PAGE1-第5節向心加速度1．圓周運動是變速運動，故圓周運動肯定有加速度，1．圓周運動是變速運動，故圓周運動肯定有加速度，任何做勻速圓周運動的加速度都指向圓心，這個加速度叫向心加速度。2．向心加速度的大小為an＝eq\f(v2,r)＝rω2，向心加速度方向始終沿半徑指向圓心，與線速度垂直。3．向心加速度是由物體受到指向圓心的力產生的，反映了速度方向變更的快慢。一、感受圓周運動的向心加速度1．圓周運動必有加速度圓周運動是變速運動，變速運動必有加速度。2．勻速圓周運動的加速度方向實例地球繞太陽做(近似的)勻速圓周運動光滑桌面上的小球由于細線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動受力分析地球受太陽的引力，方向指向太陽中心，即為地球軌跡的圓心小球受重力、支持力、拉力三個力，合力總是指向圓心加速度分析由牛頓其次定律知，加速度方向與其合外力方向相同，指向圓心二、向心加速度1．定義做勻速圓周運動的物體具有的指向圓心的加速度。2．大小(1)an＝eq\f(v2,r)；(2)an＝ω2r。3．方向沿半徑方向指向圓心，與線速度方向垂直。1．自主思索——判一判(1)勻速圓周運動的加速度的方向始終不變。(×)(2)勻速圓周運動是勻變速曲線運動。(×)(3)勻速圓周運動的加速度的大小不變。(√)(4)依據a＝eq\f(v2,r)知加速度a與半徑r成反比。(×)(5)依據a＝ω2r知加速度a與半徑r成正比。(×)2．合作探究——議一議如圖5-5-1所示，小球在拉力作用下做勻速圓周運動，請思索：圖5-5-1(1)小球的向心加速度是恒定的嗎？其方向肯定指向圓心嗎？提示：小球的向心加速度方向時刻指向圓心，方向時刻變更，因此，小球的向心加速度不是恒定的。(2)若手握繩子的位置不變，增加小球的轉速，則它的向心加速度大小如何變更？提示：依據a＝ω2r可知，當半徑不變時，角速度變大時，加速度a也變大。對向心加速度的理解1．物理意義描述線速度變更的快慢，只表示線速度的方向變更的快慢，不表示其大小變更的快慢。2．方向總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻變更。3．圓周運動的性質不論加速度an的大小是否變更，an的方向是時刻變更的，所以圓周運動肯定是變加速曲線運動。4．變速圓周運動的向心加速度做變速圓周運動的物體，加速度并不指向圓心，該加速度有兩個重量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變更的快慢，切向加速度表示速度大小變更的快慢。所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心。1．關于做勻速圓周運動物體的向心加速度方向，下列說法正確的是()A．與線速度方向始終相同B．與線速度方向始終相反C．始終指向圓心D．始終保持不變解析：選C做勻速圓周運動的物體，它的向心加速度始終與線速度垂直且指向圓心，加速度的大小不變，方向時刻變更，所以C正確。2．關于向心加速度的物理意義，下列說法正確的是()A．它描述的是線速度大小變更的快慢B．它描述的是線速度方向變更的快慢C．它描述的是物體運動的路程變更的快慢D．它描述的是角速度變更的快慢解析：選B向心加速度始終與線速度方向垂直，故向心加速度只表示線速度的方向變更的快慢，不表示線速度的大小變更的快慢，A、D錯誤，B正確；圓周運動中，線速度是描述物體運動路程變更快慢的物理量，C錯誤。3．[多選]關于勻速圓周運動的向心加速度，下列說法正確的是()A．向心加速度是描述線速度方向變更快慢的物理量B．向心加速度只變更線速度的方向，不變更線速度的大小C．向心加速度恒定D．向心加速度的方向時刻發生變更解析：選ABD向心加速度只變更線速度的方向，所以向心加速度是描述線速度方向變更快慢的物理量，故A正確；向心加速度的方向與速度的方向始終垂直，所以向心加速度只變更線速度的方向，不變更線速度的大小，故B正確；向心加速度大小a＝eq\f(v2,r)，由于v的大小不變，故向心加速度的大小不變，但向心加速度的方向始終指向圓心，所以向心加速度方向時刻變更，故C錯誤，D正確。對向心加速度公式的理解和應用1．公式an＝eq\f(v2,r)該公式表明，對于勻速圓周運動，當線速度肯定時，向心加速度的大小與運動半徑成反比；當半徑肯定時，向心加速度的大小與線速度的平方成正比。該公式常用于分析涉及線速度的圓周運動問題或有兩個物體做圓周運動且它們的線速度相同的情景。2．公式an＝ω2r該公式表明，對于勻速圓周運動，當角速度肯定時，向心加速度的大小與運動半徑成正比；當半徑肯定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比。該公式常用于分析涉及角速度的圓周運動問題或有兩個物體做圓周運動且它們的角速度相同的情景。3．公式拓展在以上兩個公式的基礎上，結合描述勻速圓周運動的各物理量之間的關系，可得到以下公式：an＝ωv＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r。4．向心加速度與半徑的關系依據上面的探討，加速度與半徑的關系與物體的運動特點有關。若線速度肯定，an與r成反比；若角速度(或周期、轉速)肯定，an與r成正比。如圖所示。[典例]如圖，自行車的大齒輪A、小齒輪B、后輪C是相互關聯的三個轉動部分，且半徑RA＝2RB、RC＝5RB，正常騎行自行車時，A、B、C三輪邊緣的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于()A．1∶1∶6 B．3∶1∶6C．1∶2∶10 D．1∶3∶6[解析]A、B線速度大小相等，RA∶RB＝2∶1，依據a＝eq\f(v2,R)知，aA∶aB＝1∶2。B、C角速度大小相等，RB∶RC＝1∶5，依據a＝Rω2知，aB∶aC＝1∶5。所以aA∶aB∶aC＝1∶2∶10，故C正確，A、B、D錯誤。[答案]C向心加速度公式的應用技巧向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變更關系，必需在某一物理量不變時分析另外兩個物理量之間的關系。在比較轉動物體上做圓周運動的各點的向心加速度的大小時，應按以下步驟進行：(1)先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同。(2)在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與半徑成正比。1．如圖為我國放射的繞月探測衛星“嫦娥二號”，它在距月球表面200km高的近月圓形軌道上以127min的周期運行，在繞月運行的過程中“嫦娥二號”衛星的向心加速度為(月球的半徑為1738km)()A．1.3m/s2 B．2.2m/s2C．3.8m/s2 D．4.2m/s2解析：選A衛星的軌道半徑為：r＝200km＋1738km＝1938km，則向心加速度為：a＝eq\f(4π2r,T2)＝1.938×106×eq\f(4×3.142,127×602)m/s2≈1.3m/s2，故A正確，B、C、D錯誤。2.如圖所示是自行車的輪盤與車軸上的飛輪之間的鏈條傳動裝置。P是輪盤的一個齒，Q是飛輪上的一個齒。下列說法中正確的是()A．P、Q兩點角速度大小相等B．P、Q兩點向心加速度大小相等C．P點向心加速度小于Q點向心加速度D．P點向心加速度大于Q點向心加速度解析：選CP、Q兩點是傳送帶傳動的兩輪子邊緣上兩點，則vP＝vQ，而rP＞rQ，v＝rω，所以P、Q兩點角速度大小不相等，故A錯誤；依據a＝eq\f(v2,r)及vP＝vQ，而rP＞rQ，可知P點向心加速度小于Q點向心加速度，故C正確，B、D錯誤。1．下列關于勻速圓周運動的性質的說法正確的是()A．勻速運動B．勻加速運動C．加速度不變的曲線運動D．變加速曲線運動解析：選D勻速圓周運動是變速運動，它的加速度大小不變，方向始終指向圓心，是變量，故勻速圓周運動是變加速曲線運動，A、B、C錯，D對。2．下列關于質點做勻速圓周運動的說法中，正確的是()A．由a＝eq\f(v2,r)知a與r成反比B．由a＝ω2r知a與r成正比C．由ω＝eq\f(v,r)知ω與r成反比D．由ω＝2πn知ω與轉速n成正比解析：選D由a＝eq\f(v2,r)知，只有當v肯定時a才與r成反比；同理，由a＝ω2r知，只有當ω肯定時a才與r成正比；由ω＝eq\f(v,r)知v肯定，ω與r成反比，故A、B、C均錯誤。而ω＝2πn中，2π是定值，ω與轉速n成正比，D正確。3．[多選]一只質量為m的老鷹，以速率v在水平面內做半徑為r的勻速圓周運動，則關于老鷹的向心加速度的說法正確的是()A．大小為eq\f(v2,r) B．大小為g－eq\f(v2,r)C．方向在水平面內 D．方向在豎直面內解析：選AC依據an＝eq\f(v2,r)可知選項A正確；由于老鷹在水平面內運動，向心加速度始終指向圓心，所以向心加速度的方向在水平面內，C正確。4．[多選]一小球被細線拴著做勻速圓周運動，若其軌道半徑為R，向心加速度為a，則()A．小球相對于圓心的位移不變B．小球的線速度大小為eq\r(Ra)C．小球在時間t內通過的路程為eq\r(\f(a,Rt))D．小球做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(R,a))解析：選BD做勻速圓周運動的小球，相對于圓心的位移大小不變，但方向時刻在變更，故A錯誤。由公式a＝eq\f(v2,R)得v＝eq\r(aR)，故B正確。由v＝eq\f(Δl,Δt)知Δl＝vΔt＝teq\r(aR)，故C錯誤。由a＝eq\f(4π2,T2)R知T＝2πeq\r(\f(R,a))，故D正確。5.如圖所示，A、B為嚙合傳動的兩齒輪，rA＝2rB，則A、B兩輪邊緣上兩點的()A．角速度之比為2∶1 B．向心加速度之比為1∶2C．周期之比為1∶2 D．轉速之比為2∶1解析：選B依據兩輪邊緣線速度相等，由v＝ωr，得角速度之比為ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶2，故A錯誤；由an＝eq\f(v2,r)，得向心加速度之比為aA∶aB＝rB∶rA＝1∶2，故B正確；由T＝eq\f(2πr,v)，得周期之比為TA∶TB＝rA∶rB＝2∶1，故C錯誤；由n＝eq\f(ω,2π)，得轉速之比為nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶2，故D錯誤。6.[多選]如圖所示，一個球繞中心軸線OO′以角速度ω做勻速圓周運動，則()A．a、b兩點的線速度相同B．a、b兩點的角速度相同C．若θ＝30°，則a、b兩點的線速度之比va∶vb＝eq\r(3)∶2D．若θ＝30°，則a、b兩點的向心加速度之比aa∶ab＝eq\r(3)∶2解析：選BCD由于a、b兩點在同一球體上，因此a、b兩點的角速度ω相同，B正確；由v＝ωr知va<vb，A錯誤；又ra＝rbcosθ，則當θ＝30°時，ra＝eq\f(\r(3),2)rb，則va∶vb＝ra∶rb＝eq\r(3)∶2，C正確；由an＝ω2r知aa∶ab＝ra∶rb＝eq\r(3)∶2，D正確。7.[多選]小金屬球質量為m，用長L的輕懸線固定于O點，在O點的正下方eq\f(L,2)處釘有一顆釘子P，把懸線沿水平方向拉直，如圖所示，若無初速度釋放小球。當懸線遇到釘子后的瞬間(設線沒有斷)()A．小球的角速度突然增大B．小球的線速度突然減小到零C．小球的向心加速度突然增大D．小球的線速度突然增大解析：選AC由題意知，當懸線運動到與釘子相碰時，懸線仍舊豎直，小球在豎直方向仍舊只受重力和懸線的拉力，故其運動方向不受力，線速度大小不變；又ω＝eq\f(v,r)，r減小所以ω增大；a＝eq\f(v2,r)，r減小則a也增大，故A、C正確。8．[多選]關于向心加速度，以下說法中正確的是()A．物體做勻速圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度B．物體做圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度C．物體做圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心D．物體做勻速圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心解析：選AD物體做勻速圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度；物體做變速圓周運動時，向心加速度只是合加速度的一個重量，A正確，B錯誤。物體做勻速圓周運動時，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；物體做變速圓周運動時，圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度不再指向圓心，C錯誤，D正確。9．如圖所示為兩級皮帶傳動裝置，轉動時皮帶均不打滑，中間兩個輪子是固定在一起的，輪1的半徑和輪2的半徑相同，輪3的半徑和輪4的半徑相同，且為輪1和輪2半徑的一半，則輪1邊緣的a點和輪4邊緣的c點相比()A．線速度之比為1∶4B．角速度之比為4∶1C．向心加速度之比為8∶1D．向心加速度之比為1∶8解析：選D由題意知2va＝2v3＝v2＝vc，其中v2、v3為輪2和輪3邊緣的線速度，所以va∶vc＝1∶2，A錯。設輪4的半徑為r,則aa＝eq\f(v\o\al(2,a),ra)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vc,2)))2,2r)＝eq\f(v\o\al(2,c),8r)＝eq\f(1,8)ac，即aa∶ac＝1∶8，C錯，D對。eq\f(ωa,ωc)＝eq\f(\f(va,ra),\f(vc,rc))＝eq\f(1,4)，B錯。10．運用納米技術能夠制造出超微電機，英國的一家超微探討所宣稱其制造的超微電機轉子的半徑只有30μm，轉速高達2000r/min，試估算位于轉子邊緣的一個質量為10×10－26kg的原子的向心加速度。(保留兩位有效數字)解析：周期T＝eq\f(60,2000)s＝0.03s，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(200π,3)rad/s，a＝ω2r＝eq\f(200×3.142,9)×30×10－6m/s2≈1.3m/s2。答案：1.3m/s211．做勻速圓周運動的物體，10s內沿半徑是20m的圓周運動100m，試求物體做勻速圓周運動時(1)線速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小；(4)向心加速度的大小。解析：(1)線速度為v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(100,10)m/s＝10m/s；(2)角速度為ω＝eq\f(v,r)＝eq\f(