PAGEPAGE10第一節抽樣方法、用樣本估計總體1．簡潔隨機抽樣(1)抽取方式：逐個不放回抽取；(2)特點：每個個體被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽簽法和隨機數表法．2．分層抽樣(1)在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后依據肯定的比例，從各層獨立地抽取肯定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．3．系統抽樣的步驟(1)采納隨機的方式將總體中的N個個體編號；(2)將編號按間隔k分段，當eq\f(N,n)是整數時，取k＝eq\f(N,n)；當eq\f(N,n)不是整數時，從總體中剔除一些個體，使剩下的總體中個體的個數N′能被n整除，這時取k＝eq\f(N′,n)，并將剩下的總體重新編號；(3)在第一段中用簡潔隨機抽樣確定起始的個體編號l；(4)依據肯定的規則抽取樣本，通常將編號為l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k的個體抽出．4．作頻率分布直方圖的步驟(1)求全距；(2)確定組距與組數；(3)將數據分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖．5．莖葉圖的優點莖葉圖的優點是不但可以保留全部信息，而且可以隨時記錄，這對數據的記錄和表示都能帶來便利．[提示]莖葉圖中莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數．6．樣本的數字特征(1)眾數、中位數、平均數數字特征概念優點與缺點眾數一組數據中重復出現次數最多的數眾數通常用于描述變量的值出現次數最多的數．但明顯它對其他數據信息的忽視使它無法客觀地反映總體特征中位數把一組數據按從小到大的依次排列，處在中間位置的一個數據(或兩個數據的平均數)中位數等分樣本數據所占頻率，它不受少數幾個極端值的影響，這在某些狀況下是優點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點平均數假如有n個數據x1，x2，…，xn，那么這n個數的平均數eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)平均數與每一個樣本數據有關，可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息，但平均數受數據中的極端值的影響較大，使平均數在估計總體時牢靠性降低(2)標準差、方差①標準差：樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).②方差：標準差的平方s2s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數據，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數．[小題體驗]1．為調查某高校學生對“一帶一路”政策的了解狀況，現采納分層抽樣的方法抽取一個容量為500的樣本．其中大一年級抽取200人，大二年級抽取100人．若其他年級共有學生3000人，則該校學生總人數是________．解析：設該校學生總人數為n，則1－eq\f(200＋100,500)＝eq\f(3000,n)，解得n＝7500.答案：75002．某校為了了解教科研工作開展狀況與老師年齡之間的關系，將該校不小于35歲的80名老師按年齡分組，分組區間為[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這80名老師中年齡小于45歲的有________人．解析：由頻率分布直方圖可知45歲以下的老師的頻率為5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人)．答案：483．已知一組數據4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數據的方差是________．解析：5個數的平均數eq\x\to(x)＝eq\f(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5,5)＝5.1，所以它們的方差s2＝eq\f(1,5)[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.答案：0.11．簡潔隨機抽樣中易忽視樣本是從總體中逐個抽取，是不放回抽樣，且每個個體被抽到的概率相等．2．系統抽樣中，易忽視抽取的樣本數也就是分段的段數，當eq\f(N,n)不是整數時，留意剔除，剔除的個體是隨機的，各段入樣的個體編號成等差數列．3．在繪制莖葉圖時，易遺漏重復出現的數據，重復出現的數據要重復記錄，同時不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義．[小題糾偏]1．已知某商場新進3000袋奶粉，為檢查其三聚氰胺是否超標，現采納系統抽樣的方法從中抽取150袋檢查，若第一組抽出的號碼是11，則第六十一組抽出的號碼為________．解析：每組袋數：d＝eq\f(3000,150)＝20，由題意知這些號碼是以11為首項，20為公差的等差數列．a61＝11＋60×20＝1211.答案：12112．如圖是甲、乙兩名籃球運動員在五場競賽中所得分數的莖葉圖，則在這五場競賽中得分較為穩定(方差較小)的那名運動員得分的方差為________．解析：由莖葉圖知，得分較為穩定的那名運動員是乙，他在五場競賽中得分分別為8,9,10,13,15，所以eq\x\to(x)乙＝eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.答案：6.8eq\a\vs4\al(考點一抽樣方法)eq\a\vs4\al(基礎送分型考點——自主練透)[題組練透]1．總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成，利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字起先由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為________.7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481解析：由隨機數表法的隨機抽樣的過程可知選出的5個個體是08,02,14,07,01，所以第5個個體的編號是01.答案：012．采納系統抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調查，將他們隨機編號1,2，…，1000.適當分組后在第一組采納簡潔隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.若抽到的50人中，編號落入區間[1,400]的人做問卷A，編號落入區間[401,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷C的人數為________．解析：依據系統抽樣的特點可知，全部做問卷調查的人的編號構成首項為8，公差d＝eq\f(1000,50)＝20的等差數列{an}，所以通項公式an＝8＋20(n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1000，得eq\f(763,20)≤n≤eq\f(253,5)，又因為n∈N*，所以39≤n≤50，所以做問卷C的共有12人．答案：123．(2024·南京調研)某高校甲、乙、丙、丁四個專業分別有150,150,400,300名學生．為了解學生的就業傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業中抽取40名學生進行調查，則應從丙專業抽取的學生人數為________．解析：由題意得，應從丙專業抽取的學生人數為40×eq\f(400,1000)＝16.答案：164．某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，依據分層抽樣的結果，企業統計員制作了如下的統計表格：產品類別ABC產品數量(件)1300樣本容量(件)130由于不當心，表格中A、C產品的有關數據已被污染看不清晰，統計員記得A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10，依據以上信息，可得C的產品數量是________件．解析：設樣本容量為x，則eq\f(x,3000)×1300＝130，所以x＝300.所以A產品和C產品在樣本中共有300－130＝170(件)．設C產品的樣本容量為y，則y＋y＋10＝170，所以y＝80.所以C產品的數量為eq\f(3000,300)×80＝800(件)．答案：800[謹記通法]三種抽樣方法的比較類別共同點各自特點相互聯系適用范圍簡潔隨機抽樣均為不放回抽樣，且抽樣過程中每個個體被抽取的機會相等從總體中逐個抽取是后兩種方法的基礎總體中的個數較少系統抽樣將總體均分成幾部分，按事先確定的規則在各部分中抽取在起始部分抽樣時采納簡潔隨機抽樣元素個數許多且均衡的總體抽樣分層抽樣將總體分成幾層，分層按比例進行抽取各層抽樣時采納簡潔隨機抽樣或系統抽樣總體由差異明顯的幾部分組成eq\a\vs4\al(考點二頻率分布直方圖和莖葉圖)eq\a\vs4\al(重點保分型考點——師生共研)[典例引領]1．(2024·啟東模擬)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據(單位：件)．若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則x＋y的值為________．解析：由莖葉圖知，甲組的中位數為65，當乙組的中位數也為65時，y＝5，此時乙組的平均數為eq\f(59＋61＋65＋67＋78,5)＝66，所以x＝66×5－(56＋65＋62＋74＋70)＝3，所以x＋y＝8.答案：82．(2024·海安質量測試)某校高一年級共有800名學生，依據他們參與某項體育測試的成果得到了如圖所示的頻率分布直方圖，則成果不低于80分的學生人數為________．解析：由題設中供應的頻率分布直方圖可以看出：不低于80分的學生人數為(0.02＋0.01)×10×800＝240.答案：2403．(2024·蘇州測試)為了了解某校今年打算報考飛行員的學生的體重狀況，將所得的數據整理后，其頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數為12，則報考飛行員的學生人數為________．解析：設報考飛行員的學生人數為x，則eq\f(12,x)＝(1－0.037×5－0.013×5)×eq\f(1,3)，解得x＝48，即報考飛行員的學生人數為48.答案：48[由題悟法]1．莖葉圖中的3個關注點(1)“葉”的位置只有一個數字，而“莖”的位置的數字位數一般不須要統一．(2)重復出現的數據要重復記錄，不能遺漏．(3)給定兩組數據的莖葉圖，估計數字特征，莖上的數字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數較大，數據集中者方差較小．2．由頻率分布直方圖進行相關計算時，需駕馭的2個關系式(1)eq\f(頻率,組距)×組距＝頻率．(2)eq\f(頻數,樣本容量)＝頻率，此關系式的變形為eq\f(頻數,頻率)＝樣本容量，樣本容量×頻率＝頻數．[即時應用]1.(2024·蘇北四市期末)某次競賽甲得分的莖葉圖如圖所示，若去掉一個最高分，去掉一個最低分，則剩下4個分數的方差為________．eq\a\vs4\al(3,4,5)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(4,246,28))解析：剩下的4個分數是42,44,46,52，則其平均數是46，故方差為eq\f(1,4)×(16＋4＋0＋36)＝14.答案：142．隨著社會的發展，食品平安問題慢慢成為社會關注的熱點，為了提高學生的食品平安意識，某學校組織全校學生參與食品平安學問競賽，成果的頻率分布直方圖如圖所示，數據的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若該校的學生總人數為3000，則成果不超過60分的學生人數大約為________．解析：由頻率分布直方圖知，成果不超過60分的學生的頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成果不超過60分的學生人數大約為0.3×3000＝900.答案：900eq\a\vs4\al(考點三樣本的數字特征)eq\a\vs4\al(題點多變型考點——多角探明)[鎖定考向]樣本的數字特征常與頻率分布直方圖、莖葉圖等學問交匯命題．常見的命題角度有：(1)樣本的數字特征與直方圖交匯；(2)樣本的數字特征與莖葉圖交匯；(3)樣本的數字特征與優化決策問題．[題點全練]角度一：樣本的數字特征與直方圖交匯1．(2024·蘇州調研)樣本容量為100的頻率分布直方圖如圖所示，依據樣本頻率分布直方圖估計平均數為________.解析：平均數為eq\f(1,100)×(6×10＋20×12＋40×14＋24×16＋10×18)＝14.24.答案：14.24角度二：樣本的數字特征與莖葉圖交匯2．將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91，現場作的9個分數的莖葉圖后來有1個數據模糊，無法分辨，在圖中以x表示.則7個剩余分數的方差為________．解析：依據莖葉圖，去掉1個最低分87,1個最高分99，則eq\f(1,7)[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，所以x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).答案：eq\f(36,7)角度三：樣本的數字特征與優化決策問題3．甲、乙兩名射擊運動員參與某大型運動會的預選賽，他們分別射擊了5次，成果如下表(單位：環)：甲108999乙1010799假如甲、乙兩人中只有1人入選，則入選的最佳人選應是________．解析：因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙＝9，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(2,5)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝eq\f(6,5)＞seq\o\al(2,甲)，故甲更穩定．答案：甲[通法在握]1．利用頻率分布直方圖估計樣本的數字特征的方法(1)中位數：在頻率分布直方圖中，中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計中位數值．(2)平均數：平均數的估計值等于每個小矩形的面積乘以矩形底邊中點橫坐標之和．(3)眾數：最高的矩形的中點的橫坐標．2．利用樣本的數字特征解決優化決策問題的依據(1)平均數反映了數據取值的平均水平；標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度越大，越不穩定；標準差、方差越小，數據的離散程度越小，越穩定．(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數字特征來描述總體的數字特征．[演練沖關]1.(2024·常州調研)用莖葉圖記錄甲、乙兩名同學高三前5次數學測試的成果，如圖．他們在分析對比成果改變時，發覺乙同學成果的一個數字看不清晰了．若已知乙的平均成果低于甲的平均成果，則看不清晰的數字為________．解析：甲的平均成果為eq\f(1,5)×(99＋100＋101＋102＋103)＝101，設看不清晰的數字為x，則由題意得eq\f(1,5)×(93＋94＋97＋110＋110＋x)＜101，解得x＜1.因為x≥0，x∈N，所以x＝0，即看不清晰的數字為0.答案：02．為了考察某校各班參與課外書法小組的人數，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參與該小組的人數作為樣本數據．已知樣本平均數為7，樣本方差為4，且樣本數據互不相同，則樣本數據中的最大值為________．解析：不妨設樣本數據為x1，x2，x3，x4，x5，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5，則由樣本方差為4，知(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.若5個整數的平方和為20，則這5個整數的平方只能在0,1,4,9,16中選取(每個數最多出現2次)，當這5個整數的平方中最大的數為16時，分析可知，總不滿意和為20；當這5個整數的平方中最大的數為9時，0,1,1,9,9這組數滿意要求，此時對應的樣本數據為x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8，x5＝10；當這5個整數的平方中最大的數不超過4時，總不滿意要求，因此不存在滿意條件的另一組數據．答案：10一抓基礎，多練小題做到眼疾手快1．(2024·南通中學高三學情調研)一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表(單位：輛)：轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型300450600按類用分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，則z的值為________．解析：由題意知eq\f(50,100＋300＋150＋450＋z＋600)＝eq\f(10,100＋300)，解得z＝400.答案：4002．(2024·泰州調研)某校在高三年級的1000名學生中隨機抽出100名學生的數學成果作為樣本進行分析，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示，則估計該校高三學生中數學成果在[110,140)之間的人數為________．解析：由樣本頻率分布直方圖知該校高三學生中數學成果在[110,140)之間的頻率為(0.02＋0.026＋0.02)×10＝0.66，所以估計該校高三學生中數學成果在[110,140)之間的人數為1000×0.66＝660.答案：6603．某校高三年級500名學生中，血型為O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．為探討血型與色弱之間的關系，現用分層抽樣的方法從這500名學生中抽取一個容量為60的樣本，則應抽取________名血型為AB的學生．解析：在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為eq\f(60,500)＝eq\f(3,25)，所以血型為AB的學生應抽取的人數為50×eq\f(3,25)＝6.答案：64．已知一組數據：87，x,90,89,93的平均數為90，則該組數據的方差為________．解析：由題意知eq\f(1,5)×(87＋x＋90＋89＋93)＝90，解得x＝91，所以方差s2＝eq\f(1,5)×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4.答案：45．(2024·啟東第一中學月考)某廠共有1000名員工，打算選擇50人參與技術評估，現將這1000名員工編號為1到1000，打算用系統抽樣的方法抽取．已知隨機抽取到的員工最小的編號是15，那么抽取到的員工最大的編號是________．解析：樣本間隔為1000÷50＝20，∵隨機抽取到的最小的編號是15，∴在抽取到的員工中最大的編號是15＋49×20＝995.答案：9956．(2024·蘇州期末)若一組樣本數據9,8，x,10,11的平均數為10，則該組樣本數據的方差為________．解析：由eq\f(9＋8＋x＋10＋11,5)＝10，得x＝12，故方差s2＝eq\f(－12＋－22＋22＋02＋12,5)＝2.答案：2二保高考，全練題型做到高考達標1．(2024·通州期末)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成果(單位：分)，已知甲組數據的中位數為17，則x的值為________．答案：72．(2024·如皋檢測)從編號為01,02，…，50的50個產品中用系統抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中的前兩個編號分別為03,08(編號按從小到大的依次排列)，則樣本中最大的編號是________．解析：由題意知，抽樣間隔是5，∴樣本中最大的編號是3＋5×9＝48.答案：483．(2024·南京學情調研)為了解某一段馬路汽車通過時的車速狀況，現隨機抽測了通過這段馬路的200輛汽車的時速，所得數據均在區間[40,80]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的200輛汽車中，時速在區間[40,60)內的汽車有________輛．解析：依據頻率分布直方圖得，時速在區間[40,60)內的頻率為(0.01＋0.03)×10＝0.4，故時速在區間[40,60)內的汽車有0.4×200＝80(輛)．答案：804．用分層抽樣的方法從某中學學生中抽取一個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人，已知該校高二年級共有學生300人，則該校學生的總人數為________．解析：樣本中高二年級抽45－20－10＝15(人)，設該校學生的總人數為n，則eq\f(45,n)＝eq\f(15,300)，所以n＝900.答案：9005．(2024·揚州期末)某學校從高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高．依據測量結果可知被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155,160)，其次組[160,165)，…，第八組[190,195]．按上述分組方式得到的頻率分布直方圖的一部分如圖所示，估計這所學校高三年級全體男生身高在180cm以上(含180cm)的人數為________．解析：這所學校高三年級全體男生身高在180cm以上(含180cm)的頻率為1－(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝1－0.82＝0.18，所以全體男生身高在180cm以上(含180cm)的人數為0.18×800＝144.答案：1446．(2024·海門中學檢測)已知數據x1，x2，…，x10的均值為2，標準差為s，又知數據3x1＋2,3x2＋2，…，3x10＋2的方差為27，則s＝________.解析：∵數據x1，x2，…，x10的均值為2，標準差為s，數據3x1＋2,3x2＋2，…，3x10＋2的方差為27，∴9s2＝27，解得s＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．已知x是1,2,3，x,5,6,7這七個數據的中位數且1,2，x2，－y這四個數據的平均數為1，則y－eq\f(1,x)的最小值為________．解析：由題意1＋2＋x2－y＝4，所以y＝x2－1.由中位數定義知，3≤x≤5，所以y－eq\f(1,x)＝x2－1－eq\f(1,x).當x∈[3,5]時，函數y＝x2－1與y＝－eq\f(1,x)均為增函數，所以y＝x2－1－eq\f(1,x)在[3,5]上為增函數，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,x)))min＝8－eq\f(1,3)＝eq\f(23,3).答案：eq\f(23,3)8.(2024·南通調研)為了了解某校老師運用多媒體進行教學的狀況，采納簡潔隨機抽樣的方法，從該校400名授課老師中抽取20名，調查了他們上學期運用多媒體進行教學的次數，結果用莖葉圖表示，如圖所示．據此可估計上學期該校400名老師中，運用多媒體進行教學的次數在[16,30)內的人數為________．解析：由莖葉圖可知，在20名老師中，上學期運用多媒體進行教學的次數在[16,30)內的人數為8，據此可以估計400名老師中，運用多媒體進行教學的次數在[16,30)內的人數為400×eq\f(8,20)＝160.答案：1609．某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數如下表：初一年級初二年級初三年級女生373xy男生377370z已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的概率是0.19.(1)求x的值；(2)現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，問應在初三年級抽取多少名？解：(1)因為eq\f(x,2000)＝0.19，所以x＝380.(2)初三年級人數為y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，現用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生，應在初三年級抽取的人數為：eq\f(48,2000)×500＝12(名)．10．某班100名學生期中考試語文成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求圖中a的值．(2)若在同一組數據中，將該組區間的中點值作為這組數據的平均分，依據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成果的平均分．(3)若這100名學生語文成果某些分數段的人數(x)與數學成果相應分數段的人數(y)之比如表所示，求數學成果在[50,90)之外的人數.分數段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解：(1)由頻率分布直方圖知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1，因此a＝0.005.(2)估計這次成果的平均分eq\x\to(x)＝55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.所以這100名學生語文成果的平均分為73分．(3)分別求出語文成果在分數段[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)的人數依次為0.05×100＝5,0.4×100＝40,0.3×100＝30,0.2×100＝20.所以數學成果分數段在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,