PAGEPAGE1第1講基礎小題部分一、選擇題1．(2024·高考北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB為直角三角形，∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，∴BC⊥PB，∴△PBC為直角三角形，簡單求得PC＝3，CD＝eq\r(5)，PD＝2eq\r(2)，故△PCD不是直角三角形，故選C.答案：C2．(2024·臨汾三模)已知平面α及直線a，b，則下列說法正確的是()A．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行B．若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線不行能垂直C．若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面α平行D．若直線a，b垂直，則這兩條直線與平面α不行能都垂直解析：對于A，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線平行、相交、異面，故錯；對于B，若直線a，b與平面α所成角都是30°，則這兩條直線可能垂直，如圖，直角三角形ACB的直角頂點在平面α內，邊AC，BC可以與平面都成30°角，故錯．對于C，若直線a，b平行，則這兩條直線中至少有一條與平面α平行，明顯錯；對于D，若兩條直線與平面α都垂直，則直線a，b平行，故正確．故選D.答案：D3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為()A.eq\f(2,3) B．2C.eq\f(4,3) D.eq\f(8,3)解析：依據(jù)三視圖可知，該幾何體是三棱柱截取一部分所得．如圖，幾何體的體積為三棱柱ABC-A1B1C1的體積減去三棱錐C-A1B1C1的體積，即V＝S△ABC×BB1－eq\f(1,3)×S△ABC×BB1＝2，故選B.答案：B4．如圖，多面體ABCD-EGF的底面ABCD為正方形，F(xiàn)C＝GD＝2EA，其俯視圖如圖所示，則其正視圖和側視圖正確的是()解析：正視圖的輪廓線是矩形DCFG，點E在平面DCFG上的投影為DG的中點，且邊界BE，BG可視，故正視圖為選項B或D中的正視圖，側視圖的輪廓線為直角梯形ADGE，且邊界BF不行視，故側視圖為選項D中的側視圖，故選D.答案：D5．(2024·高考全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)解析：如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCD-A1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB1D1所成的角都相等．如圖所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中點E，F(xiàn)，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)sin60°＝eq\f(3\r(3),4).故選A.答案：A6．(2024·平頂山一模)高為5，底面邊長為4eq\r(3)的正三棱柱形容器(下有底)內，可放置最大球的半徑是()A.eq\f(3,2) B．2C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\r(2)解析：由題意知，正三棱柱形容器內有一個球，其最大半徑為r，r即為底面正三角形內切圓的半徑，因為底面邊長為4eq\r(3)，所以r＝2.故選B.答案：B7．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個面落在原工件的一個面內，則新工件的棱長為()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．2－eq\r(2)解析：依題意知該工件為圓錐，底面半徑為eq\r(2)，高為2，要使加工成的正方體新工件體積最大，則該正方體為圓錐的內接正方體，設棱長為2x，則有eq\f(\r(2)x,\r(2))＝eq\f(2－2x,2)，解得x＝eq\f(1,2)，故2x＝1，即新工件棱長為1.故選B.答案：B8．已知直線a，b以及平面α，β，則下列命題正確的是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α，b⊥α，則a⊥bC．若a∥b，b∥α，則a∥αD．若a⊥α，b∥β，則α⊥β解析：對于A，若a∥α，b∥α，則a∥b或a，b相交、異面，不正確；對于B，若a∥α，則經過a的平面與α交于c，a∥c，因為b⊥α，所以b⊥c，因為a∥c，所以a⊥b，正確；對于C，若a∥b，b∥α，則a∥α或a?α，不正確；對于D，若a⊥α，b∥β，則α，β位置關系不確定，故選B.答案：B9．(2024·高考全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)解析：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體A′B′BA-A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．連接DB′，由題意，得DB′＝eq\r(12＋1＋12)＝eq\r(5)，B′B1＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5).在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′Beq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，即5＝4＋5－2×2eq\r(5)cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝eq\f(\r(5),5).故選C.答案：C10．(2024·大慶一中模擬)設α，β，γ為平面，m，n，l為直線，則m⊥β的一個充分條件是()A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，依據(jù)面面垂直的判定定理可知，缺少條件m?α，故A不正確；α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不肯定垂直，故B不正確；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不肯定垂直，故C不正確；n⊥α，n⊥β?α∥β，而m⊥α，則m⊥β，故D正確．故選D.答案：D11.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱垂直于底面，底面是邊長為2的正三角形，側棱長為3，則BB1與平面AB1C1所成的角的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：分別取BC，B1C1的中點D，D1，連接AD，DD1，AD1.明顯DD1⊥B1C1，AD1⊥B1C1，故B1C1⊥平面ADD1，故平面AB1C1⊥平面ADD1，故DD1在平面AB1C1內的射影在AD1上，∠AD1D即為直線DD1與平面AB1C1所成的角．在Rt△AD1D中，AD＝eq\r(3)，DD1＝3，所以tan∠AD1D＝eq\f(\r(3),3)，所以∠AD1D＝eq\f(π,6).因為BB1∥DD1，所以直線BB1與平面AB1C1所成的角的大小為eq\f(π,6).答案：A12．(2024·臨汾二模)已知四面體ABCD的頂點都在球O表面上，且AB＝BC＝AC＝2eq\r(2)，DA＝DB＝DC＝2，過AD作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得截面分別為圓M，N，則()A．MN的長度是定值eq\r(2)B．MN長度的最小值是2C．圓M面積的最小值是2πD．圓M，N的面積和是定值8π解析：因為AB＝BC＝AC＝2eq\r(2)，DA＝DB＝DC＝2，所以DA，DB，DC兩兩相互垂直，M，N分別是AB，AC的中點，MN＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(2)，故選A.答案：A二、填空題13．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠C＝45°，AB＝AD＝1，沿對角線BD折成四面體A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′-BCD頂點在同一球面上，則該球的表面積為________．解析：設H為AO和BD的交點，O為DC中點，依題意有AH＝OH＝eq\f(\r(2),2)，四面體A′-BCD中，平面A′BD⊥平面BCD，所以A′H⊥平面BCD，所以A′O＝eq\r(A′H2＋HO2)＝1，又因為OD＝OC＝OB＝1，所以O為四面體A′-BCD外接球的球心，故半徑R＝1.則該球的表面積為4πR2＝4π.答案：4π14．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2.解析：由幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示．該幾何體由兩個完全相同的長方體組合而成，其中AB＝BC＝2cm，BD＝4cm，所以該幾何體表面積S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72(cm2)．答案：7215．(2024·高考天津卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M-EFGH的體積為________．解析：依題意，易知四棱錐M-EFGH是一個正四棱錐，且底面邊長為eq\f(\r(2),2)，高為eq\f(1,2).故VM-EFGH＝eq\f(1,3)×(eq\f(\r(2),2))2×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)16．(2024·