專題19.4一次函數與方程、不等式的關系【十大題型】

【人教版】

【逑型1一次函數與一元一次方程的解】.........................................................1

【題型2兩個一次函數與一元一次方程】.........................................................2

【題型3利用一次函數的變換求一元一次方程的解】...............................................3

【題型4一次函數與二元一次方程（組）的解】...................................................3

【題型5不解方程組判斷方程組解的情況】.......................................................4

【題型6一次函數與一元一次不等式的解集】.....................................................4

【題型7兩個一次函數與一元一次不等式】.......................................................5

【題型8絕對值函數與不等式】.................................................................6

【題型9一次函數與一元一次不等式組的解集】..................................................8

【題型10一次函數與不等式組中的陰影區域問題】.................................................9

”7歲*三

【知識點1一次函數與一元一次方程、不等式的關系】

1.任何一個一元一次方程都可轉化為：kx+b=0（k、b為常數，k^O）的形式.

而一次函數解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數，*0）.當函數值為。時，?即kx+b=0就與一元一次方

程完全相同.

結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx+b=O（k、b為常數，1#0）的形式.所以解一元一次方程可以

轉化為：當一次函數值為。時，求相應的自變量的值.

從圖象上看，這相當于已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值.

2.解一元一次不等式可以看作：當一次函數的函數值大（小）于0時，求自變量相應的取值范圍.

【題型1一次函數與一元一次方程的解】

【例1】（2022秋?白塔區校級月考）直線y=3x■機?4經過點A（加，0）,則關于x的方程"-m?4=0

的解是.

【變式1-1]（2022春?安陽縣期末）一次函數），=履+力的圖象如圖所示，則關于x的方程,5+8=0的解

為.

【變式1-2]（2022春?雷州市校級期末）一次函數），=h+力（k￥0,匕。是常數）的圖象如圖所示，則關

)

C.x=0D.x=h

【變式1-3]（2022秋?招遠市期末）已知關于;v的一次函數,=3x+〃的圖象如圖，則關于x的一次方程3,v+〃

=0的解是（）

B.x=-3C.=-D.x=—

x23

【題型2兩個一次函數與一元一次方程】

【例2】（2022秋?雙流區期末）已知一次函數y=5x+M的圖象與正比例函數），="的圖象交于點（-2,4）

（匕m是常數），則關于“的方程的解是

【變式2-1]（2022秋?龍崗區期末）如圖，函數）=2x+》與函數），=心一1的圖象交于點P,則關于x的方

【變式2-2]（2022秋?蘇州期末）已知一次函數尸奴+1與y=」x+b的圖象相交于點⑵5）,求關于x

乙

的方程日+〃=（）的解.

【變式2-3]（2022秋?包河區期末）已知直線y=x+/＞和y=at+2交于點P（3,-1）,則關于x的方程（。

-1）x=b-2的解為.

【題型3利用一次函數的變換求一元一次方程的解】

【例3】（2022春?江都區校級月考）若一次函數y=kx+b（k為常數且20）的圖象經過點（-2,0）,

則關于x的方程女（x-5）+8=0的解為.

【變式3-1]（2022?姜堰區一模）若一次函數y=ai+〃（〃、b為常數,且〃工0）的圖象過點（2,0），則

關于x的方程a（x+1）+b=0的解是.

【變式3-2]（2022秋?廬陽區校級期中）若關于x的一次函數y=h+〃的圖象經過點A（-1,0）,則方

程2（x+2）+力=0的解為.

【變式3?3】（2022秋?廬陽區校級期中）將直線）=履-2向下平移4個單位長度得直線y=h+〃?，己知方

程kv+〃?=0的解為x=3,貝I斤=，"i=.

【題型4一次函數與二元一次方程（組）的解】

[ft4]（2022春?夏津縣期末）如圖，根據函數圖象回答問題：方程組已：上::的解為___________.

iy—ax十0

【變式4-1]（2022?貴陽）在平面直角坐標系內，一次函數），=kix+"與＞=%＞+岳的圖象如圖所示，則關

于心），的方程組匕二：；：二：1之的解是.

【變式4-2]（2022秋?西鄉縣期末）已知二元一次方程組的解為仁;；4,則在同一平面直角

（X十zy——L—1

坐標系中，直線，i：y=x+5與直線八：y=--1的交點坐標為（)

A.（4,1）B.（1,-4）C.（-1,-4）D.（-4,1）

【變式4-3］（2022?德城區二模）若以關于X、y的二元一次方程x+2y-8=0的解為坐標的點（x,y）都在

直線>>=一夕+〃-1上，則常數b的值為（）

A.-B.1C.-1D.2

2

【題型5不解方程組判斷方程蛆解的情況】

【例5】（2022秋?泰興市校級期末）已知關于->的方程組售甘，、丫；

（1）當匕》為何值時，方程組有唯一一組解：

（2）當k,力為何值時，方程組有無數組解：

（3）當k,b為何值時，方程組無解.

【變式5-1］（2022秋?蘇州期末）若二元一次方程組。::［;二1口有唯一的一組解，那么應滿足的條件

LX十uiy——o

是（）

2222

A.m=-B.7nH二C.m=--D.7nH一二

3333

【變式5-2］（2022春?覃塘區期中）如果關于x,Y的方程組￡21；1，有唯一的一組解，那么a，b,c

,（ax+by=c

的值應滿足的條件是（）

A.aWbB.b力cC.aWcD.。六。且cHl

【變式5-3］（2022春?高明區期末）左為何值時，方程組2"一'二一3有唯一一組解；無解；無窮多解？

,3y=1—6x

【題型6一次函數與一元一次不等式的解集】

【例6】（2022?海淀區校級自主招生）已知一次函數中x取不同值時，），對應的值列表如下：

X-nt1-112

y-20zr+1…

則不等式依+b>0（其中從加，〃為常數）的解集為（）

A.x>\B.x>2C.x<\D.無法確定

【變式6-1］（2022春?龍崗區期末）如圖，已知一次函數y=依+〃的圖象經過點A（-3,2）,B（1,0）,

則關于x的不等式kx+b<2解集為

y

^-3o|1、x

【變式6?2】（2022春?湖南期中）已知關于工的不等式or+l>0（〃工0）的解集是xVl,則直線y=ar+l

與x軸的交點是（）

A.（0,1）B.（-1,0）C.（0,-1）D.（1,0）

【變式6-3]（2022春?高明區校級期末）如圖，直線），="+〃與直線），=一）+交于點A（m,2）,則關

【題型7兩個一次函數與一元一次不等式】

[ft7]（2022?鐘山縣校級模擬）直線八：），=》+〃與直線/2：）=br在同一平面直角坐標系中的圖象如圖

所示，則關于、的不等式麥調>處.什b的解集為（）

【變式7-1]（2022?煙臺）如圖，直線y=x+2與宜線尸at+c相交于點P（〃?，3）,則關于x的不等式x+2

Sax+c的解集為.

【變式7-2］（2022春?楚雄州期末）已知關于x的一次函數,，=自+力《#0）的圖象過點人（2,4）、B（0,

3）.

（1）求一次函數y=h+〃的解析式；

（2）若關于x的一次函數九葉〃（〃?<0）的圖象也經過戶,A,則關于x的不等式nix+n^kx+b的解集

為.

【變式7-3］（2022春?潮安區期末）已知直線產質+5交x軸于4,交），軸于8且A坐標為（5,0）,直

線y=2X-4與4軸于。，與直線AB相交于點C.

（1）求點C的坐標；

（2）根據圖象，寫出關于x的不等式2x-4>履+5的解集；

【題型8絕對值函數與不等式】

［例8］（2022秋?臨海市校級月考）小敏學習了一次函數后，嘗試著用相同的方法研究函數尸小-〃|+c

的圖象和性質.

（1）在給出的平面直角坐標系中畫出函數y=|x-2|和），=卜-2|+1的圖象；

（2）猜想函數），=和尸?|r+"?3的圖象關系;

（3）嘗試歸納函數y=a|_r-b|+c的圖象和性質：

（4）當-2?5時，求），=?2|x?3|+4的函數值范圍.

【變式8-1]（2022秋?玄武區期末）請你用學習“一次函數”時積累的經驗和方法研究函數），=|工|的圖象和

性質，并解決問題.

（1）完成下列步驟，畫出函數），=國的圖象；

①列表、填空；

X???-3-2-10123

y???31123

②描點；

③連線.

（2）觀察圖象，當x時，y隨x的增大而增大；

（3）根據圖象，不等式的解集為

【變式8-2]（2022春-確山縣期末）畫出函數），=國-2的圖象，利用圖象回答下列問題：

（1）寫出函數圖象.上最低點的坐標，并求出函數），的最小值；

（2）利用圖象直接寫出不等式M?2>0的解集：

（3）若直線y=kx+b（k,，，為常數，且&W0）與），=兇?2的圖象有兩個交點A（〃?，1）,B《，-1）,

直接寫出關于x的方程田-2=kx?b的解.

【變式8-3]（2022春?重慶期末）在初中階段的函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，

并結合圖象研究函數性質的過程.以卜是我們研究函數y=|2x+4|+戶〃？性質及其應用的部分過程，請按

要求完成下列各小題.

（1）如表是部分x,），的對應值：

x???-6-5-4-3-2-10I2

y…0n-2-3-4-1258…

根據表中的數據可以求得m=,〃=;

（2）請在給出的平面直角坐標系中，描出以如表中各組對應值為坐標的點，再根據描出的點畫出該函數

的圖象;

（3）結合你所畫的函數圖象，寫出該函數的一條性

質;

（4）若一次函數.y="+。（女工0）的圖象經過點（?4,-2）和點（1,5）,結合你所畫的函數圖象，

直接寫出不等式kx+b<|2x+4|+.r+w的解集.

【題型9一次函數與一元一次不等式組的解集】

【例9】（2022秋?青田縣月考）如圖，可以得出不等式組產的解集是（）

XX+d>0

tvf=-ax^b

/d\4^x

y=cx-d?

A.x<-1B.-l<x<0C.-1<x<4D.x>4

【變式9-1］（2022春?南康區期末）如圖，直線），=?工+機與直線y=gx+3交點的橫坐標為-2.則關于

的解集為

【變式9-2］（2022?需陽區二模）如圖，直線尸質+〃經過點A（-1,3）,B（一會0）兩點，則不等式

組0＜丘+8V-3x的解集為

【變式9-3］（2022?青羊區校級自主招生）如圖，直線9=奴+2與戶=法+4交于點N（1,。+2）,將直線

9=公+2向下平移后得到g=依-5,則能使得"V力〈9的x的所有整數值分別為（：

A.1,2,3B.2,3C.2,3,4D.3,4,5

【題型10一次函數與不等式組中的陰影區域問題】

【例10】（2022?黃岡中學自主招生）如圖，表示陰影區域的不等式組為（)

2x+y>52x+y<5

A.3x4-4y>9B.3x+4y<9

y>0y>0

(2x+y>52x+y<5

j3x+4y>9D.3x+4y>9

(x>0%>0

【變式10-1】（2022秋?包河區期中）圖中所示的陰影部分為哪一個不等式的解集()

)x

A.x--5B.x+y^-5C.x+)W5D.x-yW5

用不等式表示陰影區域為（）

B.xiyAO,H.x-y>0

C.x+y2(),且x-yWOD.x+)W0