點在點左側，點的坐標是．（2）解：①由拋物線的解析式為可知點坐標為，設經過點，兩點的直線的解析式為，∴，解得，直線的解析式為，拋物線上一點在直線上方，其橫坐標為，，點的坐標為，軸，交線段于點，點的坐標為，，，，，解得，，，取，此時點的坐標為；②∵點，，∴，，，由①知，，，當時，四邊形面積最大，的最大值是，此時點的坐標為．11．(1)(2)①拋物線過點C

②存在，

③【分析】（1）利用待定系數法即可求解；（2）①把代入即可；②求出的頂點的坐標，然后解和聯立的方程組得到點D的坐標，根據勾股定理得到，列式計算即可求解；③求出直線的解析式，過作軸，交于點，可得點的坐標，然后得到即可得到的取值范圍.【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，∴拋物線的解析式為，（2）①解：拋物線過點C，理由為：當代入得：，∴拋物線過點；②∵，∴點P的坐標為，解方程組得，，∴點D的坐標為，假設以為直徑的圓過點P，則，∴，∴，整理得，解得(舍去)，，∴當時，使得以為直徑的圓過點P；③設直線的解析式為，代入得：，解得，∴直線的解析式為，過點作軸交于點Q，則Q點的坐標為，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查二次函數的綜合，涉及待定系數法求函數解析式，二次函數的最值，作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．12．(1)，頂點坐標為：(2)最大值為，的坐標為(3)點坐標為，，，【分析】（1）把點、點和點的坐標代入拋物線解析式，求出，b，即可得出拋物線的解析式，再求出頂點坐標即可；（2）由（1）可得到直線的解析式，設點，則，進而表達三角形的面積，利用二次函數的最值問題可得；（3）分三種情況：當時，當時，當時，分別求解即可．【詳解】（1）解：把點和點，點，代入拋物線，則，解得，∴拋物線的解析式為：；∵，∴；（2）解：由（1）知拋物線的頂點為，設直線的解析式為令，將代入，得，解得，∴直線的解析式為：，設點，則∴∴面積，∵，∴當時，面積的最大值為．此時；（3）解：∵拋物線的對稱軸為：直線，設點坐標為，∵，∴，，，①當時，即，∴，解得，∴點的坐標為；②當時，即，∴，解得：，∴點的坐標為，；③當時，，∴，解得，∴點的坐標為；綜上，點坐標為，，，．【點睛】本題主要考查了待定系數法求解析式，勾股定理，二次函數的性質等，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，學會分類討論．13．(1)見解析(2)存在，或或【分析】（1）分別聯立和，可得出關于的一元二次方程，由根與系數的關系結合線段與的中點重合，即可得出，進而可證出；（2）由題意得，得到．將代入得，據此求解即可．【詳解】（1）證明：設、、、．顯然．聯立，得，∴，．聯立，得，∴，．若線段與的中點重合，則．∴；（2）解：若A、B為線段的三等分點，則線段與的中點重合，