PAGEPAGE1考查角度1空間幾何體的三視圖、表面積與體積分類透析一三視圖與直觀圖的識別與還原例1(1)圖①是一個正方體被削去一個角后所得到的幾何體的直觀圖,其中DD1=1,AB=BC=AA1=2.若此幾何體的俯視圖如圖②所示,則可以作為其正視圖的是().(2)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長棱的棱長為().A.1 B.2 C.3 D.2解析(1)由題意,結(jié)合該幾何體的直觀圖和俯視圖知,其正視圖的長應(yīng)為底面正方形的對角線長,高應(yīng)為正方體的棱長,故解除B,D,在三視圖中看不見的棱用虛線表示,故解除A,選C.(2)由題中三視圖知,此四棱錐的直觀圖如圖所示,其中側(cè)棱SA⊥底面ABCD,且底面是邊長為1的正方形,SA=1,所以四棱錐最長棱的棱長為SC=3,故選C.答案(1)C(2)C方法技巧(1)解決空間幾何體的三視圖問題,能否回來到正方體(或長方體),是求解問題的關(guān)鍵,要在正方體(或長方體)中找尋已知三視圖所對應(yīng)的空間幾何體;(2)對于簡潔幾何體的組合體的三視圖,首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向,其次要留意組合體由哪些幾何體組成,弄清它們的組成方式,特殊應(yīng)留意它們的交線的位置.分類透析二依據(jù)三視圖求解幾何體的表面積與體積例2(1)某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的表面積是().A.90cm2 B.129cm2 C.132cm2 D.138cm2(2)已知某幾何體的三視圖如下圖所示,其中正(主)視圖中半圓的半徑為1,則該幾何體的體積為().A.24-3π2 B.24-π3 C.24-π D.24解析(1)由三視圖畫出幾何體的直觀圖,如圖所示,則此幾何體的表面積S=S1-S正方形+S2+2S3+S斜面,其中S1是長方體的表面積,S2是三棱柱的水平放置的一個側(cè)面的面積,S3是三棱柱的一個底面的面積,則S=(4×6+3×6+3×4)×2-3×3+3×4+2×12×4×3+5×3=138(cm2).故選D(2)由三視圖可知該幾何體是一個長方體去掉一個半圓柱.長方體的長,寬,高分別為3,2,4.則長方體的體積為3×2×4=24.半圓柱的高為3,半圓柱的體積為12×π×3=3π2,所以幾何體的體積為24-答案(1)D(2)A方法技巧由幾何體的三視圖求幾何體的表面積和體積,通常狀況下先將三視圖轉(zhuǎn)化為其幾何體的直觀圖,然后將三視圖中的數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行計算.分類透析三柱體、錐體、臺體的表面積與體積例3(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,側(cè)棱長為3,D為BC中點,則三棱錐A-B1DC1的體積為().A.3 B.32 C.1 D.(2)《九章算術(shù)》商功章有題:一圓臺形谷倉,谷倉口直徑為六尺,谷倉底直徑為一丈八尺,谷倉高一丈八尺,若谷倉屯米高九尺,則谷倉屯米約為().(斛為容積單位,1斛≈1.62立方尺,1丈=10尺,π≈3)A.650斛 B.950斛 C.1950斛 D.2850斛解析(1)由題意可知AD⊥BC,由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面DB1C1,又AD=2sin60°=3,所以VA-B1DC1=13×AD×S△B1(2)圓臺的軸截面如圖所示,G,H,F分別為CB,DA,BA的中點,E為GH的中點,由題意得,GB=3尺,HA=9尺,GH=18尺,EH=9尺,所以EF=12(HA+GB)=積為V=13×9×π×(36+6×9+81)=513π≈513×3=1539(立方尺).因為1539÷1.62=950,所以谷倉屯米約為950斛.故選B答案(1)C(2)B方法技巧(1)求解空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的形態(tài)以及線面的位置關(guān)系和尺寸,利用相應(yīng)體積公式求解;(2)若所給幾何體的體積不能干脆利用公式得出,則常用等積法、分割法、補形法等方法進(jìn)行求解.分類透析四球的接切問題例4已知三棱錐S-ABC的全部頂點都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為().A.26 B.36 C.23解析如圖所示,依據(jù)球的性質(zhì),知OO1⊥平面ABC,則OO1⊥O1C.在直角△OO1C中,OC=1,O1C=33所以O(shè)O1=OC2-O1因此三棱錐S-ABC的體積V=2VO-ABC=2×13×34×63=答案A方法技巧求解球的表面積和體積關(guān)鍵須要求出半徑;與組合體有關(guān)的解答關(guān)鍵是要明確組合體是“切”還是“接”,然后明確多面體的某一幾何量與球的半徑之間的關(guān)系,再運用相關(guān)的學(xué)問求解,特殊要留意利用球的截面性質(zhì).1.(2024年全國Ⅰ卷,文9改編)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是等邊三角形,俯視圖是半圓.現(xiàn)有一只螞蟻從點A動身沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點,則螞蟻所經(jīng)過路程的最小值為.

解析如圖所示,側(cè)面綻開圖為一個扇形與一個三角形,從點A動身沿該幾何體的側(cè)面環(huán)繞一周回到A點,螞蟻所經(jīng)過路程的最小值為|AA1|=22+22-2×2×2cos150°答案2+62.(2024年全國Ⅲ卷,文3改編)榫卯是在兩個木構(gòu)件上所采納的一種凹凸結(jié)合的連接方式,凸出部分叫榫,凹進(jìn)部分叫卯,榫和卯咬合,起到連接作用,代表建筑有北京的紫禁城、天壇祈年殿、山西懸空寺等,如圖所示是一種榫卯構(gòu)件中榫的三視圖,其表面積為().A.8+12π B.8+16πC.9+12π D.9+16π解析由三視圖知該榫是由一個圓柱和一個長方體組成的幾何體,其表面積S=2π×2×2+2π×22+1×2×4=8+16π,故選B.答案B3.(2024年全國Ⅰ卷,理7改編)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中,面積最大的面的面積為().A.23 B.6 C.62 D.12解析由三視圖可知幾何體為三棱錐與三棱柱的組合體.作出直觀圖如圖所示:由俯視圖可知DE⊥DF,∴S梯形ACFD=S梯形ABED=12×(2+4)×2=6,S矩形BCFE=22×2=42S△ABC=34×(22)2=23,S△DEF=12×2×2=答案B4.(2024年全國Ⅱ卷,文6改編)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.90π B.6+πC.42π D.4+π解析由三視圖知幾何體是三棱柱與半圓柱的組合體,且三棱柱與半圓柱的高都是2,三棱柱的一側(cè)面為圓柱的軸截面,三棱柱的底面為等腰直角三角形,且腰長為2,半圓柱的底面半徑為1,∴幾何體的體積V=12×2×22+12×π×12×2=4+答案D1.(2024佛山二模)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.8-4π3 B.8-2π3 C.24-π D.24解析由已知三視圖,得該幾何體是一個正方體切去半徑為2的18所以表面積為2×2×6-34×π×22+18×4π×22=24-故選C.答案C2.(2025屆陜西省渭南市模擬)如圖,一個四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的體積是().A.12 B.13 C.23解析依據(jù)題意得到原圖是三棱錐,底面為等腰直角三角形,高為1,故得到體積為13×12×2×1×1=1答案B3.(2024黃山一模)《九章算術(shù)》卷5《商功》記載一個問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺.術(shù)曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積為“周自相乘,以高乘之,十二而一”.就是說:圓堡瑽(圓柱體)的體積為V=112×(底面圓的周長的平方×高),則由此可推得圓周率π的取值為()A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2解析設(shè)圓柱體的底面半徑為r,高為h,由圓柱的體積公式得體積為V=πr2h.由題意知V=112×(2πr)2×h.所以πr2h=112×(2πr)2×h,解得π=3.答案A4.(2024重慶模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為().A.54 B.60 C.66 D.72解析由三視圖知,該幾何體是由直三棱柱削去一個同底的三棱錐所得(如圖).三棱柱的高為5,削去的三棱錐的高為3,三棱錐與三棱柱的底面都是邊長為3和4的直角三角形.∵AB⊥平面BEFC,∴AB⊥BC,BC=5,FC=2,AD=BE=5,DF=5,∴該幾何體的表面積S=12×3×4+3×5+(5+2)×52+(2+5)×42故選B.答案B5.(2025屆齊齊哈爾市第八中學(xué)二模)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為().A.83(1+B.83(1+C.43(2+D.43(2+解析該幾何體是由兩個小三棱錐和一個圓錐組成,所以體積為2×13×12×2×2×2+13×4π×4=83答案A6.(2025屆甘肅省蘭煉一中其次次模擬)在四面體ABCD中,若AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為().A.2π B.4π C.6π D.8π解析如圖所示,該四面體為長方體的四個頂點,設(shè)長、寬、高分別為a,b,c,則a2+b2=5,a2+c2=4,b2+c2=3,三式相加得答案C7.(2025屆河南省安陽市模擬考試)如圖所示的是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是().A.4+2π B.4+32π C.4+π D.4+解析由三視圖知該組合體是由長方體與半個圓柱組合而成,體積為V=1×1×4+12×π×12×1=4+π2答案D8.(2024南平一模)已知某簡潔幾何體的三視圖如圖所示,若正(主)視圖的面積為1,則該幾何體最長的棱的長度為().A.5 B.3 C.22 D.6解析如圖,該幾何體為三棱錐A-BCD,BC=2,CD=2,因為正(主)視圖的面積為1,故正(主)視圖的高為1,由此可計算AB=AC=6,BD=22為最長棱長,故選C.答案C9.(2024陜西一模)《九章算術(shù)》中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,俯視圖中間的實線平分矩形的面積,則該“塹堵”的側(cè)面積為().A.2 B.4+22 C.4+42 D.4+62解析依據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱,底面是一個直角三角形,兩條直角邊是2,斜邊是2,且側(cè)棱與底面垂直,側(cè)棱長是2,∴幾何體的側(cè)面積S=2×2+2×2×2=4+42,故選C.答案C10.(2024合肥模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的外接球的表面積為().A.13πB.16πC.25πD.27π解析該幾何體是底面為正方形的長方體,底面對角線長為4,高為3,∴長方體底面邊長為22.設(shè)長方體外接球的半徑為r,則2r=(22)2+(22)2+32=5,∴r=答案C11.(2025屆鎮(zhèn)江市第一次模擬)已知正四棱錐的底面邊長為2,側(cè)棱長為6,則正四棱錐的體積為.

解析正四棱錐的底面邊長為2,底面面對角線的一半為2,所以棱錐的高為h=6-2=2,∴V=13Sh=13×22×答案812.(2025屆江蘇省常州市第一次模擬)已知圓錐的高為6,體積為8,用平行于圓錐底面的平面截圓錐,得到的圓臺體積是7,則該圓臺的高為.

解析設(shè)該圓臺的高為h,由題意,得用平行于圓錐底面的平面截圓錐得到的小圓錐體積是1,則6-h6=318=答案313.(2025屆四川省成都市龍泉中學(xué)高三12月月考)一個棱錐的三視圖如圖所示,其中側(cè)視圖為邊長為1的正三角形,則四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面的面積是.

解析由四棱錐的三視圖可知,該四棱錐底面ABCD為邊長為1的正方形,△PAD是邊長為1的等邊三角形,PO垂直于AD于點O,其中O為AD的中點,所以四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面是△PBC,PB=PC=2,BC=1,面積是12×1×2-1答案714.(2025屆合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)如圖,已知平面四邊形ABCD滿意AB=AD=2,∠A=60°,∠C=90°,將△ABD沿對角線BD翻折,使平面ABD⊥平面CBD,則四面體ABCD外接球的體積為.

解析由題意可知△ABD是等邊三角形,作AE⊥BD,垂足為E,利用面面垂直的性質(zhì)可知AE⊥平面BCD,則外接球的球心在直線AE上,故△ABD的重心F為