專題2.1不等式的基本性質【十一大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1不等式的定義】.........................................................................1

【題型2取值是否滿足不等式】..................................................................3

【題型3在數軸上表示不等式】..................................................................4

【題型4根據實際問題列出不等式】..............................................................6

【題型5根據不等式的性質判斷正誤】............................................................8

【題型6根據不等式的性質比較大小】............................................................10

【題型7根據不等式的解集求字母取值范圍】.....................................................12

【題型8根據不等式的性質求式子取值范圍】.....................................................14

【題型9根據不等式的性質求最值】.............................................................16

【題型10不等關系的簡單應用】..................................................................19

【題型11利用不等式性質證明不等式】............................................................23

，舉一反三

【知識點1認識不等式】

用符號“V"（或空”），“>”（或，2”），“尹連接而成的式子，叫做不等式。用符號這些用來連接的符

號統稱不等式.

【題型1不等式的定義】

［例1］（2023春?安徽宿州?八年級校考期中）下列式子:％-1N1；2x+2；-2V0；x—［y=0；x+2yW0.其

中是不等式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】根據不等式的定義逐個判斷即可得到答案.

【詳解】解：不等式有％-121;-2<0；x+2y<0,

故選：B.

【點睛】本題考查不等式定義，熟記由不等號表示大小關系的式子叫不等式是解決問題的關鍵.

【變式1-11（2023春?八年級統考課時練習）某養生鈣奶飲料中的包裝瓶上標注“每100克內含鈣>150亳克”,

它的含義是指（）

A.每100克內含鈣150亳克

B.每100克內含鈣不低于150亳克

C.每100克內含鈣高于150毫克

D.每100克內含鈣不超過150亳克

【答案】C

【分析】就是大于，在本題中也就是“高于”的意思.

【詳解】解：根據〉的含義，“每100克內含鈣>150亳克”，就是“每100克內含鈣高于150亳克”，

故選:C.

【點睛】本題主要考杳不等號的含義，是需要熟練記憶的內容.

【變式1-2］（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級校考期中）學校組織同學們春游，租用45座和30座兩種型號的

客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30方500”表示的實際意義是（）

A.兩種客車總的載客量不少于500人D.兩種客車總的載客量不超過500人

C.兩種客車總的載客量不足500人D.兩種客車總的載客量恰好等于500人

【答案】A

【分析】主要依據不等式的定義：用“>”、2"、“<"、"W'、”尹等不等號表示不相等關系的式子是不等式來

判斷.

【詳解】不等式“45x+30yN5（）（）”表示的實際意義是兩種客車總的載客量不少于500人，

故選A.

【點睛】本題考查不等式的識別，?般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式.解答此類題關鍵是

要識別常見不等號：

【變式1-3】（2023春?河南駐馬店,八年級統考期中）在數學的發展史中，符號占有很重要的地位，它不但書

寫簡單，而且表達的意義很明確.在不等式中，除了我們熟悉的符號外，還有很多：比如：式表示不小于；

A表示不大于，》表示遠大于；《表示遠小于等.下列選項中表達錯誤的是（）

A.2X2B.-l>0C.100?1D.-2?-99

【答案】D

［分析］根據對每個符號的定義對每一項進行判斷即可.

【詳解】解：A.2M2表示2不小于2,正確，故本選項不符合題意；

B.-1A0表示-1不大于0,正確，故本選項不符合題意；

C.100>>1表示100遠大于1,正確，故本選項不符合題意；

D.-2?-99表示-2遠小于-99,錯誤，故本選項符合題意：

故選：D.

【點睛】本題主要考查了不等式的新定義問題，解決本題的關鍵是理解各個符號的意思.

【題型2取值是否滿足不等式】

【例2】（2023秋?八年級課時練習）試寫出一個不等式，使它的解集滿足下列條件：

（1）%=-2是不等式的一個解；

（2）-2,-1,。都是不等式的解；

（3）不等式的正整數解只有I,2,3；

（4）不等式的非正整數解只有一2,-1,0；

（5）不等式的解中不含0.

【答案】（1）x>-3（答案不唯一）（2）%>-3（答案不唯一）（3）》<4（答案不唯一）（4）%>-3

（答案不唯一）（5）尤>1（答案不唯一）

【分析】（1）只要解集中含有-2這個解的不等式均可以；

（2）只要解集中含有-2,-1,0這三個整數解的不等式均可以；

（3）只要不等式的解集中恰好含有1,2,3這三個正整數解的不等式均可以；

（4）只要不等式的解集中恰好含有-2,-1,。這三個非正整數解的不等式均可以；

（5）只要不等式的解集中不含。的不等式均可以.

【詳解】（1）滿足題意的不等式為%>-3（答案不唯一）；

（2）滿足題意的不等式為“>-3（答案不唯一）；

（3）滿足題意的不等式為％<4（答案不唯一）；

（4）滿足題意的不等式為%>-3（答案不唯一）；

（5）滿足題意的不等式為％>1（答案不唯一）；

【點睛】本題根據不等式的解集要求寫出一個不等式，考查了不等式的概念.

【變式2-1］（2023春?江西景德鎮?八年級統考期中）x=3是下列不等式（）的一個解.

A.x+l<0B.x+l<4C.x+\<3D.x+\<5

【答案】D

【分析】直接將x=3代入各個不等式，不等式成立的即為所選.

【詳解】解?：A、3+1=4>0,故A不成立；

B、3+1=4,故B不成立;

c、3+l=4>3,故C不成立;

D、3+l=4<5,故D成立；

故選：D.

【點睛】本題主要考查不等式的的解（集），使不等式成立的的未知數的值，就是不等式的解，由所有不等

式的解組成的集合就是不等式的解集.

【變式22】（2023辭廣東深圳?八年級統考期末）下列各數中，能使不等式—2V0成立的是（）

A.6B.5C.4D.2

【答案】D

【分析】將A、B、C、D選項逐個代入;％—2中計算出結果，即可作出判斷.

【詳解】解：當x=6時，-2=1>0,

當x=5時，—2=0.5>0?

當K=4時，^x-2=0,

當x=2時，^x-2=-l<0,

由此可知，x=2可以使不等式2V0成立.

故選D.

【點睛】本題考查了?元一次不等式的解的概念，代入求值是關鍵.

【變式2-3】（2023春?廣西南寧?八年級三美學校校考期末）下列說法中，正確的是（）

A.x=2是不等式3x>5的一個解B.x=2是不等式3x>5的唯一解

C.x=2是不等式3x>5的解集D.x=2不是不等式3x>5的解

【答案】A

【詳解】A.42是不等式*>5的一個解，正確；氏不等式力>5的解有無數個，則B錯誤；C.x=2是不等式

3￡>5的解，則C錯誤；D.x=2是不等式3心>5的解，則D錯誤，故選A.

【題型3在數軸上表示不等式】

【例3】（2023秋?浙江溫州?八年級統考期中）如圖，在數軸上表示的是下列哪個不等式（）

o

A.x>—2B.x<-2C.x>-2D.x<—2

【答案】C

【詳解】根據數軸上不等式解集的表示方法得出此不等式組的解集，再對各選項進行逐?判斷即可■得到x>-2.

故選C.

本題考查的是在數軸上表示一元一次不等式組的解集，根據題意得出數軸上不等式組的解集是解答此題的

關鍵，注意實點和虛點的區別.

【變式3-1]（2023春?永豐縣期中）不等式應〃的解集在數軸上表示如圖所示，則〃=2.

-01I345）

【分析】根據數軸上表示的解集確定出a的值即可.

【詳解】解.：根據數軸上的解集得：a=2,

故答案為：2

【點睛】此題考查了在數軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數軸上表示出來（>,N向右畫；

V，W向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個

數一樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時"”，要用實心圓點表示；

“>”要用空心圓點表示.

【變式3-2]（2023春?全國?八年級專題練習）把下列不等式的解集在數軸上表示出來.

（l）x>-3；（2）x>-l；（3）x<3；（4）x<-|.

【詳解】試題分析：

將上述不等式的解集規范的表示在數軸上即可.

試題解析：

（1）將％2-3表示在數軸上為：

?SY?3々?101234s

（2）將X>-1表示在數釉上為：

_1▲14'I--------1---------1--------1---------1--------1-?,

.$<4-3>2-I0I2345

（3）將％S3表示在數軸上為：

.$-44>2-I0I2)45

（4）將5表示在數軸上為：

?11aji'111a,■

-54-3-2-10I2345

點睛：將不等式的解集表示在數軸上時，需注意兩點：（1）“大于（大于或等于）向右，小于（小于或等

于）向左”；（2）\>Q或（XV。）時”，數軸上表示數“Q”的點用“空心圓圈”，WQ（或％WQ）時”，數

軸上表示數、Q”的點用,?實心圓點”.

【變式3-3］（2023春?全國?八年級專題練習）在數軸上表示不等式-3&XV6的解集和x的下列值：-4,-

2,0.4%7,并利用數軸說明x的這些數值中，哪些滿足不等式-3WxV6,哪些不滿足？

【答案】-2,（）,*滿足不等式；-4,7不滿足不等式

【分析】根據“大于向右，小于向左，包括端點用實心，不包括端點用空心”的原則將不等式的解集和x的下

列值：-4,-2,0,41,7在數軸上表不出米，這些值如果在解集范圍內則表不滿足不等式，否則就是不

滿足不等式.

【詳解】解：根據圖可知：x的下列值：-2,0,4：滿足不等式；x的下列值：-4,7不滿足穴等式.

-8-7-6-5-3-5-5-101934*56f8>

【點睛】不等式的解集在數軸上表示的方法：把每個不等式的解集在數軸上表示出來（》,2向右畫：v,<

向左畫），數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某?段上面表示解集的線的條數與不等式的個數?

樣，那么這段就是不等式組的解集.有幾個就要幾個.在表示解集時“N”，要用實心圓點表示；“V”，

要用空心圓點表示.

【題型4根據實際問題列出不等式】

【例4】（2023春?吉林松原?八年級校聯考期中）用不等式表示：彳的2倍與刈境的和不大于5,正確的是（）

A.2x+^y>5B.2x+^y>5C.2（x+^y）<5D.2x+^y<5

【答案】D

【分析】根據題意列出不等式，不大于5即W5.

【詳解】解：》的2倍與y的:的和不大于5,即2x+,yW5,

故選：D.

【點睛】本題考查了列不等式，熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵.

【變式4-11（2023春?河南周口?八年級校考期中）據氣象臺報道.2023年2月14日鄭州市的最高氣溫為14。匕

最低氣溫為6汽，則當天氣溫￡（。0的變化范圍是.

【答案】6<t<14/14>t>6

【分析】根據最高氣溫和最低氣溫，可得答案.

【詳解】解：由鄭州市的最高氣溫為14。口最低氣溫為6汽，

可得當天氣溫t（℃）的變化范圍是6<t<14,

故答案為：6<t<14.

【點睛】本題考杳了不等式的定義，熟練根據題意列出不等式是解題的關鍵.

【變式4-2】（2023春?江蘇宿遷?八年級統考期末）某校女子100m跑的記錄是14秒.在今年的校春季運動會

上，很遺憾，沒有人能打破該項記錄，若參加運動會的女生小麗的100m成績為/秒，則用不等式表示

為.

【答案】t>14

【分析】根據沒有人能打破該項記錄列不等式即可.

【詳解】解：?.?沒有人能打破該項記錄，

：.t>14.

故答案為：t>14.

【點睛】本題考查了列不等式表示數量關系，與列代數式問題相類似，首先要注意其中的運算及運算順序，

再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的區別.

【變式4-3】（2023春?吉林長春?八年級統考期中）將力與〃的和是負數”用不等式表示為.

【答案】Q+匕V0

【分析】〃與方的和為負數即是小于0的數，據此列不等式.

【詳解】解：由題意得，Q+b<0.

故答案為：a+bV0.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和

不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式.

【知識點2不等式的基本性質】

性質1：若aVb,b<c,則aVc.這個性質叫做不等式的傳遞性.

性質2：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

若a>b,則a±c>b±c.

性質3：不等式兩邊乘（或除以）同?個正數，不等號的方向不變,

不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

若a>b,c>0,則ac>bc,:

若a>b,c<0,則acVbc,-c<-c

【題型5根據不等式的性質判斷正誤】

【例5】（2023秋?湖北鄂州?八年級校考期末）下列說法中，錯誤的個數為（）

①若Q>匕，則Q+C>8+C；

②若Q>b,則ac>be；

③若a>b,則ac?>be2；

④若a>b,c>d,則ac>bd；

⑤若a<b<0<c,則a2c<b2c.

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】C

【詳解】分析：運用不等式的基本性質判定即可.

詳解：①若則4+C>〃+（?；正確；

②若則ac>%：C的符號不確定，故錯誤，③若貝IJ7c2；當c=0時不成立.故錯誤.

④若a>b,c>d,則ac>bd；c,d符號不確定，故錯誤，⑤若a<〃V0<c,則/cV/c.應為42c>〃c,

故錯誤.

所以錯誤的有4個.

改選C.

點睛：本題主要考查了不等式的基本性質，解題的關鍵是熟記不等式的性質.

【變式5-1]（2023?四川南充?八年級校考期末）若機>〃，則下歹J不等式不成立的是（）

A.m-2>n-2B.a-m>a-nC.-p—>D.--<--

a2+la2+lS5

【答案】B

【詳解】分析：

根據不等式的性質進行分析判斷即可.

A選項中，因為〃?>〃，所以m-2>〃-2；故A中不等式成立；

B選項中,因為所以所以a-mva-n；故B中不等式不成立;

C選項中，因為〃?>〃，a2+l>0,所以盤>品，故C中不等式成立；

D選項中，因為機>〃，所以一gc-g故D中不等式成立.

故選B.

點睛：熟記“不等式的性質”，尤其是“當不等式兩邊同時乘以（或除以）一個負數時，不等號方向要發生改

變”是解答這類題的關鍵.

【變式5-2]（2023春?山東威海?八年級統考期末）設x,y,z是實數，則下列結論正確的是（）

A.若％>y,貝hz>yzB.若x<y,則z-xVz—y

C.若x<y,則：D.若x>y,則x-z>y-z

【答案】D

【分析】根據不等式性質逐選項判斷即可.

【詳解】解：A,時，不知z的正負，無法判斷，因此A選項不符合題意.

B,時，根據不等式基本性質3,兩邊同時乘以-1,可得一x>—y,再根據不等式基本性質1,兩邊同

時加z,可得：z-x>z-y,因此B選項不符合題意.

C,xvy時，不知z的正負，無法判斷，因此C選項不符合題意.

D,x>y時，根據不等式基本性質】，兩邊同時減z,可得：x-z>y-z,因此D選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了不等式的基本性質，尤其注意不等式兩邊同時乘以或除以?個不為0的數時，不等號的

變化.

【變式5-3]（2023春?遼寧沈陽?八年級統考期末）如果4%-1<4y-l,那么下列不等式正確的是（）

A.5x<5yB.-2x<—2yC.3x—1>3y—1D.2x+1>2y+1

【答案】A

【分析】由已知條件得出x<y,再由不等式的性質逐項判斷即可得到答案.

【詳解】解：v4x-l<4y-l,

：?4x<4y,

:.x<y,

A.5x<5y正確，故該選項符合題意；

B.-2x>-2y,此選項不正確，故該選項不符合題意;

C.3x-l<3y-l,此選項不正確，故該選項不符合題意；

D.2x+l<2y+l,此選項不正確，故該選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題主要考查了不等式的性質，①不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或

式子），不等號的方向不變；②不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方

向不變；③不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，熟練掌握不

等式的性質是解題的關鍵.

【題型6根據不等式的性質比較大小】

【例6】（2023春?上海普陀?六年級校考期中）比較大小：如果兒，cV0時，那么〃b；如果三>1,

b<0,那么ab.

【答案】<V

【分析】根據不等式的性質進行求解即可：不等式兩邊同時乘以或除以一個小于0的數或式子，不等式要改

變方向.

【詳解】解：Tae>be,cV0,

.*.a<b；

V-b>1,bV0,

/.fl<b,

故答案為：V;V.

【點睛】本題主要考查了不等式,的性質，熟知不等式的性質是解題的關鍵.

【變式6-1］（2023春?北京大興?八年級統考期末）比較（5a-3b）-3（（?-2b）與5a+38+1的大小,并說

明理由.

【答案】（5Q-3b）-3（a2-2b）v5a+3b+1,理由見解析

【分析】兩個整式相減，用它們的差和本作比較即可做出判斷.

【詳解】解：（5a-3b）-3（a2-2b）<5a+3b4-1,

理由如下：

［（5a—3b）—3（Q2—2b）］—（5a+3b+1）

=5Q—3"3a2+6b—5a—3b—1

=-3a2—1,

Va2>0,

:.-3a2<0,

-3az-l<0-l,

-3a2-1<-1,

:*-3Q2—1<0?

?**[(5(z-3b)—3(Q2—2b)]—(5a+3b+1)v0,

(5Q-3b)-3(a2-2b)<5a+3b+l.

【點睛】本題考查了整式加減應用，不等式的性質，準確算出兩個整式的差和零作比較是解答本題的關鍵.

【變式6-2](2023春?河北保定?八年級統考期末)比較7a與4a的大小關系是()

A.7a<4aB.7a=4aC.7a>4aD.不能確定

【答案】D

【分析】由7>4,分4>0,<7=0,二種情況討論，得出答案即可.

【詳解】由7>4,

當。>0時，7a>4Q：

當4=0時，7a=4a；

當“VO時,7a<4a.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質，注意：不等式兩邊同時乘以負數時，不等號方向改變.

【變式6-3](2023秋?廣東惠州?八年級校考階段練習)若a-b>0,則a>b：若a-b=O,則a=b；若

a-b<0,則a<b,這是利用“作差法''比較兩個數或兩個代數式值的大小.

(1)試比較代數式5機2一4m+2與4m2-4m—7的值之間的大小關系；

(2)已知代數式3a+2b與2a+3b相等，試用等式的性質比較a,6的大小關系.

(3)已知;6一：九一1=：八一!根，試用等式的性質比較m,九的大小關系.

[答案](I)5租2-4m+2>4m2-4m-7

(2)a=h

(3)7n>n

【分析】(1)把兩個多項式作差比較大小即可；

(2)等式兩邊同時減去(2a+3b)即可得到a-b=0,由此即可得到結論;

(3)等式的性質兩邊同時乘以6可得5(m-n)=6,m-n>0,由此可得結論.

【詳解】(1)解：(5m2—4m+2)—(4m2—4m-7)=5m2-47n+2-4m2+4m+7=m2+9.

?不論m為何值，都有m2+9>o.

.,.5m2—4m+2>4m2—4m—7.

(2)解：-：3a+2b=2a+3b,

工等式兩邊同時減去(2Q+3b),得3a+2b-(2a+3b)=0,

整理得Q—b=0,

G=h.

(3)解：V-m--n-1=-n—-m,

2323

根據等式的性質兩邊同時乘以6可得3771-2n-6=(3n-2m),

整理得5加一5n=6,

即S(m-n)=6?

m-n>0?

Am>n.

【點睛】本題主要考查了等式的性質和不等式的性質，正確理解題意是解題的關鍵.

【題型7根據不等式的解集求字母取值范圍】

【例7】(2023?安徽合肥?八年級統考期末)不等式(2a-l)x<2(2a-l)的解集是x>2,則a的取值范圍是

()

A.a<0B.a<-C.a<--D.a>--

222

【答案】B

【詳解】【分析】仔細觀察，(2a-l)x<2(2a-l),要想求得解集，需把(2a-l)這個整體看作x的系數，

然后運用不等式的性質求出，給出的解集是x>2,不等號的方向已改變，說明運用的是不等式的性質3,

運用性質3的前提是兩邊都乘以(?或除以)問一個負數，從而求出a的范圍.

【詳解】???不等式(2a-l)x<2(2a-l)的解集是x>2,

???不等式的方向改變了，

.*.2a-l<0,

故選B.

【點睛】本題考查了利用不等式的性質解含有字母系數的不等式，解題的關鍵是根據原不等式和給出的解集

的恃況確定字母系數的取值范圍，為此需熟練掌握不等式的基本性質，也是正確解?元一次不等式的基礎.

【變式7-1】(2023春?福建泉州?八年級校考期末)若y,且(a-2)x>(a-2)y,則a的取值范圍

是.

【答案】Q<2

【分析】根據不等式的性質，兩邊同時乘一個負數不等號改變，求出a的取值范圍.

【詳解】解：'"Vy,且(a-2)x>(Q-2)y,

，a—2V0,

<2,

故答案為：a<2.

【點睛】本題考查不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的性質.

【變式7-2](2023春?廣西南寧?八年級統考期末〉若關于x的不等式心-*>1〃的解集是xV-1,貝U/〃

的取值范圍是()

A.m>1B.m<1C.m>-1D.m<-1

【答案】B

【分析】根據不等式的性質可得，兩邊同除以一個負數，不等號方向發生改變，即可求得結果.

【詳解】解：將不等式mx-%>1-m化為-1)>1-rn,

???不等號兩邊同時除以m-1得到t<-1,

m-1<0,

解得m<1,

故選:B.

【點睛】本題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵.

【變式7-3](2023春?江蘇宿遷?八年級統考期末)若x>y,且(a+3)x<(a+3)y,求〃的取值范圍.

【答案】Q<—3

【分析】根據題意，在不等式％>y的兩邊同時乘以(Q+3)后不等號改變方向，根據不等式的性質3,得出a+

3<0,解此不等式即可求解.

【詳解】解：'"Ay，且(a+3)xV(a+3)y,

，a+3<0,

則a<-3.

故答案為：a<—3.

【點睛】本題考查了不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的性質：（1）不等式兩邊加（或減）同一個

數（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變：（3）

不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.

【題型8根據不等式的性質求式子取值范圍】

【例8】（2023春?福建泉州?八年級統考期末）已知x-y=5,且％>3,yV0,則％+y的取值范圍是（）

A.1<x+y<5B.3<x+y<5C.1<x+y<2D.2<x+y<5

【答案】A

【分析】直接利用不等式的性質求解.

【詳解】解：-y=5,

.*.>'=x—5?

VA>3,y<0,

/.3<x<5,-2<y<0,

1<x+y<5,

故選：A.

【點睛】此題考查了不等式的性質，正確理解題意掌握計算能力是解題的關鍵.

【變式8-1］（2023春?河南漂河?八年級統考期末）已知一1VXW0,則1一：%的取值范圍是（）

1IQI

A.-<l--x<1B.--<1--x<1

2222

C.1<l--x<-D.1<1

2222

【答案】D

【分析】根據不等式的性質，由X通過乘以-1,再乘以玄再加上1，注意不等號方向的變化.

【詳解】?:-1<x<0

同時乘以-1,0<-x<1

同時乘以:，0<-1x<|

同時加上1,1<

故選D.

【點睛】本題考查了不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵.

【變式8-2]（2023春?上海楊浦?六年級校考期中）已知2a+3b+c=0,Q>b>c,求2-3￡的取值范圍？

a

【答案】-<2-3-<17

2a

【分析】由2a+3b+c=0,可得3b=-2a—c,再根據a>b>c,可得3a>—2a-c>3c,再根據不等

式的性質解答即可.

【詳解】解：2a+3匕+c=0,

3b=—2a—c?

又；a>b>c,

:.3a>—2a—c>3c,

由3a>—2a—c,得5a>—c,

5>——

a

?--a>-5,

???-3a-<15：

由-2Q-C>3C,得一2Q>4C,

綜上所述，—'<-3-<15,

2a

???2--<2-3-<15+2,

2a

￡

A-<2-3<17.

2a

【點睛】本題考宜了不等式的性質，根據題意得出3。>-2。-03，是解答本題的關鍵.

【變式8-3］（2023春?四川德陽?八年級統考期末）若6a=2b-6=3c,且bN0,c<2,設C=2a+b-c,

則/的取值范圍為.

【答案】0<t<6

【分析】由條件可得2b-636,先求解人的取值范圍，再把t=2a+匕—c化為t=再結合不等式

的基本性質可得答案.

【詳解】解：V6a=2b-6=3c,c<2,

.\2b-6<6,

解得：匕工6而力20,

A0<b<6,

?：6a=2b-6=3c,

12

???a=-3b—1?3c=-b—2,

.*.t=2a+b—c

=20b—l)+b一單一2)

=(22)+”的-2)

=b,

VC<b<6,

，/的取值范圍是：0W￡W6,

故答案為：04C46.

【點睛】本題考查的是不等式的性質，方程思想的應用，求解0WbW6及￡=b是解本題的關鍵.

【題型9根據不等式的性質求最值】

【例9】(2023春?安徽六安?八年級校考階段練習)若a+b=-2,且a22b,則()

A.a有最小值:B.〃有最小值為一；C.f有最大值2D.三有最小值一:

33bb3

【答案】C

【分析】由a+b=-2,a工2b得a22(-a-2),于是。之一會故A錯誤；a+b=-2,得a=-b-2,

得—b—2N2b,于是匕W—故B錯誤；由b工一；，a>2b,得三42,故C正確；=~~=—1—

33bbbb

無最小值；

【詳解】解：A.〃有最小值/

由a+b=-2,得b=-a—2,

???G之2(-a—2),

Aa>-；,故A錯誤，本選項不合題意；

?5

B”有最小值為一￡

由a+b=-2,得a=-b—2,

**?-b—2>2b,

故B錯誤，本選項不合題意；

C.E有最大值2,b工一］

b3

Va>2b,

???EW2,故C正確，本選項符合題意；

b

D.f有最小值一；

b3

2=苧二一1一;，無最小值；

bbb

故選:c.

【點睛】本題考查不等式的性質，等式變形；掌握不等式的性質是解題的關鍵.

【變式9-1］（2023?甘肅天水?校聯考一模）若％+y=3,x>0,y>0,則2x+3y的最小值為（）

A.0B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】把問題轉化為2x+3y=6—2y+3y=6+y,利用不等式的性質解決最值問題.

【詳解】解：?.?》+>=3,

???x=3-y,

2x+3y=6—2y4-3y=6+y,

vx>0,

???3-y>0,即y<3,

??}>0

0<y<3,

.*.6sy+6s9,

即642%+3y49,

???y=。時，2%+3y的值最小，最小值為6.

故選:C.

【點睛】本題考查代入消元法、不等式的性質，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵.

【變式9-2］（2023秋,浙江?八年級專題練習）若a,b,c,d為整數，且“V2。，bV3c,c<4d,J<100,則

a可能取的最大值是()

A.2367B.2375C.2391D.2399

【答案】A

【分析】需要根據題意確定d的取值，然后依次可得出c、權。的最大值，繼而可得出答案.

【詳解】解：:dVlOO,d為整數，

?"的最大值為99,

???cv4d=4x99=396,c為整數，

?3的最大整數為395,

Vb<3c=3x395=1185,b為整數,

??》的最大整數為1184,

Tav2b=2x1184=2368,〃為整數，

???a的最大整數為2367.

故選：A

【點睛】本題考查了整數問題，解答本題的關鍵是根據題意確定d的值.

【變式9-3](2023春?江蘇南通?八年級統考期末)已知實數a(a20),力滿足等=瞪，若m=a+3b,則

機的最大值為()

A.9B.7C.5D.\

【答案】B

【分析】先根據題意用。表示出從再代入m=a+3b,由aNO即可得出結論.

【詳解】解：???詈二子，

，2(a-2)=3(l-b),

.?.3b=7-2a,

.?.n=Q+3b

=a+7—2a

=7—a.

VG>0,

工當a=0時，”有最大值,最大直為7.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是把〃當做一個已知數求解，用。表示尻

【題型10不等關系的簡單應用】

【例10】（2023春?四川瀘州?八年級統考期末）P,Q,R,S四個小朋友玩蹺蹺板，結果如圖所示，則他們的體

重大小關系為（）

A.R<Q<P<SB.Q<R<P<SC.Q<R<S<PD.Q<P<R<S

【答案】B

【分析】由圖一、二得，S>P>R,則S-P>0,由圖三得，P+R>Q+S,則S-PVR-Q,所以，R-QX）,即R

>Q：即可解答.

【詳解】由圖一、二得，S>P>R,

AS-P>0,

由圖三得，P+R>Q+S,

?Y-PVR-Q,

AR-QX）,

AR>Q：

綜上，QVRVPVS.

故選B.

【點睛】本題主要考查了不等式的性質，①不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變;

②不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；③不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不

等號的方向改變.

【變式10-1】（2023春?八年級課時練習）5名學生身高兩兩不同，把他們按從高到低排列，設前三名的平均

身高為。米，后兩名的平均身高為匕米.又前兩名的平均身高為。米，后三名的平均身高為d米，則（）

A?,誓B.?<等c.一=等D.以上都不對

【答案】B

【分析】根據題意可得利用不等式的性質即可得出結果.

【詳解】解：根據把他們按從高到低排列，設前三名的平均身高為。米，后兩名的平均身高為萬米.又前兩

名的平均身高為。米，后三名的平均身高為d米，則

c>a>d>b,c-a>O>b-d,

得c+d>a+b,

得：四〉

22

即空出

22

故選：B.

【點睛】此題考查了一元一次不等式的應用及性質，解題的關鍵是理解題意，得出相關不等式.

【變式10-2】(2023?重慶沙坪壩?宜慶八中校考二模)在數的學習過程中，我們通過對其中一些具有某種特

性的數進行研究探索，發現了數字的美和數學的靈動性，現在我們繼續探索一類數.

定義：一個各位數字均不為0的四位自然數/，若/的百位、十位數字之和的2倍等于千位與個位數字之和,

那我們稱這個四位數，為“優數”.

例如：當『=6414時，V2x(4+1)-(6+4)=0,??.6414是“優數”；

當『4257時，V2x(2+5)-(4+7)=3R0,；?4257不是“優數”.

(1)判斷1318和7401是否為“優數”，并說明理由；

(2)已知：尸而灰(1&W9,1夕區9,1&W9且小兒c均為正整數)是“優數”，且滿足而與反的差能被7

整除，且產(/)=|4+d-b-c|,求r(Q的最大值.

【答案】(1)1318不是“優數”，7401是“優數”，理由見解析：(2)2.

【分析】(1)利用“優數”的定義解答即可；

⑵利用“優數”的定義可得：c=2a+2b-4,結合數位上數字的特征可得：2b?"2=0或7或14,再結合

二元一次方程的正整數解可得答案.

【詳解】解：(1)1318不是“優數”.理由:

V2x(1+3)H1+8,

/.1318不是“優數”；

7401是“優數”.理由：

V2x(4+0)=7+1,

.*.7401是“優數”.

(2)???/=麗於是“優數”，

A2(a+b)=4+c.

.*.<?=2<7+2Z?-4.

V4a—be=40+a—10b—c,

A4a一應=40+a—10b—(2a+2匕-4),

=44-a-\2b

=6x7-7x2b+2b-a+2.

.??布與瓦的差能被7整除，

：.2b-a+2能被7整除.

VlS/<9,I業9,且mh,c均為正整數，

A-5<2b-a+2<\9.

.??2b?a+2=0或7或14.

：?2b?a=?2或5或12.

V2(a+〃)=4+c,l<c<9.

：.5<2(a+b)<13.

,\2.5<<i+b<6.5.

①當2。-〃=-2時，a=4,b=\.則c=2a+2b—4=6,

???/=4416.

F(r)=[4+a-b-c|=l；

②當26-a=5時，a=l,b=3.則c=2Q+2b—4=4,

.\r=4134.

(r)=|4+a-b-c|=2；

③當2h-a=12時，

Vd>l,

???2應13.

：.b>6.5.這與a+/6.5矛盾，此種情況不存在.

綜上，F(/)的最大值為：2.

【點睛】本題考查的是新定義情境卜.的二元一次方程的正整數解問題，不等式的性質的理解，正確理解新定

義是解題的關鍵.

【變式10-3】(2023春?重慶渝北?八年級統考期末)中國共產主義青年團成立100周年之際，某校團委組織

義務植樹活動，讓七、八、九三個年級的學生到某苗圃為本年級的種植點選購樹苗，購買樹苗的錢由學校

統一支付.該苗圃共有。種樹苗可供選擇，每種樹苗分別有大、中、小三類樹苗，且每種樹苗大、中、小

三類的單價分別為80元/棵、元/棵、10〃元/棵，其中33九<m<8,/〃，〃均為整數；三個年級每種樹

苗都選擇了一棵，但對于同一種樹苗，三個年級選擇的樹苗大小又各不相同.結賬時，八年級花費了730

元，八年級和八年級共花費了1220元，則八年級購買小樹苗共花費元.

【答案】90

【分析】由題意得：三個年級的學生各不相同，說明每一類樹苗的各類都被三個年級的學生選購，所以

730+1220=1950應該是每一類樹苗的總價的整數倍，可得(8+n+n)a=195,結合15<7n+n+8<21,

195=5x39=15x13=3x65,可得方程的正整數解，設八年級選了大的樹苗3棵，中樹苗y棵，可得5%+

y=34,結合匕%13-3-y都為正整數，可得方程的解，從而可得答案.

【詳解】解：由題意得：三個年級的學生各不相同，說明每?類對苗的各類都被三個年級的學生選購，

所以730+1220=1950應該是每一類樹苗的總價的整數倍，

/.(80十10?7i十10?i)a=1950,即(8十771+n)a=195,

,.?3工九<771<8,小，〃均為整數；

15<m+n+8<21,

而195=5x39=15x13=3x65,

,/n+n+8=15

a=13'

/.K=3,771=4,Q=13,

設八年級選了大的樹苗％棵，中樹苗y棵，則

80x+40y+30(13-x-y)=730,

整理得：5x+y=34,

???x,y,13—x—y都為正整數，

.產=6

,,ty=4

則八年級購買小惻苗共花費30(13