PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)23解三角形應(yīng)用舉例[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m解析：由正弦定理得AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．答案：A2．[2024·武漢三中月考]如圖，兩座燈塔A和B與海岸視察站C的距離相等，燈塔A在視察站南偏西40°方向上，燈塔B在視察站南偏東60°方向上，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏東80°方向上D．南偏西80°方向上解析：由條件及題圖可知，∠A＝∠ABC＝40°，因?yàn)椤螧CD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°方向上．答案：D3.如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于()A．5eq\r(6)mB．15eq\r(3)mC．5eq\r(2)mD．15eq\r(6)m解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，解得BC＝15eq\r(2)(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6)(m)．答案：D4．某船起先望見燈塔在南偏東30°方向，后來船沿南偏東60°的方向航行15km后，望見燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是()A．5kmB．10kmC．5eq\r(3)kmD．5eq\r(2)km解析：作出示意圖(如圖)，點(diǎn)A為該船起先的位置，點(diǎn)B為燈塔的位置，點(diǎn)C為該船后來的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，∠B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得eq\f(15,sin120°)＝eq\f(BC,sin30°)，即BC＝eq\f(15×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝5eq\r(3)，即這時(shí)船與燈塔的距離是5eq\r(3)km.答案：C5.如圖，在離地面高400m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC＝60°，則山的高度BC為()A．700mB．640mC．600mD．560m解析：依據(jù)題意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400，所以AM＝eq\f(MD,sin45°)＝400eq\r(2).因?yàn)椤鱉AC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理，得AC＝eq\f(MAsin∠AMC,sin∠MCA)＝eq\f(400\r(2)×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝400eq\r(3)，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝600(m)．答案：C二、填空題6．[2024·山東省，湖北省部分中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]如圖，在某島旁邊海底某處有一條海防警戒線，在警戒線上的點(diǎn)A，B，C處各有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到A的距離分別為20千米和50千米，某時(shí)刻B點(diǎn)接收到發(fā)自水中P處的一個(gè)聲波信號(hào)，8秒后A，C同時(shí)接收到該聲波信號(hào)，假設(shè)聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒，則P到海防警戒線的距離為________千米．解析：通解依題意知PA＝PC，設(shè)PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，則cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2PA·AB)＝eq\f(x2＋202－x－122,2x·20)＝eq\f(3x＋32,5x)，在△PAC中，AC＝50，則cos∠PAC＝eq\f(PA2＋AC2－PC2,2PA·AC)＝eq\f(x2＋502－x2,2x·50)＝eq\f(25,x).因?yàn)閏os∠PAB＝cos∠PAC，所以eq\f(3x＋32,5x)＝eq\f(25,x)，解得x＝31，過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，則AD＝25，在Rt△ADP中，PD＝eq\r(312－252)＝4eq\r(21).故P到海防警戒線的距離為4eq\r(21)千米．優(yōu)解過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，設(shè)PB＝x，由題意知，PA＝PC＝x＋1.5×8＝x＋12，AD＝25，BD＝5，在Rt△PAD中，PD2＝PA2－AD2＝(x＋12)2－252，在Rt△PBD中，PD2＝PB2－BD2＝x2－52，則(x＋12)2－252＝x2－52，可得x＝19，故PD＝eq\r(192－52)＝4eq\r(21)，即P到海防警戒線的距離為4eq\r(21)千米．答案：4eq\r(21)7．[2024·南昌市模擬]已知臺(tái)風(fēng)中心位于城市A東偏北α(α為銳角)度的150公里處，以v公里/時(shí)沿正西方向快速移動(dòng)，2.5小時(shí)后到達(dá)距城市A西偏北β(β為銳角)度的200公里處，若cos(α－β)＝eq\f(24,25)，則v＝________.解析：如圖所示，AB＝150，AC＝200，依據(jù)題意可知∠B＝α，∠C＝β，因?yàn)閏os(α－β)＝eq\f(24,25)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)))2)＝eq\f(7,25).在三角形ABC中，由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(150,sinβ)＝eq\f(200,sinα)，得4sinβ＝3sinα，所以4sinβ＝3sin[β＋(α－β)]＝3[sinβcos(α－β)＋cosβsin(α－β)]＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24,25)sinβ＋\f(7,25)cosβ))，整理得4sinβ＝3cosβ.又sin2β＋cos2β＝1，所以sinβ＝eq\f(3,5)，進(jìn)而sinα＝eq\f(4,5)，所以有sin2α＋sin2β＝1，所以α＝90°－β，所以∠BAC＝180°－(α＋β)＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝eq\r(1502＋2002)＝250，故v＝eq\f(250,2.5)＝100.答案：1008．[2024·福建省中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)]在平面四邊形ABCD中，AB＝1，AC＝eq\r(5)，BD⊥BC，BD＝2BC，則AD的最小值為________．解析：設(shè)∠BAC＝α，∠ABD＝β(β∈(0，π))，則∠ABC＝β＋eq\f(π,2).在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosα＝6－2eq\r(5)cosα，由正弦定理，得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,2))))，即BC＝eq\f(\r(5)sinα,cosβ).在△ABD中，由余弦定理，得AD2＝AB2＋DB2－2AB·DBcosβ＝1＋4BC2－4BCcosβ＝1＋4(6－2eq\r(5)cosα)－4·eq\f(\r(5)sinα,cosβ)·cosβ＝25－8eq\r(5)cosα－4eq\r(5)sinα＝25－20sin(α＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinθ＝\f(2\r(5),5)，cosθ＝\f(\r(5),5)))，所以當(dāng)sin(α＋θ)＝1，即sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)時(shí)，AD2取得最小值5，所以AD的最小值為eq\r(5).答案：eq\r(5)三、解答題9．[2024·石家莊中學(xué)摸底考試]某學(xué)校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE，其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū)，AB，BC，CD，DE，EA，BE為學(xué)校的主要道路(不考慮寬度)．∠BCD＝∠CDE＝eq\f(2π,3)，∠BAE＝eq\f(π,3)，DE＝3BC＝3CD＝eq\f(9,11)km.(1)求道路BE的長度；(2)求生活區(qū)△ABE面積的最大值．解析：(1)如圖，連接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD＝eq\f(27,100)，∴BD＝eq\f(3\r(3),10)km.∵BC＝CD，∠CDB＝∠CBD＝eq\f(π－\f(2,3)π,2)＝eq\f(π,6)，又∠CDE＝eq\f(2π,3)，∴∠BDE＝eq\f(π,2).∴在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),10)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))2)＝eq\f(3\r(3),5)(km)．故道路BE的長度為eq\f(3\r(3),5)km.(2)設(shè)∠ABE＝α，∵∠BAE＝eq\f(π,3)，∴∠AEB＝eq\f(2π,3)－α.在△ABE中，易得eq\f(AB,sin∠AEB)＝eq\f(AE,sin∠ABE)＝eq\f(BE,sin∠BAE)＝eq\f(3\r(3),5sin\f(π,3))＝eq\f(6,5)，∴AB＝eq\f(6,5)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))，AE＝eq\f(6,5)sinα.∴S△ABE＝eq\f(1,2)AB·AEsineq\f(π,3)＝eq\f(9\r(3),25)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))sinα＝eq\f(9\r(3),25)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))＋\f(1,4)))≤eq\f(9\r(3),25)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)))＝eq\f(27\r(3),100)(km2)．∵0<α<eq\f(2π,3)，∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(π,6)<eq\f(7π,6).∴當(dāng)2α－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,3)時(shí)，S△ABE取得最大值，最大值為eq\f(27\r(3),100)km2，故生活區(qū)△ABE面積的最大值為eq\f(27\r(3),100)km2.10．要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°，并測(cè)得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40cm，求電視塔的高度．解析：如圖，設(shè)電視塔AB高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(eq\r(3)x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，即得x＝40，所以電視塔高為40m.[實(shí)力挑戰(zhàn)]11．在海岸A處，發(fā)覺北偏東45°方向，距離A處(eq\r(3)－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75°方向，距離A處2海里的C處的輯私船奉命在10eq\r(3)海里/時(shí)的速度追截走私船．同時(shí)，走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃跑，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時(shí)間？解析：如圖，設(shè)緝私船t時(shí)后在D處追上走私船，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝eq\r(6).由正弦定理，得sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝eq