PAGEPAGE1其次篇專題五第2講空間中的平行與垂直[限時訓練·素能提升](限時50分鐘，滿分76分)一、選擇題(本題共6小題，每小題5分，共30分)1．(2024·濰坊模擬)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿意l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析若α∥β，則m∥n，這與m、n為異面直線沖突，所以A不正確．將已知條件轉化到正方體中，易知α與β不肯定垂直，但α與β的交線肯定平行于l，從而解除B、C.故選D.答案D2．(2024·烏魯木齊二模)關于直線a，b及平面α，β，下列命題中正確的是A．若a∥α，α∩β＝b，則a∥bB．若α⊥β，m∥α，則m⊥βC．若a⊥α，a∥β，則α⊥βD．若a∥α，b⊥a，則b⊥α解析A是錯誤的，因為a不肯定在平面β內，所以a，b有可能是異面直線；B是錯誤的，若α⊥β，m∥α，則m與β可能平行，可能相交，也可能線在面內，故B錯誤；C是正確的，由直線與平面垂直的推斷定理能得到C正確；D是錯誤的，直線與平面垂直，需直線與平面中的兩條相交直線垂直．答案C3．(2024·全國卷Ⅱ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)解析如圖，連接BE，因為AB∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB.不妨設正方體的棱長為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C.答案C4．如圖，在三棱錐P－ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能推斷出AP⊥BC，故選B.答案B5．(2024·石家莊質檢)設m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β其中真命題的個數是A．0B．1C．2D．3解析①m∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤．答案B6．(2024·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為A.eq\f(3\r(3),4)B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4)D.eq\f(\r(3),2)解析記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等．如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′－AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等．分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中點E，F，G，H，I，J，連接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝eq\f(\r(2),2)，所以該正六邊形的面積為6×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(3),4)，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為eq\f(3\r(3),4)，故選A.答案A二、填空題(本題共2小題，每小題5分，共10分)7．(2024·全國卷Ⅲ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB相互垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________．解析由題意畫出圖形，如圖，設AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設圓錐的母線長為l，則由SA⊥SB，△SAB的面積為8，得eq\f(1,2)l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝eq\f(1,2)l＝2，AO＝eq\f(\r(3),2)l＝2eq\r(3).故該圓錐的體積V＝eq\f(1,3)π×AO2×SO＝eq\f(1,3)π×(2eq\r(3))2×2＝8π.答案8π8．(2024·煙臺模擬)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，請你補充一個條件________，使平面MBD⊥平面PCD.①DM⊥PC；②DM⊥BM；③BM⊥PC；④PM＝MC(填寫你認為是正確的條件對應的序號)．解析因為在四棱錐A－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，所以BD⊥PA，BD⊥AC，因為PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.答案①(或③)三、解答題(本題共3小題，每小題12分，共36分)9．(2024·唐山期末)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝2，M是AB的中點．(1)求證：平面A1CM⊥平面ABB1A1；(2)求點M到平面A1CB1的距離．解析(1)證明由A1A⊥平面ABC，CM?平面ABC，得A1A⊥CM.由AC＝CB，M是AB的中點，得AB⊥CM.又A1A∩AB＝A，則CM⊥平面ABB1A1，又CM?平面A1CM，所以平面A1CM⊥平面ABB1A1.(2)設點M到平面A1CB1的距離為h.連接MB1.由題意可知A1C＝CB1＝A1B1＝2MC＝2eq\r(2)，A1M＝B1M＝eq\r(6)，則S△A1CB1＝2eq\r(3)，S△A1MB1＝2eq\r(2).由(1)可知CM⊥平面ABB1A1，則CM是三棱錐C－A1MB1的高，由VC－A1MB1＝eq\f(1,3)MC·S△A1MB1＝VM－A1CB1＝eq\f(1,3)h·S△A1CB1，得h＝eq\f(\r(2)×2\r(2),2\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，即點M到平面A1CB1的距離為eq\f(2\r(3),3).10．(2024·全國卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA.(1)證明：平面ACD⊥平面ABC；(2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，求三棱錐Q－ABP的體積．解析(1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3eq\r(2).又BP＝DQ＝eq\f(2,3)DA，所以BP＝2eq\r(2).作QE⊥AC，垂足為E，則QE綊eq\f(1,3)DC.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱錐Q－ABP的體積為VQ－ABP＝eq\f(1,3)×QE×S△ABP＝eq\f(1,3)×1×eq\f(1,2)×3×2eq\r(2)sin45°＝1.11．(2024·蘭州模擬)如圖所示的空間幾何體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.(1)求證：平面CFG⊥平面ACE；(2)在AC上是否存在一點H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的長，若不存在，請說明理由．解析(1)證明連接BD交AC于點O，則BD⊥AC.設AB，AD的中點分別為M，N，連接MN，則MN∥BD.連接FM，GN，則FM∥GN，且FM＝GN，所以四邊形FMNG為平行四邊形，所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC.因為AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD.所以FG⊥AE，又AC∩AE＝A，所以